专题08 平面向量初步9大题型（高效培优期末专项训练）高一数学上学期人教B版2019

专题08 平面向量初步9大题型 考点01向量的加、减、数乘运算 考点02向量的线性表示 考点03向量共线定理证明点共线问题 考点04向量共线定理证明平行问题 考点05平面向量基本定理的理解 考点06向量的坐标运算 考点07坐标法解决向量共线问题 考点08向量在几何中的应用 考点09向量在物理中的应用 考点01向量的加、减、数乘运算 1．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 2．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 3． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 4．已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】A 【详解】设的中点为，因为， 所以，所以， 所以点是线段的五等分点， 所以, 所以的面积是的面积的5倍． 故选：A. 5．如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 考点02向量的线性表示 6．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选：D. 7．如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 8．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D.    9．在中，点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设分别是的中点，    由于的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点， 所以. 故选：B. 10．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为是平行四边形，所以，所以，所以， 因为，所以， 则． 故选:D 11．（多选）在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】如图，   由，可得，， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 由题意有，，， 联立两式消去可得：，即，故D正确． 故选：ACD． 考点03向量共线定理证明点共线问题 12．已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【详解】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 13．在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以和共线， 因为和有公共端点， 所以三点共线， 所以点在直线上， 故选：A 14．设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误； B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误； C选项，， ， 故，故三点共线，C正确； D选项，， 设，则，无解，故三点不共线，D错误. 故选：C 15．是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【答案】B 【详解】 ， ， ，即与共线 ∴点一定在边所在直线上. 故选：B． 16．已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,, 因为三点共线，所以,故 ，所以 故选：D 考点04向量共线定理证明平行问题 17．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同； “存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况． 所以，“存在实数，使得”不能推出是“”； “” 可以推出“存在实数，使得”， 所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 18．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 19．已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】在四边形中， 若， 则，且， 即四边形为梯形，充分性成立； 若当，为上底和下底时， 满足四边形为梯形， 但不一定成立，即必要性不成立； 故是的充分不必要条件. 故选：A 20．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，因为O、E分别BD、BC的中点， 故． 所以且． 21．如图所示，已知梯形中，，E，F分别是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】延长到M，使，连接，得平行四边形． 由平行四边形法则得． 由于，所以共线且同向，根据平面向量基本定理，存在正实数，使． 由三角形法则得且， 所以， 所以． 由于E，D不共点，所以． 考点05平面向量基本定理的理解 22．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 23．在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则. 因为是线段的中点，所以. 因为三点共线，所以， 所以解得. 故选：D. 24．已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 25．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 26．如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 27．如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    【答案】. 【详解】设，为一组基底，则 ∵，. ∴ 设，则 . 易求得. 又B、K、F三点共线，∴存在实数t，使， 即， 由平面向量基本定理得， ∴，即. 考点06向量的坐标运算 28．已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，建立直角坐标系，则， 所以， 所以， 故选：C.    29．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 30．已知，，，则点的坐标为 【答案】 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 31．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则，可得， 因为向量与共线，可得，解得. 故选：C． 32．已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 考点07坐标法解决向量共线问题 33．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 34．已知向量，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．0 【答案】D 【详解】由可得，解得. 故选：D. 35．已知非零向量，，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】易知， 由， 得，解得或（舍去）， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 36．若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 37．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由向量，存在实数x，使得与的方向相同， 则，即，可得，所以，则,取. 故答案为： 考点08向量在几何中的应用 38．已知四边形是矩形，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，. ∴，，，. ∴，. ∴，. ∵， ∴，即. 又， 所以，. ∴. ∴. ∵，∴. 故选：C. 解法二：∵， ， ∴. ∵，∴，得.∴， . ∴. 故选：C. 39．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M, 设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为, 因为， 所以设， 因为AM与向量AD共线， 设,, 所以， 即， , 所以 故选：A 40．已知是内一点，，设的面积为的面积为，则 ． 【答案】 【详解】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为 因为，, 所以 因为, 所以. 故答案为： 41．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 42．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 考点09向量在物理中的应用 43．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：A. 44．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 45．有两个分别为3牛和5牛的力作用在某物体上，则合力的最大值为 牛． 【答案】8 【详解】设两个力分别为，且，根据题意合力. 则根据三角不等式有，当且仅当同向时取得. 故合力最大值为8． 故答案为：8. 46．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标． 【答案】 【详解】由题意. 所以合力的坐标为. 47．一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°方向走300米到达点C，然后向东北方向走100米到达点D.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移. 【答案】答案见解析 【详解】根据题意，画出图形，如图： 向量为这个人的位移. 48．一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【答案】所用的时间是3.1min 【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面向量初步9大题型 考点01向量的加、减、数乘运算 考点02向量的线性表示 考点03向量共线定理证明点共线问题 考点04向量共线定理证明平行问题 考点05平面向量基本定理的理解 考点06向量的坐标运算 考点07坐标法解决向量共线问题 考点08向量在几何中的应用 考点09向量在物理中的应用 考点01向量的加、减、数乘运算 1．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3． （    ） A． B． C． D． 4．已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 5．如图，在正六边形中，若，则 . 考点02向量的线性表示 6．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 8．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 9．在中，点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 10．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 11．（多选）在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 考点03向量共线定理证明点共线问题 12．已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 13．在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 14．设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 15．是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 16．已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 考点04向量共线定理证明平行问题 17．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 19．已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 20．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且． 21．如图所示，已知梯形中，，E，F分别是的中点，求证：． 考点05平面向量基本定理的理解 22．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 23．在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 25．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 27．如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    考点06向量的坐标运算 28．已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．8 B． C． D． 29．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 30．已知，，，则点的坐标为 31．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A．1 B．2 C． D． 32．已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 考点07坐标法解决向量共线问题 33．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知向量，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．0 35．已知非零向量，，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ． 考点08向量在几何中的应用 38．已知四边形是矩形，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 39．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ） A． B． C． D．1 40．已知是内一点，，设的面积为的面积为，则 ． 41．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 42．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 考点09向量在物理中的应用 43．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 44．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 45．有两个分别为3牛和5牛的力作用在某物体上，则合力的最大值为 牛． 46．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标． 47．一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°方向走300米到达点C，然后向东北方向走100米到达点D.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移. 48．一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $