寒假作业03 全等三角形（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 全等三角形 【知识点1 全等三角形的概念】 1.全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 4.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【知识点2 全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【知识点3 全等三角形的判定】 1.判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 数学语言表达：AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 2.判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 数学语言表达：AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 3.判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 数学语言表达：∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 4.判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 数学语言表达：∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 5.直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 数学语言表达：AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 全等三角形的性质】 1．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可． 【解答】解：∵CD平分∠BCA， ∴∠ACD＝∠BCD∠BCA， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， ∵∠CGF＝∠D+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°， ∴∠BCA＝116°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝34°， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【分析】由全等三角形的性质可得DE＝DA，BE＝CA，即可得△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA，即可求解． 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴DE＝DA，BE＝CA， ∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA， ∵AB＝14，AC＝10， ∴△BDE的周长为BA+CA＝14+10＝24． 故选：C． 3．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a﹣2b，a+2b，若这两个三角形全等，则a+b＝（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【分析】根据全等三角形的性质列出方程组，解方程求出a、b的值，计算即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴或， 解得：或， ∴a+b＝5或4， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线EA⊥x轴于点A（10，0）．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AO方向运动，同时点C从点A出发在射线AE上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若△OBD与△ABC全等，则OD的长度为　 　 ． 【分析】设运动时间为t秒，由题意得AB＝2t，AC＝3t，则OB＝10﹣2t，然后分①△OBD≌△ABC和②△OBD≌△ACB两种情况，根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：设运动时间为t秒，由题意得：AB＝2t，AC＝3t， ∵A（10，0）， ∴OA＝10， ∴OB＝10﹣2t， 当△OBD≌△ABC时，OB＝AB，OD＝AC， ∴10﹣2t＝2t， 解得t， ∴OD＝AC＝3t， 当△OBD≌△ACB时，OB＝AC，OD＝AB， ∴10﹣2t＝3t， 解得：t＝2， ∴OD＝AB＝2t＝4， 故答案为：或4． 【题型2 全等三角形的判定】 5．根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断， A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，所以该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； 故选：A． 6．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 7．如图，AC、BD交于点O，BO＝DO，添加：①∠BAC＝∠DCA；②AB＝CD；③AO＝CO，三个条件中的一个，能使△ABO≌△CDO的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【分析】根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DCA，∠AOB＝∠COD，BO＝DO， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， 故①符合题意； ②∠AOB＝∠COD分别是AB和CD的对角，无法判定△ABO≌△CDO， 故②不符合题意； ③∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， 故③符合题意． ∴能使△ABO≌△CDO的条件共2个． 故选：B． 8．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠EAD，又由于AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边． 【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD， 加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED； 加③∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED； 加④∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED； 加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等， 其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④． 故选：C． 【题型3 全等三角形的判定与性质】 9．如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°， ∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E70°． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证： （1）CF＝EB； （2）AB＝AF+2EB． 【分析】（1）先证明△ADC≌△ADE得到CD＝ED，再证明Rt△CDF≌Rt△EDB即可证明CF＝EB； （2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，再由线段的和差关系证明即可． 【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAE， ∵DE⊥AB， ∴∠ACD＝∠AED＝90°， 在△ADC和△ADE中， ， ∴△ADC≌△ADE（AAS）， ∴CD＝ED， 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB； （2）∵△ADC≌△ADE， ∴AE＝AC， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+CF+BE＝AF+2EB． 