第6章 三角（复习课件）数学沪教版必修第二册

该高中数学单元复习课件系统梳理了三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换及解三角形等核心内容，通过单元知识图谱将正弦余弦正切、和差倍半公式、正余弦定理等知识点串联，构建“概念-公式-应用”的逻辑网络，帮助学生形成完整知识体系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的分层复习策略，如通过角度制与弧度制互化、正余弦定理解三角形等题型，培养学生数学思维的逻辑性和运算能力，针对训练中设计基础题与综合题，满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

单元复习课件 第6章三角 沪教版2020必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.回顾与梳理章节知识，形成知识网络，进一步体会不同知识之间的联系. 3. 学会综合运用本单元公式、定理等知识求解相关数学问题或实际问题. 2. 通过对公式的回顾与梳理，感受公式间的内在联系，提升观察问题、分析问题和解决问题的能力. 单元学习目标 单元知识图谱 角的分类 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合,为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 角度与弧度 的换算 1°= rad,1 rad=()°. 扇形的弧长 和面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,面积为S,圆心角为α(0<α<2π),则l=αR,S=lR=αR2,设α对应的角度为n°,则l=,S=. 考点串讲   正弦 余弦 正切 定义 设α是任意一个角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 y叫做α的正弦,记作sin α x叫做α的余弦,记作cos α (x≠0)叫做α的正切,记作tan α 各象限 符号 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - 设角α终边上任意一点的坐标为(x,y)(不与原点O重合),它与原点之间的距离为r,则sin α=,cos α=,tanα=(x≠0). 口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.  考点串讲 同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠kπ+,k∈Z). (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α; sin α=tan αcos α; sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α). 常用变形 考点串讲 三角函数的诱导公式 归纳 可将这些公式中的角的形式归纳为α+k·(k∈Z)的形式,记忆变换的口诀为奇变偶不变,符号看象限.   一 二 三 四 五 六 角 α+k·2π(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α   考点串讲 两角和与差的正弦公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β 两角和与差的余弦公式 cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β 辅助角公式 asin ωx+bcos ωx=sin(ωx+φ) =cos(ωx-θ)(其中a≠0,b≠0,tan φ=,tan θ=). 考点串讲 规律总结 1.降幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> 2.升幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> . 3.其他常用变式 <m></m> ; <m></m> ; <m></m> . 考点串讲 公式总结 积化和差公式 , , , .（等式右边分别展开，即可证明） 考点串讲 公式的常用变形 (1±sin 2α)=(sin α±cos α)2,sin2α=,cos2α=,sin 2α=, cos 2α=,tan==. 二倍角和半角的正弦公式 sin 2α=2sin αcos α,sin =± 二倍角和半角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin 2α=2cos2α-1=1-2sin2α,cos =± 二倍角和半角的正切公式 tan 2α=(α≠±+kπ,且α≠+kπ,k∈Z), tan =±(α≠π+2kπ,k∈Z) 考点串讲 在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径. 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R. a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C. 常见变形 边化角:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 角化边:sin A=,sin B=, sin C=. 求比值:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 求角或角化边:cos A=,cos B=, cos C=. 考点串讲 规律总结 三角形中的常见结论 （1）在 <m></m> 中， <m></m> .变形: <m></m> . （2）在 <m></m> 中， <m></m> . （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （4）在 <m></m> 中， <m></m> ; <m></m> ; <m>;</m> <m></m> ; <m></m> . （5）在 <m></m> 中，角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 成等差数列 <m></m> , <m></m> . （6）在斜 <m></m> 中， <m></m> . （7）在 <m></m> 中， <m></m> ； <m></m> ； <m></m> （射影定理）. 考点串讲 三角形的面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)r=,其中R,r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p为△ABC周长的一半. 三角形内角特征的判断 a2>b2+c2⇔A为钝角;a2=b2+c2⇔A为直角;a2<b2+c2⇔A为锐角. 考点串讲 题型一、角度制与弧度制 例题1-1.教室里的钟表慢了30分钟，在同学们将它校正的过程中，时针所需要旋转的 弧度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 解法一 30分钟小时，则时针所需要旋转的弧度数为 .故选A. 解法二 在将钟表校正的过程中，易知时针顺时针旋转了 ，旋转角的大小为 ， 故时针所需要旋转的弧度 数为 ，故选A. 题型剖析 题型一、角度制与弧度制 例题1-2.已知，将角 化成角度，为_______， 在内找出与角 终边相同的角，为____. 【解析】 ， 则与角 终边相同的角可表示为 ， , 令 ，得 ， 得，， ， 在 内与 角 终边相同的角为 . 题型剖析 【解析】因为 是第二象限角，所以可得 ,. 对于A， ,，则 是第三象限角，所以A错误. 对于B，可得 ,，当为偶数时， 是第一象限角； 当为奇数时，是第三象限角.所以B正确.对于C， , ， 即 ,，所以 是第一象限角，所以C错误. 对于D， ,，所以 的终边位于第三象限或第四象限或 轴负半轴上，所以D正确.故选 ． 1.若 是第二象限角，则下列说法正确的是( ) D A. 是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 是第二象限角 D. 是第三象限角或 是第四象限角或 的终边在 轴负半轴上 针对训练 B 2.下列说法不正确的是( ) A.与 终边相同的角中，最小正角是 B.三角形的内角必是第一或第二象限角 C.化成弧度是 D.终边落在直线上的角 的集合为 , } 【解析】A.与 终边相同的角为 ,，当 时， ，所以与 终边相同的角中，最小正角是 ，故A正确 .因为三角形的内角的范围是 ，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误 .化成弧度是，故C正确 .易得直线的倾斜角为 ，当角的终边在第一象限时， ， ； 当角的终边在第三象限时， ，．所以角 的集合为 ,， 故D正确.故选 . 针对训练 题型二、弧长与扇形面积 例题2.一个扇形的半径为3，圆心角为 ，且周长为8，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设扇形的弧长为，则，则 ，故选B． 题型剖析 1.单位圆中, 的圆心角所对的弧长为____, 由该弧及半径围成的扇形的面积为___. 【解析】 单位圆的半径， 的弧度数是 ， （注意角的单位必须是弧度） 所以 ，所以 . 针对训练 2.如图，图1是杭州第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”．图2是会徽的几何图 形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为， 扇形的面积为，若，则 ( ) C 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设 ，由，得，即 ， ．故选C． 针对训练 题型三、三角比的概念与符号 例题3.角 的终边在直线上，则 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】 解法一 当角 的终边位于第一象限时，取直线上位于第一象限的一个 点的坐标，如 ，则，同理，当角 的终边位于第三象限时， 取直线上一个点的坐标为,则 ,故选D. 解法二 角 的终边在直线上，，即①， 又②， 解①②构成的方 程组，得 ，经检验，符合题意，故选D． 题型剖析 1.已知角 的终边经过点，且，则 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 角 的终边经过点，，得， （【易错】不要忽略了 的符号） .故选B． 2.已知，则 可能为( ) A A.第一或二象限角 B.第二或三象限角 C.第三或四象限角 D.第一或四象限角 【解析】因为，所以或所以 可能 为第一象限角或第二象限角.故选. 针对训练 3.若 ， ，则 的终边在( ) D A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第一象限或第三象限或轴的非负半轴上 D.第二象限或第四象限或 轴上 【解析】由 ，可得，由 ，可得， 则 的终边在第四象限或 轴的正半轴上，所以 ,， 可得 , .令,， 可得 ,，则的终边在第二象限或 轴负半轴上； 令,，可得 ,， 则的终边在第四象限或 轴正半轴上. 综上可得，的终边在第二象限或第四象限或 轴上.故选D. 针对训练 题型四、同角三角关系 例题4-1.若,,则 _____. 【解析】 由且，解得 故 . 题型剖析 题型四、同角三角关系 例题4-2.已知 ，化简: ______. 【解析】 原式， 因为 ，所以 ，因此原式 . 题型剖析 题型四、同角三角关系 例题4-3.如果，那么___, __， __. 1 【解析】 由，得， ， . 题型剖析 题型四、同角三角关系 方法技巧 在同角三角函数的基本关系中，已知角的正切值，求齐次式的值有两种常见类型. 类型1：分式型，将分子、分母同时除以 ， 可得到与正切有关的分式. 类型2：二次齐次型 ，分母1化为 ， 然后将分子、分母同时除以 ，可得到与正切有关的分式. 题型剖析 1.已知， ，则下列等式不正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】通解 将两边同时平方可得， ，故A正确； ,,, ，故B正确； 由以上可得，，， ，故C错误； ，故D正确. 秒杀解 由及，猜测, ， 计算得A正确，B正确，C错误，D正确，故选C. 针对训练 2.已知，则 ____. 【解析】 由，得，所以， 解得 . 3.已知，则 的值是____. 【解析】 （要求值的式子不是分式，但我们可以把它看成分母为1的分式， 并将1代换成 ，这样就将式子转化成了二次齐次分式， 再弦化切即可） ，所以 . 针对训练 4. 弦化切若，，，则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】解法一 由及,得 , 整理得，得或.当时， ，因为， ，所以，矛盾； 当时，，所以 . 解法二 （将已知的式子平方，等号左侧可化为关于 和 的二次齐次式， 这种式子可进行弦化切的转化）因为 ，所以 ，解得 或，又，，所以，故 . 针对训练 反思 关于这类式子，尽管可以和联立求解 出 和 ，但若数字较复杂， 则计算量大，所以先平方，再化为正切，也是一个可以考虑的方向. 针对训练 题型五、诱导公式 例题5-1.已知，则 的值为___. 18 【解析】 由，可得 ， ． 题型剖析 题型五、诱导公式 例题5-2.已知,则 ___. 0 【解析】 由题知 , , . 题型剖析 1.已知 ． （1）化简 ； 【答案】由题意得， . （2）若，求 的值． 【答案】，即 ， ， ， ． 针对训练 题型六、两角的和差公式 例题6-1.已知锐角 , 满足，，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 , 为锐角，， ，又 ， .故选A. 题型剖析 方法技巧 解决求值、求角、化简等问题的三大核心思想:角度统一、名称统一、次数统一.在具体的问题中，把握好这三个统一，可以解决一系列问题. 1.角度统一:包括二倍角与单倍角之间的统一;要求的角与已知的角之间的统一;题干中涉及多个角时，向某一个或某几个角统一等. 2.名称统一:问题中涉及正弦、余弦、正切等多个函数名时，若能将函数名统一起来，则有利于分析问题，例如关于正弦、余弦的齐次分式，可化为正切进行计算. 3.次数统一:三角代数式中各项次数不统一的，可尝试利用降幂公式或升幂公式将次数统一，再进行解题. 针对训练 1.已知，，则 ____． 【解析】 已知①，②， 则 得， 整理得 ，所以 ． 针对训练 2.已知，则 的值为____． 【解析】 已知，则 . 针对训练 题型七、二倍角公式与半角公式 例题7.已知，，且 ，，则 ( ) C A. B.或 C. D.或或 【解析】第1步：确定 的范围 因为，且，所以，. 又 ，所以. 因为，且，所以，，所以 ， 第2步：求结果 又，所以 .故选C. 题型剖析 1.已知，则 ____. 【解析】 , . 2.已知，则 _____. 【解析】 由，可得 ， 所以 . 针对训练 3.若， 是第三象限角，则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】 解法一 ， 是第三象限角， ， ，故选A． 解法二 , 是第三象限角，， , ，故选A. 针对训练 题型八、正余弦定理解三角形 例题8-1.在中，角，，所对的边分别是，， ， 下列说法不正确的有( ) B A. B.若，则 C.若，则 D. 【解析】对于A，由正弦定理， 得 ，故A正确； 对于B，由，可得或 ，即或， 所以或 ，故B错误； 对于C，在中，由正弦定理可得， 因此是 的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得右边 左边，故D正确．故选 . 题型剖析 题型八、正余弦定理解三角形 例题8-2.黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小 心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，内角，，的对边分别为 ，，，已知 解得 .根据以上信息， 你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件？( ) C A.， B. , C.， D.， 【解析】对于A，因为，， ，所以，又 ，所以 ，故A选项可以作为已知条件.对于B，因为， ,，所以根据正弦定理得 ，即 ，所以，又 ，所以 ，所以 ，故B选项可以作为已知条件.对 于C，因为，，，所以根据正弦定理得，所以 ，又 ， 且，所以 或 ，故C选项不可以作为已知条件. 题型剖析 方法技巧 由正弦定理判断三角形解的个数的方法 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，及 . 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 时有两解；时有一解； 时无解 针对训练 1.在中，角,,所对的边分别为,,,已知，， ，若 有两解，则 的取值范围是________. 【解析】 解法一 ,因为有两解，所以 （若有两解，则由求角 时，应可取锐角或钝角，所以需满足两点： ①；②，即，否则只能取锐角）解得 . 解法二 由三角形有两解的结论，得,得 . 解法三 由余弦定理，得①， 有两解等价于关于 的方程①有 两个不相等的正根，，所以解得 . 针对训练 2.在中，角，，所对的边分别为，， ，且 ，则 __. 【解析】因为 ， 所以， ， 所以， 所以，因为 ， 所以，所以，故，又 ， 所以 . 针对训练 2.已知的内角，，的对边分别为，，，若，， ，则 的周长为_________． 【解析】 第1步：求出 由，得.因为,所以 . 第2步：利用余弦定理求出 由余弦定理，得，得 ， 第3步：求出 ,从而得周长 所以，所以的周长为 . 针对训练 题型九、三角形形状判断与三角形面积 例题9-1.在中，内角,，对应的边分别为,,，， 则 的形状是( ) D A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 【解析】由及正弦定理，得, 在中， ，所以 , 所以， 即，所以 ， 因为 ，,，所以,即， 所以 的形状是等腰三角形.故选D. 题型剖析 题型九、三角形形状判断与三角形面积 例题9-2.已知中，是的角平分线，与交于点， ，，，则 _____， _____． 【解析】 在中，由余弦定理 ，得 ， . 解法一（利用面积公式求解） ,， ，由，得，由是的角平分线， 得，, ， ， ． 题型剖析 题型九、三角形形状判断与三角形面积 例题9-2.已知中，是的角平分线，与交于点， ，，，则 _____， _____． 解法二（根据角互补求解） 由是的角平分线，得,又, , .设,在中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得. ， , ,得 . 题型剖析 方法技巧 角平分线问题的常用求解方法 在中，内角，，对应的边分别为，，，是 的角平分线. 与角平分线有关的问题常用如下两种方法求解. 方法一 利用角平分线性质定理来研究和 的比例关系，若是解答题， 可以先用面积之比证明这一关系， 如：（其中为的边上的高），所以 . 方法二 如图，设 ,由 可得 ，化简 得 ,很多时候我们可以运用这一关于,，和 的方程来解决问题. 针对训练 1.在中，内角,,对应的边分别为,, ,下列说法不正确的有( ) A A.若 ，，，则 有两解 B.若，则 一定是钝角三角形 C.若，则 一定是等边三角形 D.若，则 是等腰三角形或直角三角形 针对训练 【解析】对于A，由正弦定理，得，得， 因为，所以，所以 为锐角，所以有唯一解，故选项A错误； 对于B，若，则且，所以， 均为锐角， ，所以为锐角，为钝角， 则 一定是钝角三角形，故选项B正确； 对于C，若， 则 ， 则，所以，则 一定是等边三角形，故选项C正确； 对于D，若，则由正弦定理得， 又 ，所以， 整理得，所以 或 ，即或，故是等腰三角形或直角三角形，所以选项D正确．