专题02 常用三角公式和解三角形（5大考点70题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题02 常用三角公式和解三角形（5大考点70题） 5大高频考点概览 考点01两角和与差正弦、余弦、正切公式 考点02二倍角公式 考点03三角变换的应用 考点04 正弦定理 考点05 余弦定理 地 城 考点01 两角和与差正弦、余弦、正切公式 一、单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 2．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 二、填空题 3．(24-25高一下·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 4．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)化简______. 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 5．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，则________． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，则______. 【答案】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 7．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 8．(24-25高一下·上海松江一中·期中)把化成的形式，则_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 9．(23-24高一下·上海宝山区·期末)已知都是锐角，，，则_____. 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 10．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________． 【答案】 【分析】根据三角函数的同角求值，可求得，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故答案为：. 11．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，，则__________． 【答案】 【分析】由平方关系求出，利用两角差的公式求出得解. 【详解】，， ， 则，所以. 故答案为：0. 12．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知，则__________. 【答案】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 13．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若方程的两根为与，则_____. 【答案】/ 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 14．(24-25高一下·上海长征中学·期中)已知锐角，满足及，则______. 【答案】 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 15．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)在锐角中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，若，，则________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故， 由，所以 故答案为： 三、解答题 17．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 18．(24-25高一下·上海通河中学·期中)（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 地 城 考点02 二倍角公式 一、填空题 19．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 【答案】/ 【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第三象限内的点， 所以，且， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 20．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，则______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 21．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 22．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【答案】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 23．(24-25高一下·上海行知中学·期中)若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】求出的最大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式，故可求其范围. 【详解】, 因为，则，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 而， 当且仅当时等号成立，故， 故或， 故答案为： 24．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 【答案】 【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值. 【详解】， 由得，设， 记，由于，因此必有两个不等的实根，， 所以中至少有一根属于区间且两根一正一负， （1）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由得， 所以； （2）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由无整数解； （3）若，则由得，不妨记， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然得，此时， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然无整数解； （4）若，则，在或上， 有个根，无实数根，的零点个数为， 由得，此时或； （5）若，则，无实数解，在上， 有个根，的零点个数为，由得，， 在上，有个根，的零点个数为， 由得，. 综上，的取值可能为， 故答案为：. 25．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，则__________. 【答案】/ 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 26．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 【答案】 【分析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，利用诱导公式与二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，由题意可知， 又，所以， 所以. 故答案为：. 27．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若，则________. 【答案】 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 二、解答题 28．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 29．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， （2）由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 31．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 32．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】（1）由韦达定理得， 所以； （2）由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 33．(24-25高一下·上海延安中学·期中)（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证； （2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式. 【详解】（1） ； （2）将代入公式， 可得，   因为，， 所以. 地 城 考点03 三角变换的应用 一、单选题 34．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案. 【详解】由，则，其中， 可得 ， 由题意可得，若，由①可得，显然③不成立， 故，则，解得，，易知， 当时，显然①③矛盾；故，可得，解得， 所以. 故选：A. 二、填空题 35．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知函数在时取得最大值，则__________. 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 36．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 37．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)代数式可化为的形式，则的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 38．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____. 【答案】 【分析】 分 ， 两种情况分类讨论,然后每种情况再结合的不同取值范围讨论的值，根据已知等量关系建立方程求解. 【详解】情况 1：如果，即， 又因为,所以,所以,即. 此时 ，因此：. 我们需要 ，即 在  上的最小值为. 因为, 所以 或 或 或 所以 或 或 或 . 解 得,解得, 又因为即，所以,所以或. 情况 2：，即存在使得, 此时 ，所以, 所以,所以, 因为，所以,解得, 以，解得,， 所以,所以,所以,所以. 若,则,则. 我们需要：,这不可能（左边大于零，右边小于等于0）. 所以,所以， 所以，所以 ，因此：. 如果,,则 ，则 . 则, ， 或. ，矛盾，舍去. 如果,,则 ， 则 , 即，所以, 所以， 综上所述， 的取值集合为. 故答案为：. 三、解答题 39．(24-25高一下·上海进才中学·期中)已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 40．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 【答案】(1)（取法不唯一） (2)是，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让； （2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证. （3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证. 【详解】（1）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立， 故只需让即可，从而只需， 所以取（取法不唯一）即可满足题意； （2）函数“三角优于”函数， 当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 因为， 所以恒成立，即当时，恒成立， 故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可， 即只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 设，此时，从而 问题转换成了不等式是否恒成立即可； 显然都是偶函数， 且时，满足， 故我们只需考虑不等式是否恒成立即可； 由三角函数线可知恒成立， 从而恒成立， 综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数； （3）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， 显然都是偶函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， （i）当时，恒成立，这就要求； （ii）当时，恒成立，这就要求； 从而首先有， 其次时，不等式恒成立， 设，则 ， 所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称， 当，若， 这就要求， 从而时，不等式恒成立， 当且仅当时，不等式恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 而时，不等式恒成立， 当且仅当时，恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 设，； 所以，，时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，其中， 即当时，不等式恒成立， 由辅助角公式可知使得， 而，这就要求 ，即. 41．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3) 【分析】（1）根据题意，由“相关”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由“相关”的定义以及正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“相关”的定义以及辅助角公式代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，即，即， 且，故或. （2）由题意可得，整理可得， 即，故或， 且，因此或. （3）由题，， 整理可得， 转化为， 即， 由正弦函数的值域可得， 即， 化简可得， 即，且， 解得， 所以b的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题以及三角恒等变换的应用，难度较大，解答本题的关键在于理解“f相关”的定义，然后结合三角恒等变换的知识解答. 42．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，又即可解出，即可求解； （2）利用辅助角公式有，其中，最后利用二倍角公式即可求解； （3）由得周期为，原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解，又得关于对称，得关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，在即可求解. 【详解】（1）因为. 所以. 又因为.可得：. 解得：或（舍去）. 所以所以.所以 （2），其中. 所以存在.使得为函数在区间上的最大值. 所以，所以.. （3）因为. 所以函数为周期函数.周期为. 所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解. 又由有关于对称， 可知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解. 当时，， 所以.因为，所以. 因为.所以，解得. 所以的取值范围为. 地 城 考点04 正弦定理 一、填空题 43．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 44．(24-25高一下·上海延安中学·期中)如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      【答案】 【分析】在中，可得，，，结合正弦定理，即可求解 【详解】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是.    故答案为：. 45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 46．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 47．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 48．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)在锐角 中，若 ，则 等于_____. 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 二、解答题 49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 50．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 51．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 52．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 地 城 考点05 余弦定理 一、单选题 53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 54．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 55．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 二、填空题 56．(24-25高一下·上海建平中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 57．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 58．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 59．(24-25高一下·上海进才中学·期中)在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 60．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理得到的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接， 因为在圆内接四边形中，，，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或（舍去），则， 所以圆内接四边形的面积. 故答案为：. 61．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，，则_____． 【答案】 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 62．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________. 【答案】 【分析】结合余弦定理，将、、作为三角形的边，可得在内部，且，且，，，亦可知的三边，结合勾股定理及三角形面积公式可得解. 【详解】 设，，， 由，且， 则，，即，， 同理可得，，，， 则，即， 所以， 又， 则， 故答案为：. 