11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC． （1）求证：△ADC≌△BDF； （2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长 【分析】（1）先证明∠BDF＝∠ADC，∠CAD＝∠FBD，然后根据AAS，再结合已知条件可得结论； （2）根据DF＝2，AF＝3，得出AD＝AF+DF＝3+2＝5，根据△ADC≌△BDF得出BD＝AD＝5，CD＝DF＝2，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝∠ACD+∠DBF＝90°， ∴∠CAD＝∠DBF， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）； （2）解：∵DF＝2，AF＝3， ∴AD＝AF+DF＝3+2＝5， ∵△ADC≌△BDF， ∴BD＝AD＝5，CD＝DF＝2， ∴BC＝BD+DC＝5+2＝7． 12．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，连接BD、CE，BD与AC、CE分别相交于点F和点O，CE与AD相交于点G． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE得∠BAD＝∠CAE，再根据AB＝AC，AD＝AE即可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等； （2）由三角形外角性质得∠BFC＝∠BOC+∠ACE＝∠BAC+∠ABD，再根据△ABD和△ACE全等得∠ABD＝∠ACE，由此得∠BOC＝∠BAC＝45°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BFC是△FOC和△FAB的外角， ∴∠BFC＝∠BOC+∠ACE＝∠BAC+∠ABD， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠BOC＝∠BAC ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC的度数为45°． 13．如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB＝AD，AE＝AF，AF⊥BE． （1）求证：BF＝DE； （2）若CE＝BC+BF，∠ADC＝110°，求∠BCE的度数． 【分析】（1）通过证明△ABF≌△ADE，得出对应边相等，从而证明BF＝DE； （2）先利用已知条件和（1）的结论得出线段相等关系，再证明△ABC≌△ADC，结合三角形内角和等知识求出∠BCE的度数． 【解答】（1）证明：∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， 在△ABF与△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴BF＝DE； （2）解：连接AC， ∵BF＝DE，CE＝BC+BF， ∴BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC＝∠ADC＝110°， ∵， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝25°， ∴∠ACD＝∠ACB＝25°， ∴∠BCE＝50°． 14．如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB，延长BA至点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长AC至点F，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，H且DE＝FG． （1）求证：BE＝CG； （2）如图2，连接DF，交EG于点H，猜想GH与BC的数量关系．并证明． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定证明即可； （2）证明△DEH≌△FGH（AAS），得到EH＝GH，即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACB，∠ACB＝∠FCG， ∴∠ABC＝∠FCG， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠BED＝∠CGF＝∠DEH＝90°， ∵DE＝FG， 在△BDE和△CFG中， ， ∴△BDE≌△CFG（AAS）， ∴BE＝CG； （2）解：BC＝2GH； 证明：∵BE＝CG， ∴BE﹣CE＝CG﹣CE， ∴BC＝EG， 在△DEH和△FGH中， ， ∴△DEH≌△FGH（AAS）， ∴EH＝GH， ∴BC＝EG＝2GH． 【题型4 全等三角形多结论问题】 15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD与角平分线BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．下列结论中，正确的个数是（　　） ①∠APB＝135°； ②△ABP≌△FBP； ③； ④AH+BD＝AB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴， ∴， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA ＝180°﹣（∠PAB+∠PBA） ＝180°﹣45° ＝135°， 故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， ∵∠PFD＝90°﹣∠ADF， ∴∠PAH＝90°﹣∠ADF， 在△PAH和△PFD中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵， ∴，故结论③正确； 又∵AH＝FD， ∴FD+BD＝AH+BD， AB＝FB， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 16．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞CO，∠AOB＝∠COD＝40°，AC、BD交于点M，连接OM，下列结论：①∠AMB＝40°；②AC＝BD；③MO平分∠BMC；④OM平分∠BOC．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【分析】先证△AOC≌△BOD（SAS），得出∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确；再由三角形的外角性质求得∠AMB＝∠AOB＝40°，故①正确；过点O作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，然后证△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，则MO平分∠BMC，③正确；假设OM平分∠BOC，则∠DOM＝∠AOM，证△COM≌△BOM（ASA），推出OA＝OC，与OA＞OC矛盾，故④不正确． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故①正确； 如图，过点O作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，故③正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与OA＞OC矛盾，故④不正确； 综上所述，正确的是①②③， 故选：A． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论：①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【分析】如图所示，延长EB至点G，使得BE＝BG，设AC，DE交于点M，可得∠GAC＝∠EAD，证明△GAC≌△EAD（SAS），可判定②④；根据AG＝AE，得到∠G＝∠AEG＝∠AED，EA平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，则有AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，无法说明AC⊥DE，可判定①；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，若CD∥AB，可得∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°，可判定③；由此即可求解． 【解答】解：如图所示，延长EB至点G，使得BE＝BG，设AC，DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE，且BE＝BG， ∴AB垂直平分EG， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAB， ∵∠BAE∠CAD， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，即∠GAC＝∠EAD， 在△GAC和△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ADE＝∠ACB， 故②正确，符合题意； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴EA平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则有AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明有AC⊥DE， 故①错误，不符合题意； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣∠CAD）（180°﹣2x）＝90°﹣x， 若CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， 故③正确，符合题意； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， 故④正确，符合题意； 综上所述，符合题意的有②③④， 故选：B． 