6.1.1 空间向量的线性运算（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线向量定理，通过复习平面向量的概念、表示、运算等知识，结合线缆受力、跳伞运动员受力等现实情境引入，构建从平面到空间的学习迁移支架。 其亮点在于采用类比迁移教学法，以长方体、三棱柱中向量运算实例为载体，培养学生用数学眼光抽象空间形式、用数学思维推理运算规律。学生能深化空间观念和逻辑推理能力，教师可借助系统例题与分层练习提升教学实效。

6.1.1 空间向量的线性运算 第六章 空间向量与立体几何 苏教版2019·选择性必修第二册 学 习 目 标 1 2 3 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 掌握空间向量的线性运算及其法则． 理解空间向量共线的充要条件. 复习回顾 平面内，具有大小和方向的量叫做平面向量. 向量的大小叫做向量的长度或模. 符号表示—— 有向线段—— 起点、方向、大小 知识回顾 1 平面向量的概念 知识回顾 2 平面向量的表示 ①大写字母：如 ；②小写字母：如 模 记 作—— 复习回顾 知识回顾 3 特殊平面向量概念 长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作： . 长度相等且方向相反的向量称为相反向量，记作： . 长度为 0 的向量称为零向量，方向不确定. 长度为 1 的向量称为单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，记作： 规定：零向量与任一向量平行。 ★ 平面向量 共线的充要条件⇔有一个实数λ，使得 复习回顾 知识回顾 4 平面向量的加减运算 (首尾相接连首尾) 三角形法则 平行四边形法则 (起点相同对角线) 三角形法则 (起点相同，指向被减向量) 知识回顾5 平面向量的线性运算 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： F1 F2 F3 图1 线缆同时受到来 自不同方向的支持力 图2 跳伞运动员同时受到 重力、风力、绳索牵拉力 图3 水平抬起钢板，钢板受 到来自不同方向上的作用力 在现实生活中，许多涉及大小和方向的问题不仅出现在平面中，也经常出现在空间中。例如， 情境引入 联想用平面向量解决物理问题的方法，下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。 思考：如何定义空间向量？ A1 B C A D B1 C1 D1 实际上，平面向量是空间向量的一个特殊位置， 所以平面向量的定义也适用于空间向量. 学生活动：如图，在正方形AC1中，你能试着说出几个向量吗？ ★ 定义：在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量。 (一)空间向量的有关概念 如：位移、力、速度、加速度等。 平面向量是特殊的空间向量。 ★ 两个要素：大小和方向。 其中向量的大小叫做向量的长度或模。 ★ 表示： (1)代数表示——字母表示 (2)几何表示——有向线段 有向线段三要素：起点、方向、大小 ①大写字母，如 ；②小写字母，如 名 称 定义及表示 表示 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 平行向量 (共线向量) ★ 几类特殊的空间向量： 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 长度为 1 个单位长度的向量 方向相同或相反的非零向量。 规定：零向量与任一向量平行。 长度为 0 的向量，方向不确定 (一)空间向量的有关概念 (1)试写出与向量 相等的向量； (2)试写出向量 的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量 的模. 知识运用 如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中， D 随堂练习 向量 互为相反向量，已知 | |＝3，则下列结论正确的是( 　) A. B. 为实数 0 C. 与 方向相同 D. | |＝3 向量 互为相反向量，则 模相等，方向相反，故选D 解析 随堂练习 A 下列说法正确的是(　　) A. 向量 与 的长度相等 B. 将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C. 空间向量就是空间中的一条有向线段 D. 不相等的两个空间向量的模必不相等 ( 与 互为相反向量，模相等) (所有单位向量的终点构成球面而不是圆) (有向线段只是空间向量的一种表示形式，二者并不相同) (不相等的向量可以长度相等而方向不同) (二)空间向量的线性运算 O A B O A B P O 第一步 平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 第二步 平面内运用三角形法则和平行四边形法则即可 ★ 加法交换律： ★ 加法结合律： ★ 数乘分配律： (二)空间向量的线性运算 空间向量的加法和数乘运算满足以下运算律： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算。 例1 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M 是 BB1 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。 (1) ； (2) ； (3) 知识运用 解析 随堂练习 解析 随堂练习 如图，在空间四边形ABCD中，E 是线段 AB 的中点，CF＝2FD，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： 解析 如图，在平行六面体 ABCD-ABCD 中，化简 ，并标出表示的向量. A B C D A B C D 解析 平行六面体法则：共起点，连对角 随堂练习 例2. 如图，在平行六面体 ABCD-ABCD 中，用 表示 及 A B C D A B C D 解析 知识运用 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，E是PC的中点，设 ， ， ，试用 表示 解析 随堂练习 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，求下列各题中m，n的值. A B C D A1 B1 C1 D1 E F 因为点 E是正方形的中心，则 所以 所以 随堂练习 解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，求下列各题中m，n的值. A B C D A1 B1 C1 D1 E F 所以 随堂练习 解析 因为点 F 是正方形的中心，则 所以 (三)空间共线向量定理 ★ 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量． 当向量 共线(或 )时，表示 的有向线段所在的直线可能是同一条直线，也可能是平行直线． 共线向量定理 对空间任意两个向量 ， 与 共线的充要条件是存在实数 λ ，使 。 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在线段A1B，D1B1上，且BM＝ BA1，B1N＝ B1D1，P为棱B1C1的中点，求证：MN∥BP。 知识运用 解析 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在线段A1B，D1B1上，且BM＝ BA1，B1N＝ B1D1，P为棱B1C1的中点，求证：MN∥BP。 知识运用 解析 随堂练习 解析 随堂练习 由题意A、B、D三点共线，故必存在一个实数λ，使得 解析 课堂总结 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 对空间任意两个向量 ， 与 共线的充要条件是存在实数λ，使 。 感谢聆听! (3)eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CA1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(BA1,\s\up16(→)). (1) eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))＝eq \o(CA1,\s\up16(→)). (2)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BB1,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(AM,\s\up16(→)). ①eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AD1,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))；②eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→))＝eq \o(BC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))； ③eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(B1D,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→))； ④eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→)). 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq \o(BD1,\s\up16(→))的是(　　) ①eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))； ②eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→))； ③eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))； ④eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→)). A. ①②　　　　 B. ②③ C. ③④　 D. ①④ eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1N,\s\up16(→)). 因为BM＝eq \f(1,3)BA1，B1N＝eq \f(1,3)B1D1， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(BA1,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(B1D1,\s\up16(→)) ＝－eq \f(1,3)(eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1A1,\s\up16(→)))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(B1A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))) ＝eq \f(2,3) eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(B1C1,\s\up16(→)). 又因为P为B1C1的中点， 所以eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1P,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(B1C1,\s\up16(→)) ＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BB1,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(B1C1,\s\up16(→))))＝eq \f(3,2) eq \o(MN,\s\up16(→))， 从而eq \o(BP,\s\up16(→))与eq \o(MN,\s\up16(→))为共线向量． 因为直线MN与BP不重合，所以MN∥BP. 连接AC.因为M，N分别是AD1，BD的中点， 四边形ABCD为平行四边形，所以N为AC的中点， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(AN,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AD1,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(D1C,\s\up16(→))， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))与eq \o(D1C,\s\up16(→))共线． 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断eq \o(MN,\s\up16(→))与eq \o(D1C,\s\up16(→))是否共线？ 设是两个不共线的空间向量，若，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值。 $