63．(24-25高一下·上海西中学·期中) 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 【答案】 【分析】由题意可得，可得最大，利用余弦定理可求最大角. 【详解】在中，由正弦定理可得， 设，所以在中，最大， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 三、解答题 64．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 65．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 66．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 67．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 68．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 (1)试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. (2) 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)，，； (2)；. 【分析】（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边； （2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解. 【详解】（1）在种，由已知可得，， 由正弦定理可知，， 则整理可得：，， 面积. （2）因为，当有最大值时，三角形的面积最大， 由已知及余弦定理，可得 则，即，此时，，为等腰三角形，， . 69．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【答案】(1)米； (2)米. 【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可； （2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得. 【详解】（1）由，又， 且，，则， 所以米； （2）由题设，知 ， 由在的中点到之间运动（含端点），故， 而，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为米. 70．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再由三角形三边关系定理即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， . ，又. （2）由余弦定理，可得 . ，当且仅当时取等号， 又有， 故的周长. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用三角公式和解三角形（5大考点70题） 5大高频考点概览 考点01两角和与差正弦、余弦、正切公式 考点02二倍角公式 考点03三角变换的应用 考点04 正弦定理 考点05 余弦定理 地 城 考点01 两角和与差正弦、余弦、正切公式 一、单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 2．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________． 4．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)化简______. 5．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，则________． 6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，则______. 7．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 8．(24-25高一下·上海松江一中·期中)把化成的形式，则_________． 9．(23-24高一下·上海宝山区·期末)已知都是锐角，，，则_____. 10．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________． 11．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，，则__________． 12．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知，则__________. 13．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若方程的两根为与，则_____. 14．(24-25高一下·上海长征中学·期中)已知锐角，满足及，则______. 15．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)在锐角中，若，则的取值范围是________． 16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，若，，则________． 三、解答题 17．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 18．(24-25高一下·上海通河中学·期中)（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 地 城 考点02 二倍角公式 一、填空题 19．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 20．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，则______. 21．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 22．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 23．(24-25高一下·上海行知中学·期中)若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__． 24．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 25．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，则__________. 26．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 27．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若，则________. 二、解答题 28．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 29．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，求值： (1)； (2)． 30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 31．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 32．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 33．(24-25高一下·上海延安中学·期中)（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 地 城 考点03 三角变换的应用 一、单选题 34．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 二、填空题 35．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知函数在时取得最大值，则__________. 36．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 37．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)代数式可化为的形式，则的值为______. 38．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____. 三、解答题 39．(24-25高一下·上海进才中学·期中)已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 40．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 41．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 42．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 地 城 考点04 正弦定理 一、填空题 43．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 44．(24-25高一下·上海延安中学·期中)如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 46．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，若，则的形状为__________. 47．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 48．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)在锐角 中，若 ，则 等于_____. 二、解答题 49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 50．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 51．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 52．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 地 城 考点05 余弦定理 一、单选题 53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 54．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 55．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 56．(24-25高一下·上海建平中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 57．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 58．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 59．(24-25高一下·上海进才中学·期中)在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 60．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 61．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，，则_____． 62．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________. 63．(24-25高一下·上海西中学·期中) 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 三、解答题 64．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 65．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 66．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 67．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 68．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 (1)试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. (2) 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 69．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 70．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 目目 考点01 1.A 2.B 3. 16 65 4. 5 2 5. 6. 1-26 6 7.2 8.2sin(+ 9. 4+6v2 15 10. 4V5+3 10 11.0 元 12. 13. 1 -0.5 2 14. 119 169 15. 3π 16. 4 17. (1)3 16 (2) 65 1832) 10 目目 考点02 19. /0.96 www zxxk.com 让教与学更高效 专题02常用三角公式和解三角形 (5大考点70题)（答案版） 两角和与差正弦、余弦、正切公式 二倍角公式 1/7 学科网 www.zxxk.com 21.9 2. 24 25 23.（-o0,-5U[3,+∞ 24.{1001,1000,999,500,667 2s.明 26. 24 25 28.(1)tan2a=-3 4 ea+B-设 29月 o号 30.(1)-10 10 (2)-1 31.(1)sina-4 ,c0s2a=- 7 25 (2)sin B=1 32.a明 (2)m=-12,tan2= 24 7 33.(1)证明见解析；(2)cos5a=16 cos'a-20cosa+5cosa 目目 考点03 三角变换的应用 34.A 36.10元 4 37.arctan 让教与学更高效 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11π19 38. 12’18 ,aresin10 4 39.ar=,=sm2x+骨 ②当x-区缸∈Z时，创到的最小值为 6 (3)m=1或m=-1. 40.(1)f(x)=C=0(取法不唯一) (2)函数y=cosr“三角优于”函数y=sinx, 当且仅当对任意的xeR,均有cos(cosx)>sin(sinx), 显然y=cos(cosx)y=sin(sinx)都是周期为2π的函数， 所以只需考虑x∈[0,2π)时，不等式cos(cosx)>sin(sinx)是否恒成立即可， 因为six.o-l牙<1 21 所以cos(cosx)>0恒成立，即当sinx∈-l,0时，cos(cosx)>sin(sinx)恒成立， 故我们只需考虑当sinxe(0,l且xe[0,2π时，不等式cos(cosx)>sin(sinx)是否恒成立即可， 即只需考虑xe(0,π时，不等式cos(cosx)>sin(sinx)是否恒成立即可， 设r∈(0，π，cosx=te(-l,l,此时sinx=V-t2,从而 问题转换成了不等式cost=V1-sin2t>sinV-P),t∈(-l,l)是否恒成立即可； 显然y=V-sin2,y=sin(V-),te(-l,都是偶函数， 且1=0时，满足cosf=1>sinV-P=sinl, 故我们只需考虑不等式V1-sin2t>sinV1-,t∈(0，)是否恒成立即可； 由三角函数线可知>sin.e0,=0到恒成立， 从而-sin2i>-F>sin(-P),1e(0,1)恒成立， 综上所述，对任意的x∈R,均有cos(cosx>sin(sinx),即函数y=cosx“三角优于”函数y=sinx; (3)若函数y=asinx“三角优于”函数y=bcosx, 则当且仅当对任意的xeR,均有cos(asinx)>sin(bcosx), 3/7 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 显然y=cos(asinx),y=sin(bcosx)都是周期为2π的函数， 所以当且仅当x∈-兀，π时，不等式cos(asin x)>sin(bcosx)恒成立， 显然y=cos(asinx)y=sin(bcosx)都是偶函数， 所以当且仅当x∈[0，π时，不等式cos(asinx)>sin(bcosx)恒成立， (i)当x=0时，1>sinb恒成立，这就要求a∈R,b≠灭+2k,k∈Z: (i)当x=元时，1>-sinb恒成立，这就要求a∈R,b≠-+2k,k∈Z; 2 从而首先有aeRb受+饭keZ, 其次xe(0,π时，不等式cos(asinx)>sin(bcosx)恒成立， 设f(x)=cos(asinx),gx=sin(bcosx),则 f任+co-f行{经+=nsn到=-g3月 所以f在0到上的图象关于直线x=受称，81在(0，到上的图象关于点（受0对称。 当x=7,若cos(asin)=cosa>sin(bcosx))=0, 这就要求ae(-x+2mx+2m]b≠-+m,nkeZ, 从而x∈(0，π时，不等式cos(asinx)>sin(bcosx)恒成立， 当且仅当x0到，时不等式>bn(6cos小≥0恒成。立 若Q满足题意则-a也满足题意，所以不妨设所求的a>0, 当xe0到时，1=si0a, 要使得当1=asinxe(0,a时，cos1>0恒成立，这就要求a≤，从而0<a≤， 而xe0时，不等式一i可=co(i>小in(bcos小0恒成，立 当且仅当re0}时，看sino=eos1bcos>n(asin0恒成立. 若b满足题意则-b也满足题意，所以不妨设所求的b>0, 当xe0,时，u=bcosx0,b, 2 要使得当”=6c05xE0,)时，c0s">0恒破立，这就婴求b≤受从而0<b≤ N 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设0<a≤ 2,0<bs 所以as号0<bs登r0到时，不等式m臣-caso5eos>a1asn-as如小生0 2 2 恒成立等价于 不等式号-cox>asmr恒破立，其中xe0引 即当x∈0，时，不等式asinx+bcosx<恒成立， ”2 由辅助角公式可知x司0引，30使得asmx+bcsr=V+sm(x+<号 π 而asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+p≤√a2+b2,这就要求 匠+6<号即。+8号 4 3 7π 41.(1)b=二π或 4 4 ②6=0或号 (3)arccos(3-1),2z-arccos(3-1) 4.（0an0=-号 目目 考点04 正弦定理 43.②或④（填②/④/②④都算对） 44.10√2 45.（V2,2) 46.直角三角形 .70 48.560 49.(1)无解 (2)aresin 9 9 或元-arcsin 13 13 5/7 函学科网 www.zxxk.com 50.(1)89.7米 (②)当∠ACD=时，2为最大值，最大值为V5 51.04=名R=5 (2)sin C= 2W2 3 52.(1)2 (23+v5 2 目目 考点05 余弦定理 53.B 54.D 55.B 56.19 57.1515 58.3π 59.5 60.2410 61.10W3 7 62.1125 43.srcem 64.()4=4 (2)a=√2或a=22 65.04-号 (2)10√5 66.(1)3 a时 67.(1)证明见解析；(2)证明见解析 让教与学更高效 学科网 3 69.(1)52.2米： (2)69.3米 70.04=骨 (225,35 www zxxk.com 让教与学更高效 4w=4y5im8,S=45 3 sn(写-0)小-sin0: 3 7/7