故选 ． 针对训练 2.已知中，内角，，的对边分别为，， ， . （1）求 ； 【答案】 解法一 由及余弦定理得 ，整理得 . 由余弦定理得 ， 因为，所以 .（利用三角比值求角时需注意角的范围） 针对训练 2.已知中，内角，，的对边分别为，， ， . （1）求 ； 解法二 由及正弦定理得 ，（点拨：利用正弦定理 化边为角） 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 因为，所以，（注意说明 ） 所以 ， 因为，所以 .（利用三角函数值求角时需注意角的范围） 针对训练 （2）若且的内切圆的半径，求 的面积. 【答案】由三角形面积公式得的面积 ， 因为，，， , 所以得， 故的面积 . 针对训练 题型十、解三角形中的最值与范围问题 例题10.记的内角,,的对边分别为,,，已知 . 求 的最小值. 【解析】 解法一 由题设得，从而， ，故 . 由 ，可得 . 由正弦定理得 ， 所以, 当且仅当 时等号成立.因此的最小值为 . 题型剖析 题型十、解三角形中的最值与范围问题 求解与最值或范围有关 的解三角形问题的策略 利用正、余弦定理以及面积公式化简整理,构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式,利用函数的单调性或基本不等式等求解最值(范围). 题型剖析 题型十、解三角形中的最值与范围问题 解法二 由题设得，故 为钝角， 所以,所以, . ， 当且仅当 ， 即 时等号成立. 所以的最小值为 . 例题10.记的内角,,的对边分别为,,，已知 . 求 的最小值. 题型剖析 题型十、解三角形中的最值与范围问题 例题10.记的内角,,的对边分别为,,，已知 . 求 的最小值. 解法三 由题设得，故 为钝角， 所以,所以, . 所以 ， 由余弦定理得 , 所以 ,当且仅当 时等号成立. 故 . 题型剖析 1.设锐角的内角,,的对边分别为,,，已知，， 则 面积的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】由得，， ， ，，解得， .由正弦定理得, ， 为锐角三角形， 解得 ，，，， .故选D. 针对训练 2.已知,,分别为三个内角,,的对边， ，且 . （1）求 ； 【答案】因为， ， 所以由正弦定理得，即 ， 所以 ， 因为，所以 . 针对训练 （2）求 周长的取值范围. 【答案】由正弦定理可知 ， 故 的周长为 ， 因为，所以,所以 ， 则 ， 故周长的取值范围是 ． 针对训练 题型十一、解三角形的应用 例题11..东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一东 一西，距今已有1 100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在点 测得塔 底在北偏东 方向的点处，塔顶的仰角为 .在点的正东方向且距离点 的点测得塔底在北偏西 方向，则东寺塔的高度约为（参考数据： ） ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意知，， , ，（【提示】将 文字语言转化为数学语言）在中，由正弦定理得，则 ， 所以，得， 故东寺塔的高度约为 .故选C. 题型剖析 题型十一、解三角形的应用 求解解三角形的实际应用问题的一般步骤 第一步 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. 第二步 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解 三角形的数学模型. 第三步 求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解. 第四步 检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解. 题型剖析 1.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的 高.如图，点，，在水平线上，和 是两个垂直于水平面且 等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和 都称为 “表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高 ( ) A A.表高 B.表高 C.表距 D. 表距 【解析】因为,所以，所以.因为,所以，所以.又 ， 所以 .由题设中信息可得,表目距的 差为，表高为，表距为，则上式可化为,表目距的差 （表距 表目距的差），所以 （表距表目距的差） 表高，故选A. 针对训练 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! $