专题7.6 空间向量的概念与运算（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题7.6 空间向量的概念与运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 空间向量的线性运算】 1 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 2 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 3 【题型4 空间向量数量积及其应用】 3 【题型5 空间向量基本定理】 4 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 5 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 空间向量的线性运算】 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）在空间四边形中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 5．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 7．（25-26高二上·吉林·期末）已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 8．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 9．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 10．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 11．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知三个向量共面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【题型4 空间向量数量积及其应用】 13．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 14．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 15．（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量基本定理】 17．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·湖南张家界·期末）如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 20．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 21．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 22．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 23．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 24．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 25．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 26．（25-26高二上·天津·月考）已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 28．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则的值为（   ） A． B． C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 3．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则 . 10．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    11．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 12．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 3．（2025·湖南永州·模拟预测）定义一个集合A，集合中的元素是空间中的点集，任取，且存在不全为0的实数有，已知，则不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建三明·三模）若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·一模）已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（2025·广东茂名·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 8．（2025·四川绵阳·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.    (1)证明：四点共面； (2)求的长； (3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 空间向量的概念与运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 空间向量的线性运算】 1 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 4 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 5 【题型4 空间向量数量积及其应用】 7 【题型5 空间向量基本定理】 9 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 11 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 13 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 空间向量的线性运算】 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算可得. 【解答过程】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C. 2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误. 【解答过程】由图可得： . 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏·期末）在空间四边形中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用空间向量加减法及数乘运算计算求解. 【解答过程】在空间四边形中， ，， 所以， 则. 故选：C. 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【解答过程】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C. 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 5．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解题思路】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【解答过程】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 故选：D. 6．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 7．（25-26高二上·吉林·期末）已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 【答案】A 【解题思路】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值. 【解答过程】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 9．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【解答过程】共面， ， ，解得. 故选：C. 10．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【解题思路】根据空间向量共面定理可得存在实数，使得，根据坐标运算得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A. 11．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知三个向量共面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】因为三个向量共面，由空间向量基本定理及向量线性运算的坐标运算可得. 【解答过程】因为三个向量共面，由空间向量基本定理， 设 ， 所以，解得. 故选：D. 12．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【解答过程】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 【题型4 空间向量数量积及其应用】 13．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【解答过程】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为 . 故选：B. 14．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【解题思路】通过空间向量坐标运算计算，再代入空间向量数量积求解即可. 【解答过程】∵，， ∴ 故选：D. 15．（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设向量及相关量并表示出，计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值. 【解答过程】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D. 16．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【解答过程】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C.    【题型5 空间向量基本定理】 17．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 18．（25-26高二上·湖南张家界·期末）如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量基本定理，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【解答过程】 . 故选：B. 19．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理与空间向量基本定理逐项判断. 【解答过程】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B. 20．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 21．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【解答过程】由，得，， 而与平行，则， 所以. 故选：C. 22．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直的坐标表示，得，再解方程即可． 【解答过程】由题意得，解得． 故选：C． 23．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】由即可求解. 【解答过程】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选：B. 24．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】根据向量加法的坐标运算求出，利用向量平行的性质建立等式求解. 【解答过程】. 因为，所以存在实数，使得，即. 所以，解得. 故选：A. 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 25．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解题思路】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【解答过程】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A. 26．（25-26高二上·天津·月考）已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由空间向量的夹角公式计算可得. 【解答过程】由题意可得. 故选：A. 27．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【解答过程】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B. 28．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【解答过程】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方程组，即可求解. 【解答过程】由于， 所以，，. 故选：B. 2．（2025·云南·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】由题可知，且， ，故的面积为. 故选：A. 3．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【解答过程】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D. 4．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正八面体的结构特征有、，若正八面体的棱长为2，应用空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值. 【解答过程】由正八面体结构特征知，， 若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形， 所以 ， ， 同理得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（2025·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，结合已知可得，利用共面求. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【解答过程】因为，所以； 由．所以； 所以． 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：C． 8．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【解答过程】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B. 二、填空题 9．（2025·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则 . 【答案】 【解题思路】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解. 【解答过程】，，，，，， ， ， . 故答案为：. 10．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【答案】 【解题思路】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【解答过程】依题意，. 故答案为：. 11．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【解题思路】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【解答过程】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 12．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【解题思路】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【解答过程】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16. B组 培优提升练 一、单选题 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【解答过程】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】利用空间向量共面的充要条件及基本不等式即可求解. 【解答过程】， 又，，，则， 因为点共面，所以，且. 则 ， 又当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 故选：B. 3．（2025·湖南永州·模拟预测）定义一个集合A，集合中的元素是空间中的点集，任取，且存在不全为0的实数有，已知，则不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意列出方程组，由不全为0可求出答案． 【解答过程】因为，则 ． 设，则． 因为，所以， 即． 由此可得方程组， 对于A，若，则，取，则，，满足不全为0； 对于B，若，则，则，不满足不全为0； 对于C，若，则，取，则，，满足不全为0； 对于D，若，则，取，则，，满足不全为0； 故选：B． 4．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理，选择作为基底分别表示和向量，再根据向量共线的条件求出参数即可. 【解答过程】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C. 5．（2025·福建三明·三模）若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据可得出点的轨迹方程，然后设，，，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【解答过程】将正四面体补成正方体， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 则、、，设点， 则，， 所以， 所以， 化简得， 因为，则， 设，，， 所以 . 故的最大值为. 故选：D. 6．（2025·浙江·一模）已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【解答过程】设平面与棱分别交于点，设，其中，直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 容易知道，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此，    又因为，，所以. 故选：D. 二、解答题 7．（2025·广东茂名·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用向量数量积证得，再利用线面垂直的性质与判定定义即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系得平面的一个法向量，再设，根据垂直关系得值，最后利用体积公式即可. 【解答过程】（1）由题意知， 因为， 所以，又平面，又平面， 所以，又平面，且， 所以平面，又平面，所以. （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以.    8．（2025·四川绵阳·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.    (1)证明：四点共面； (2)求的长； (3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）由平面平面可得平面，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证； （2）由（1）得，即可求解； （3）利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，易得， 则， 由，则，解得（舍去）或， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $