6.1.1 空间向量的线性运算-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.1.1 空间向量的线性运算 一、空间向量相关概念 1、空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 2、空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3、空间向量的有关概念： （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 二、空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 三、向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 题型一 空间向量概念的理解 【例1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】下列说法中正确的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线 C．在空间中，任意两个单位向量都相等 D．零向量与任意向量平行 【变式1-2】在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）． A． B． C． D． 【变式1-4】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量． 题型二 空间向量的线性运算 【例2】化简算式：______． 【变式2-1】正六棱柱中，设，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. （1）； （2）. 【变式2-3】构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）． 题型三 空间向量的线性表示 【例3】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 题型四 向量共线