18．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB，点F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】由BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，BA＝BE，根据“SAS”证明△ABD≌△EBC，可判断①正确；由全等三角形的性质得∠BCE＝∠BDA，由∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠ADE，得∠BCD＝∠ADE，则∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠ADE＝180°，可判断②正确；因为∠ADE＝∠BDC（180﹣∠DBC）（180﹣∠ABE）＝∠BEA，所以AD＝AE，而AD＝EC，则AD＝AE＝EC，可判断③正确；在BA上截取BG＝BC，连接GE，可证明△AGE≌△ACE，得EG＝EC，则EG＝AE，因为EF⊥AG，所以GF＝AF，则BA﹣BF＝BF﹣BG，即可证明BA+BC＝2BF，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠EBC， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， 故①正确； ∴∠BCE＝∠BDA， ∵∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠ADE， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠ADE＝180°， 故②正确； ∵∠ABE＝∠DBC，∠BEA＝∠BAE，∠BDC＝∠BCD， ∴∠ADE＝∠BDC（180﹣∠DBC）＝（180﹣∠ABE）＝∠BEA， ∴AD＝AE， ∵AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC， 故③正确； 在BA上截取BG＝BC，连接GE， 在△AGE和△ACE中， ， ∴△AGE≌△ACE（SAS）， ∴EG＝EC， ∴EG＝AE， ∵EF⊥AG， ∴GF＝AF， ∴BA﹣BF＝BF﹣BG， ∴BA+BG＝2BF， ∴BA+BC＝2BF， 故④正确， 故选：D． 19．如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． 给出下面四个结论： ①BE＝CF； ②AG＝3DE； ③△ABE≌△GCF； ④S△ABD+S△CDF＝S△GCF． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 【分析】证明△BDE≌△CDF，可得BE＝CF，DE＝DF，从而可判断①正确；证明△ABE≌△GCF，可证AG＝2DE，从而判断③正确，②错误；由S△ABD＝S△ACD，结合以上结论可判断④正确． 【解答】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，DE＝DF， 故①正确，符合题意； 在△ABE和△GCF中， ， ∴△ABE≌△GCF（AAS）， 故③正确，符合题意； ∴AE＝GF， ∴AG＝EF， ∴AG＝2DE， 故②错误，不符合题意； ∵BE＝CF，AG＝2DE， ∴S△AGC＝2S△BDE＝2S△CDF， ∵AD为中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∴S△ABD+S△CDF＝S△ACD+S△CDF ＝S△ACF+S△CDF+S△CDF ＝S△ACF+2S△CDF ＝S△ACF+S△AGC ＝S△GCF， 故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【题型5 做辅助线构造全等】 20．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 　． 【分析】延长AD到M，作DH⊥AB于H．首先证明△ADC≌△ADH，推出AC＝AH＝6，再证明AH＝HE＝6，由BE＝2，可得BH＝4，推出AB＝10． 【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAH， ∵∠C＝∠AHD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADH（AAS）， ∴AC＝AH＝6， ∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°， ∴∠EDM＝∠CAB， ∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB， ∴∠DAB＝∠E， ∴DA＝DE， ∵DH⊥AE， ∴AH＝HE＝6， ∵BE＝2， ∴BH＝4， ∴AB＝10， 故答案为：10． 21．如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　 　． 【分析】在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK．证明△AEG≌△DCK（SAS），由全等三角形的性质得出DK＝AG，∠AGE＝∠DKC，证出∠B＝∠DKB，得出DB＝DK，则可得出答案． 【解答】解：在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK． ∵EF⊥AB， ∴EB＝EG， ∴∠B＝∠EGB， ∵∠EGB＝∠BAE+∠AEG，∠B＝∠BAE+∠BCD， ∴∠AEG＝∠BCD， ∵AE＝CD，EG＝CK， ∴△AEG≌△DCK（SAS）， ∴DK＝AG，∠AGE＝∠DKC， ∴∠EGB＝∠DKB， ∴∠B＝∠DKB， ∴DB＝DK， ∴BD＝AG， ∴AD＝BG， ∵BG＝2BF＝12， ∴AD＝12， 故答案为：12． 22．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF＝　 ． 【分析】由“AAS”可证△AHC≌△CFE，可得CF＝AH，由直角三角形的性质可得DHCD＝7，DG＝2DF，由线段的数量关系可求解． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠ACB＝60°＝∠BDC，∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD， ∴∠A＝∠BCD， 在△AHC和△CFE中， ， ∴△AHC≌△CFE（AAS）， ∴CF＝AH， ∵∠BDC＝60°，EF⊥CD，CH⊥AB， ∴∠DGF＝∠DCH＝30°， ∴DHCD＝7，DG＝2DF， ∵5DG＝3AD， ∴ADDF， ∵AH＝CF， ∴DF+7＝14﹣DF， ∴DF， 故答案为：． 23．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　 　． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示： 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC， ∴在Rt△AFG和Rt△AHG中， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， 同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝6， ∵AF＝4， ∴FG×4＝6， 解得：FG＝3； 故答案为：3． 24．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数是（　　） A．58° B．45° C．77° D．64° 【分析】作FH⊥FE交AC用H，由题意可求得∠AFH＝∠CFE＝13°，由ASA可证得△FAH≌△FCE，从而有FH＝FE，再由SAS证得△DFE≌△DFH，有∠DEF＝∠DHF，从而可求解． 【解答】解：作FH⊥FE交AC用H，如图， ∵∠AFC＝∠EFH＝90°， ∴∠AFH＝∠CFE＝13°， ∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC， ∴△FAH≌△FCE， ∴FH＝FE， ∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°， ∴∠DFH＝∠DFE＝45°， ∵DF＝DF， ∴△DFE≌△DFH， ∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°， ∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°， ∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°， 故选：D． 【题型6 一线三等角模型】 25．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠ACB．点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF． （1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF； （2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△BDE≌△CEF，可得DE＝EF； （2）由“AAS”可证△BDE≌△CEF，可得BD＝EC＝6． 【解答】（1）证明：∵∠DEF＝∠ABC，∠DEC＝∠ABC+∠BDE＝∠DEF+∠CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， ∴DE＝EF； （2）解：∵BC＝9，EC＝2BE， ∴BE＝3，EC＝6， ∵∠A+2∠DEF＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠DEF＝∠ABC＝∠ACB， ∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE＝∠DEF+∠CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， ∴BD＝EC＝6． 26．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． 【数学思考】 若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：EF＝BE﹣AF； （2）②如图2，若0°＜∠BCA＜90°，当∠α与∠BCA之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 （3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请直接写出EF，BE和AF之间数量关系． 【分析】（1）证明△BCE≌△CAF（AAS），则BE＝CF，CE＝AF，EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF； （2）当∠α+∠ACB＝180°时，∠ECB＝∠FAC，证明△BCE≌△CAF（AAS），则BE＝CF，CE＝AF，EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF； （3）证明△BCE≌△CAF（AAS），则BE＝CF，CE＝AF，EF＝CF+CE＝BE+AF． 【解答】（1）证明：∵∠BEC＝∠CFA＝90°，∠BCA＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°＝∠EBC+∠BCE， ∴∠EBC＝∠ACF， ∵∠EBC＝∠FCA，∠BEC＝∠CFA，CB＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF， ∴EF＝BE﹣AF； （2）解：当∠α+∠ACB＝180°时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当∠α+∠ACB＝180°时，则∠α+∠FCA+∠ECB＝180°＝∠α+∠FCA+∠FAC， ∴∠ECB＝∠FAC， ∵∠EBC＝∠FCA，∠BEC＝∠CFA，CB＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF， ∴EF＝BE﹣AF； （3）解：EF＝BE+AF； ∵∠α+∠FCA+∠FAC＝180°＝∠α+∠FCA+∠ECB， ∴∠ECB＝∠FAC， ∵∠EBC＝∠FCA，∠BEC＝∠CFA，CB＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF+CE＝BE+AF， ∴EF＝BE+AF． 27．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系 　 　； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到∠FCB＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到∠CAE＝∠BCF根据全等三角形的性质得到CE＝BF，AE＝CF，等量代换得到结论； （3）由（2）得EF＝AE+BF且BF＝3AE，求得CE＝3AE，得到EF＝2AE＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∵EF＝EC+CF， ∴EF＝AE+BF； （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF 又∵AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； 故答案为：EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝3AE， ∴CE＝3AE， ∵CF＝AE， ∴EF＝2AE＝4， ∴AE＝CF＝2，BF＝6， ∴△BFC的面积． 【题型7 倍长中线模型】 28．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　（直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①补全图形，如图①所示： ②根据三角形中线定义得CD＝BD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此可得出答案； ③根据全等三角形性质得AC＝BE＝6，AE＝2AD，再根据三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，即6﹣4＜2AD＜6+4，由此可得出AD的取值范围； （2）延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM与BE的数量关系． 【解答】解：（1）①补全图形，如图①所示： ②∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS． ③∵△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE， ∵AB＝4，AC＝6，DE＝DA， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 即AD的取值范围是1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）猜想：BE＝2AM，理由如下： 延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示： 则AN＝2AM， ∵AM为△ACD的中线， ∴DM＝CM， 在△ADM和△NCM中， ， ∴△ADM≌△NCM（SAS）， ∴AD＝CN，∠DAM＝∠N， ∴AD∥CN， ∴∠DAC+∠ACN＝180°， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAE+∠DAC＝180°， ∴∠ACN＝∠BAE， ∵AD＝AE，AD＝CN， ∴CN＝AE， 在△ACN和△BAE中， ， ∴△ACN≌△BAE（SAS）， ∴AN＝BE， ∵AN＝2AM， ∴BE＝2AM． 29．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 【分析】（1）由题意得：AE在△ABE中，由三角形三边关系可得到AE的取值范围，ADAE，即可求得AD的取值范围； （2）由“SAS”可证△EDF≌△EBA，可得∠ADC＝∠ADF，由“SAS”可证△AFD≌△ACD（SAS），可得AC＝AF＝2AE； （3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）在△ABE中，AB＝6，BE＝AC＝10，由三角形三边关系可得：AE﹣AB＝4＜AE＜AB+BE＝16，即AE到取值范围为4＜AE＜16， ∵AD， ∴AD的取值范围为2＜AD＜8； 故答案为：2＜AD＜8； （2）如图2，延长AE至点F，使得EF＝AE，连接DF，则AF＝EF+AE＝2AE， ∵E是BD中点， ∴DE＝BE， 在△EDF和△EBA中， ， ∴△EDF≌△EBA（SAS）， ∴DF＝AB＝CD，∠B＝∠EDF，∠F＝∠EAB， ∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∠BDA＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠ADF， 在△AFD和△ACD中， ， ∴△AFD≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AF， ∴AC＝2AE； （3）EF＝2AD，EF⊥AD， 理由：如图3，延长DA交EF于点P，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC，∠M＝∠CAD， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 【题型8 半角模型】 30．【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 ； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由： 如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠B＝90°， ∵DG＝BE，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+FD，DG＝BE， ∴EF＝DG+FD＝GF，且AE＝AG，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 31．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明△ABE≌　 　；再证明了△AEF≌　 　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（不用证明） 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．证明△ABE≌△ADG（SAS），得出AE＝AG，∠1＝∠2，证明△AEF≌△AGF（SAS），得出EF＝EG，进而可得结论； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS）．可得AF＝AM，∠2＝∠3．然后证明△AME≌△AFE（SAS）．可得EF＝ME．进而可以得到结论； （3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．可得∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．然后可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【解答】（1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝EG， ∵FG＝FD+DG， ∴EF＝DF+BE， 故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE， ∴∠MAE＝∠FAE， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME． ∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF； （3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 故答案为：EF＝BE﹣FD． 32．如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，△ABD≌△ACE，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】根据△ABD≌△ACE，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠C，AB＝AC，AD＝AE， ∴在△ABD和△ABE中，∠B＝∠B，AB＝AB，AD＝AE，符合“伪全等三角形”的定义； 在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，AD＝AD，符合“伪全等三角形”的定义； 在△ACE和△ACD中，∠C＝∠C，AC＝AC，AE＝AD，符合“伪全等三角形”的定义； 在△ACE和△ABE中，∠B＝∠C，AE＝AE，AC＝AB，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 33．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”． （1）如图1，BC＝BD，则△ABC与△ABD　 　 “共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图2，△ACB与△ACD是“共边黄金三角形”，BC＝CD，∠BAD＝62°，则△ACB与△ACD的“黄金角”的度数为　 　 ． （3）如图3，已知AC平分∠BAD，AB＝AE，△ACB与△ACD是“共边黄金三角形”，试说明CD＝CE． 【分析】（1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边AB，∠A＝∠A，即可得出； （2）根据共边黄金三角形的定义得出∠CAB＝∠DAC，再结合∠BAD＝62°，则∠CAB＝∠DAC＝31°，即可作答； （3）先由角的平分线的定义得出∠BAC＝∠EAC，然后证明△ABC≌△AEC（SAS），得BC＝EC，再运用共边黄金三角形的定义，得出BC＝CD，即可作答． 【解答】解：（1）∵△ABC与△ABD具有公共边AB， 又∵BC＝BD，且∠A＝∠A， ∴△ABC与△ABD是共边黄金三角形， ∴故答案为：是． （2）∵△ACB与△ACD是“共边黄金三角形”，BC＝CD， ∴∠CAB＝∠DAC， ∵∠BAD＝62°， ∴； 则△ACB与△ACD的“黄金角”的度数为31°； 故答案为：31°； （3）∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAC． 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）， ∴BC＝EC． ∵则△ACB与△ACD是共边黄金三角形， ∴BC＝CD， ∴CD＝CE． 34．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，P为AC上一点，当AP的长为　 　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长． 【分析】（1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可； （2）根据“偏等积三角形”的定义可作图； （3）由题意易得BD＝CD，然后可得△ABD≌△ECD（AAS），则有AB＝CE＝2，AD＝ED，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【解答】解：（1）当点P为AC的中点时，因为AC＝BC＝8，则有APAC8＝4，所以△ABP与△CBP为偏等积三角形， 故答案为：4； （2）所作三角形如图2所示： （3）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，且它们的高相等， ∴BD＝CD， ∵AB∥CE， ∴∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB＝CE＝2，AD＝ED， ∵AC＝4， ∴根据三角形三边关系可得：4﹣2＜2AD＜4+2， 即1＜AD＜3， ∵线段AD的长度为正整数， ∴AD＝2， ∴AE＝4． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 全等三角形 【知识点1 全等三角形的概念】 1.全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 4.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【知识点2 全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【知识点3 全等三角形的判定】 1.判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 数学语言表达：AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 2.判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 数学语言表达：AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 3.判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 数学语言表达：∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 4.判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 数学语言表达：∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 5.直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 数学语言表达：AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 全等三角形的性质】 1．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 3．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a﹣2b，a+2b，若这两个三角形全等，则a+b＝（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线EA⊥x轴于点A（10，0）．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AO方向运动，同时点C从点A出发在射线AE上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若△OBD与△ABC全等，则OD的长度为　 　 ． 【题型2 全等三角形的判定】 5．根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 6．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 7．如图，AC、BD交于点O，BO＝DO，添加：①∠BAC＝∠DCA；②AB＝CD；③AO＝CO，三个条件中的一个，能使△ABO≌△CDO的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 8．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 全等三角形的判定与性质】 9．如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证： （1）CF＝EB； （2）AB＝AF+2EB． 11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC． （1）求证：△ADC≌△BDF； （2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长 12．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，连接BD、CE，BD与AC、CE分别相交于点F和点O，CE与AD相交于点G． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠BOC的度数． 13．如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB＝AD，AE＝AF，AF⊥BE． （1）求证：BF＝DE； （2）若CE＝BC+BF，∠ADC＝110°，求∠BCE的度数． 14．如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB，延长BA至点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长AC至点F，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，H且DE＝FG． （1）求证：BE＝CG； （2）如图2，连接DF，交EG于点H，猜想GH与BC的数量关系．并证明． 【题型4 全等三角形多结论问题】 15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD与角平分线BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．下列结论中，正确的个数是（　　） ①∠APB＝135°； ②△ABP≌△FBP； ③； ④AH+BD＝AB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞CO，∠AOB＝∠COD＝40°，AC、BD交于点M，连接OM，下列结论：①∠AMB＝40°；②AC＝BD；③MO平分∠BMC；④OM平分∠BOC．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论：①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 18．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB，点F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 19．如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． 给出下面四个结论： ①BE＝CF； ②AG＝3DE； ③△ABE≌△GCF； ④S△ABD+S△CDF＝S△GCF． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 【题型5 做辅助线构造全等】 20．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 　． 21．如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　 　． 22．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF＝　 ． 23．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　 　． 24．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数是（　　） A．58° B．45° C．77° D．64° 【题型6 一线三等角模型】 25．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠ACB．点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF． （1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF； （2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长． 26．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． 【数学思考】 若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：EF＝BE﹣AF； （2）②如图2，若0°＜∠BCA＜90°，当∠α与∠BCA之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 （3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请直接写出EF，BE和AF之间数量关系． 27．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系 　 　； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【题型7 倍长中线模型】 28．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　（直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 29．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 【题型8 半角模型】 30．【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 ； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 31．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明△ABE≌　 　；再证明了△AEF≌　 　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（不用证明） 32．如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，△ABD≌△ACE，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 33．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”． （1）如图1，BC＝BD，则△ABC与△ABD　 　 “共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图2，△ACB与△ACD是“共边黄金三角形”，BC＝CD，∠BAD＝62°，则△ACB与△ACD的“黄金角”的度数为　 　 ． （3）如图3，已知AC平分∠BAD，AB＝AE，△ACB与△ACD是“共边黄金三角形”，试说明CD＝CE． 34．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，P为AC上一点，当AP的长为　 　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $