专题3.1 导数的概念及其意义与运算（举一反三复习讲义）（全国通用）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、意义及运算核心考点，按导数运算方法、切线问题策略等逻辑梳理知识点，通过命题规律分析、分层题型训练（8类题型含例及变式）、高考真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破切线方程求解等难点。 资料采用“例-变式”分层教学法，如切线问题中区分“在某点”与“过某点”解法，培养学生数学思维与规范表达能力。设置从基础到综合的练习梯度，结合真题预测，助力学生高效掌握高频考点，为教师提供精准复习框架，提升备考效率。

专题3.1 导数的概念及其意义与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的概念及其意义与运算 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数的几何意义也可能会作为解答题中导数大题的一问进行考查，重点考查切线方程求解，复习时要加强这方面的训练。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 导数的概念及其意义与运算 全国甲卷（文数）：第8题，5分 全国乙卷（文数）：第20题，12分 全国乙卷（理数）：第21题，12分 新课标I卷：第13题，5分 新课标Ⅱ卷：第16题，15分 全国甲卷（文数）：第7题，5分 全国甲卷（理数）：第6题，5分 全国一卷：第12题，5分 北京卷：第20题，15分 天津卷：第20题，16分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对导数的几何意义的考查不会有大的变化。导数的几何意义大概率依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查切线方程的求解、切线的参数问题等，切线问题聚焦“再一点的切线方程”与“过一点的切线方程”，难度不大；也有可能会在解答题中与函数的单调性、极值、最值以及零点等内容结合考查，此时综合性强，试题难度较大。 知识点1 导数的运算的方法技巧 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 知识点2 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【解答过程】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B. 【变式1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【解题思路】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 【变式1-2】（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【答案】 【解题思路】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【解答过程】因为， ， 且，则. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【解题思路】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【解答过程】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 【题型2 导数的运算】 【例2】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出函数及导数，进而求出导数值. 【解答过程】由函数与函数的图象关于直线对称，得， 求导得，所以. 故选：D. 【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B．101 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，，求导得，进而可得，累加可求得. 【解答过程】因为函数及其导函数为奇函数，所以， 又函数为偶函数，所以， 对两边求导，得，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，，，， 所以，又，所以，所以，所以. 故选：A. 【变式2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】设， 对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数， 若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确； 对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误. 故选：A. 【变式2-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【解答过程】由可得， 所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故， 故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2025·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【解答过程】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C. 【变式3-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【解答过程】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 【变式3-2】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数 的图象在处的切线的倾斜角为 . 【答案】 【解题思路】根据导数的几何意义以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【解答过程】因为，所以，即切线的斜率为，所以切线的倾斜角为. 故答案为：. 【题型4 求曲线的切线方程】 【例4】（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程. 【解答过程】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 【变式4-1】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【解题思路】（1）结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则． 又，所以切线方程为，即． （2）． 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 又，所以恒成立，满足题意； 当时，，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 【变式4-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求曲线与曲线的交点个数. 【答案】(1) (2)交点个数为1 【解题思路】（1）借助导数的结合意义计算即可得； （2）原问题可转化为函数在上的零点个数问题，借助导数研究函数的单调性后结合零点的存在性定理即可判断. 【解答过程】（1）由，则， ，则， 所以切线方程为，即； （2）令，故， 令，， 令， ， 当时，，，， ∴，∴在上为减函数，即在上为减函数， 又，， ∴在上有唯一的零点，设为，即， ∴在上为增函数，在上为减函数， 又， ， ， ∴在上有且只有一个零点，在上无零点， 所以曲线与曲线的交点个数为1. 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2025·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【解答过程】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 【变式5-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据导数的几何意义，求得切线方程为，设切线与曲线相切的切点为，得到，求得的值，进而得到答案. 【解答过程】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 【变式5-2】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【解题思路】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【解答过程】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 【变式5-3】（2025·吉林长春·三模）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 ． 【答案】1 【解题思路】首先求函数过点处的切线方程，再让切线与函数联立，根据，即可求解. 【解答过程】，设直线与相切于点 所以切线方程为，切线过点， 则，整理为， 设，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以方程的根为， 所以切线方程为， 联立，得，，得. 故答案为：1. 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【解答过程】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C. 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 【变式6-2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B. 【变式6-3】（2025·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【解答过程】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【解答过程】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B. 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【解答过程】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式7-2】（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 【答案】或（写出其中一个即可） 【解题思路】首先设出切点，再分别求切线方程，公切线的性质，列式求解. 【解答过程】设切线与函数的图象切于点，， 所以切线方程为，即 设切线与函数的图象切于点，， 则切线方程为，即， 若两条切线是一条直线，则，得， 得，解得：或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故答案为：或（写出其中一个即可）. 【变式7-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【解答过程】因为， 所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为， 设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【解题思路】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【解答过程】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则 或 ， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 【变式8-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意设，表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到，联立求出，，对化简，利用基本不等式可求其最小值. 【解答过程】设， ∵，∴在处的切线方程， 在处的切线方程， ∵这两条切线的斜率之积为1，∴， ∵切线相交于点， ∴联立解得，， ， 即， 当时取等， 故选：B. 【变式8-2】（2025·山东济南·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为 . 【答案】2 【解题思路】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线方程，再根据导数的几何意义求出前者与后者的切点坐标后可得，利用“1”的妙用可得最小值. 【解答过程】，， 因为曲线在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 设该直线与曲线的切点坐标为， 则，故，故切点坐标为， 该切点在直线上，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2， 故答案为：2. 【变式8-3】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】10 【解题思路】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【解答过程】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10. 考点一 导数的运算 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 【答案】D 【解题思路】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得. 【解答过程】当时，，则， 又，则由延展函数定义可得； 同理可得，当，；； 任意，当时，. 当时，，则，则； 同理可得，当时，；； 当时，； 当，；当，；； 则任意时，当. 如图，作出与大致图像， 因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立； 又因为当，， 故当时， 直线与的图象在区间的函数部分重合， 即有无穷个交点，故（2）成立； 故选：D. 二、解答题 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 考点二 导数的概念和几何意义 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【解答过程】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【解答过程】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C. 二、填空题 3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解题思路】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【解答过程】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解题思路】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【解答过程】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为：. 三、解答题 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【解答过程】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【解题思路】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 导数的概念及其意义与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的概念及其意义与运算 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数的几何意义也可能会作为解答题中导数大题的一问进行考查，重点考查切线方程求解，复习时要加强这方面的训练。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 导数的概念及其意义与运算 全国甲卷（文数）：第8题，5分 全国乙卷（文数）：第20题，12分 全国乙卷（理数）：第21题，12分 新课标I卷：第13题，5分 新课标Ⅱ卷：第16题，15分 全国甲卷（文数）：第7题，5分 全国甲卷（理数）：第6题，5分 全国一卷：第12题，5分 北京卷：第20题，15分 天津卷：第20题，16分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对导数的几何意义的考查不会有大的变化。导数的几何意义大概率依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查切线方程的求解、切线的参数问题等，切线问题聚焦“再一点的切线方程”与“过一点的切线方程”，难度不大；也有可能会在解答题中与函数的单调性、极值、最值以及零点等内容结合考查，此时综合性强，试题难度较大。 知识点1 导数的运算的方法技巧 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 知识点2 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【变式1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【变式1-2】（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【变式1-3】（2025·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【题型2 导数的运算】 【例2】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B．101 C．0 D． 【变式2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2025·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【变式3-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数 的图象在处的切线的倾斜角为 . 【题型4 求曲线的切线方程】 【例4】（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【变式4-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求曲线与曲线的交点个数. 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2025·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式5-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【变式5-2】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【变式5-3】（2025·吉林长春·三模）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 ． 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式6-3】（2025·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 【变式7-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【变式8-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·山东济南·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为 . 【变式8-3】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 考点一 导数的运算 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 二、解答题 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 考点二 导数的概念和几何意义 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 三、解答题 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $