专题05 指对数函数11大题型（高效培优期末专项训练）高一数学上学期人教B版2019

专题05 指对数函数11大题型 考点01指对数函数的概念判断 考点02求指对数函数的解析式 考点03指对数函数的定义域 考点04指对数函数的值域 考点05指对数函数的图象 考点06指对数函数的定点问题 考点07指数函数与对数函数的关系 考点08指对数函数的单调性问题 考点09指对幂比较大小 考点10指对数函数解不等式 考点11指对数函数的综合应用 考点01指对数函数的概念判断 1．下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 2．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【分析】 【详解】（1）原式中真数为，不是对数函数． （2）原式中对数式后加2，不是对数函数． （3）原式中真数为，且系数不为1，故不是对数函数． （4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数． （5）原式中底数是6，真数为，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 3．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 4．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 5．若函数是指数函数，则实数 ． 【答案】/0.5 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 考点02求指对数函数的解析式 6．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 7．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 8．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 9．已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【详解】由已知，设，且， 又函数图像过点， 即， 解得， 即， 故答案为：. 10．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 考点03指对数函数的定义域 11．函数 的定义域是 . 【答案】 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 12．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数有意义，等价于，解得， 所以函数的定义域为 故选：A 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 所以所求函数的定义域为. 故选：B 14．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】根据题意，， 则， 解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： 15．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 考点04指对数函数的值域 16．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的值域为，且在上单调递增， 所以的值域为， 故选：A 17．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 18．函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 19．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 20．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 21．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 考点05指对数函数的图象 22．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 23．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 24．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，为减函数，排除C、D， 当时，为增函数，排除B. 故选：A 25．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 26．若函数，则由图象可得，依次对应的函数为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】由函数图象知，为正比例函数，则对应函数为， 为对数函数，则对应函数为， 为指数函数，则对应函数为， 故选：B. 27．（多选）已知（，，，），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由，可得，即， 所以，与具有相同的单调性， 当时，与同为增函数，故B满足； 当时，与同为减函数，故D满足. 故选：BD 考点06指对数函数的定点问题 28．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 29．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【详解】由指数函数的性质可知，当时，， 所以恒过定点， ， 则函数恒过定点，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：ACD. 30．若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 31．已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的图象恒过定点可知 函数的图象恒过定点. 又点在直线上， 所以，所以. 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 32．若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则 ． 【答案】 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当，即时，恒有，因此点，所以. 故答案为： 考点07指数函数与对数函数的关系 33．若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 34．已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 35．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 36．若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得，即， 所以函数的反函数为， 因为函数的图象关于直线对称，可得， 可得，所以， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 37．已知函数和互为反函数，若正数满足，，则 . 【答案】 【详解】因为函数和互为反函数，所以， 所以，即，两边取对数得①， 又，即，整理得，即②， 令函数，又和在上均单调递增， 故函数在上单调递增， 又因，， 故此函数有且仅有一个零点，由①和②可得，即， 所以. 故答案为： 考点08指对数函数的单调性问题 38．已知，“”是“函数 在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件. 故选：C. 39．若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增， 所以，解得 故答案为：C 40．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C 41．已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数对任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增， 当时，在上递减，不合题意； 当时，在上是常函数，不合题意； 当时，所以，即 ，解得 ， 所以实数的取值范围是. 故选：D 42．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 函数在上单调递减， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，在上单调递增. 故答案为： 43．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/0.25 【详解】当时，函数在区间上单调递增， 则有，解得， 此时， 则， 所以函数在内是严格减函数，不满足题意； 当时，函数在区间上单调递减， 则有，解得， 此时， 则， 函数在内是严格增函数，满足题意； 综上，. 故答案为：. 考点09指对幂比较大小 44．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 45．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数函数的图象与性质，可得，即， 又由，所以， 又由，指数函数为单调递增函数，可得，所以， 又由，所以， 综上可得：. 故选：D. 46．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 47．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的性质，可得且，所以， 又由对数函数的性质，可得， 且，，所以， 所以. 故选：C. 48．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】A 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减； 所以在上单调递减； 所以函数在R上单调递减. 因为，， 所以 ； 所以＜＜. 故选：A. 考点10指对数函数解不等式 49．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 50．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可将转化为，即， 又指数函数是增函数，所以，即，解得． 故原不等式的解集为. 故选：D． 51．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】， 因为函数是定义域为的增函数， 所以，解得，故原不等式的解集为． 故答案为：． 52．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】. 【详解】由函数，可得的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，其图象关于轴对称， 当时，，可得在上为单调递增函数， 则在为单调递减函数， 因为函数为偶函数，可得 又由不等式，即为，可得， 即，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 53．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由已知当时，， 当时，，则， 又函数为奇函数， 则当时，， 且当时，， 综上所述； （2）由（1）可得当时，，此时， 当时，，此时， 又不等式，即或， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为或. 54．已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 【答案】(1)，偶函数 (2)当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【分析】 【详解】（1）由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； （2）即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 考点11指对数函数的综合应用 55．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 因为函数恰好有个不同的零点， 所以方程有个根， 设，则方程化为， 解得，， 即或， 由图可知方程有两个根， 则方程有三个根，所以由图可知， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 56．（多选）已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（    ） A．是奇函数 B． C．函数是单调递增函数 D． 【答案】AC 【详解】对于A，， 令，定义域为， 因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以，故B错误； 对于C， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以函数在上是增函数，故C正确； 对于D，，故D不正确； 故选：AC 57．（多选）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【详解】作出函数的图象，如图所示，    设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 58．已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为. （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，. （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为． 59．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值集合： (2)当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，的最大值为. 【分析】 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. （2）存在；的最大值为，理由如下： 当时，，则， 则不等式可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 可得：在区间上单调递增. 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对数函数11大题型 考点01指对数函数的概念判断 考点02求指对数函数的解析式 考点03指对数函数的定义域 考点04指对数函数的值域 考点05指对数函数的图象 考点06指对数函数的定点问题 考点07指数函数与对数函数的关系 考点08指对数函数的单调性问题 考点09指对幂比较大小 考点10指对数函数解不等式 考点11指对数函数的综合应用 考点01指对数函数的概念判断 1．下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 3．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 5．若函数是指数函数，则实数 ． 考点02求指对数函数的解析式 6．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 10．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 考点03指对数函数的定义域 11．函数 的定义域是 . 12．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．函数的定义域为 ． 15．函数的定义域是 ． 考点04指对数函数的值域 16．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 17．函数的值域为 ． 18．函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 20．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05指对数函数的图象 22．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   23．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 24．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 25．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 26．若函数，则由图象可得，依次对应的函数为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（多选）已知（，，，），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点06指对数函数的定点问题 28．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 29．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为 ． 31．已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则 ． 考点07指数函数与对数函数的关系 33．若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 34．已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是 ． 35．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 36．若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 37．已知函数和互为反函数，若正数满足，，则 . 考点08指对数函数的单调性问题 38．已知，“”是“函数 在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 41．已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 42．函数的单调递增区间为 . 43．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为，且函数在内是严格增函数，则 . 考点09指对幂比较大小 44．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 45．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 46．若，，，则（   ） A． B． C． D． 47．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 48．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 考点10指对数函数解不等式 49．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 50．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 51．不等式的解集为 ． 52．已知函数，则不等式的解集为 . 53．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求的取值集合. 54．已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 考点11指对数函数的综合应用 55．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 56．（多选）已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（    ） A．是奇函数 B． C．函数是单调递增函数 D． 57．（多选）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 58．已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 59．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值集合： (2)当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $