2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第2—3章》期末复习知识点分类常考热点解答题专题提升训练

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第2—3章》 期末复习知识点分类常考热点解答题专题提升训练（附答案） 一、实数 1．用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 2．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 3．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 4．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)． 6．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 7．已知x的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3．求的算术平方根． 8．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 9．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 10．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 二、勾股定理 11．已知：如图，在中，，，垂足为．若，，求的长． 12．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 13．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 14．如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 15．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 16．如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 17．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变）、，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ 18．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 19．白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 20．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 21．如图1，在中，，，D是边上一动点（不与A、B重合），连接，将绕点D顺时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)①若，，求的值； ②试探索与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，过A点作，垂足为O，连接，取中点G，连接、，求证： 22．某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，的代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 参考答案 1．（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 2．②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧ 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键是根据分数、无理数、非负整数及负实数的意义依次对各个数进行判断即可．也考查了立方根及乘方． 【详解】解：①是无理数； ②是分数也是负实数； ③是整数，也是负实数； ④是分数； ⑤是无理数； ⑥是无理数； ⑦是整数而不是负数； ⑧是整数，也是负实数； ⑨（相邻的两个之间依次多一个）是无理数， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧． 故答案为：②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 3． 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴；； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根与立方根求未知数，掌握平方根与立方根的概念是关键； （1）方程化简为，利用平方根求解即可； （2）方程化为，利用立方根求解即可． 【详解】（1）解：变形为， 即； （2）解：变形为， 即， ∴． 5．(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 6．(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 7． 4 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的定义，解题的关键是利用平方根的性质求出，利用立方根的定义求出，再计算目标代数式的算术平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求的值，进而求出；根据立方根的定义列方程求出；计算的值后，求其算术平方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得，即a = 4， ∴． ∵的立方根是， ∴， 将代入得， 解得． ∴， ∵16的算术平方根是， 答：的算术平方根是． 8．(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 9．(1)； (2)； (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 10．（）（答案不唯一）；（）；（） ； ． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（） ； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由 ； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11． 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用等积法求出的长，是解题的关键．勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∴． 12．的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 13．居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 14．(1)供水阀到灌溉喷头的距离为 (2)灌溉渠与管道互相垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，因为，， 所以， 所以， 在中，， 所以供水阀到灌溉喷头的距离为； （2）解：灌溉渠与管道互相垂直，理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． 15．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； （2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 16．(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． （1）在中应用勾股定理求解即可； （2）由题意可知， ，然后在直角三角形中利用勾股定理求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得：， 答：这架云梯顶端距地面的距离为． （2）解：在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ， 答：梯子的底端移动的距离是． 18．(1)证明见解析，点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 19．(1)17.62米 (2)他应该往回收线7米 (3)风筝高度上升，理由见详解 【分析】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键． （1）首先在中，利用勾股定理求出的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度； （2）首先明确风筝沿方向下降11米后对应的的高度，即可在新的中，求出的长度，即可求出他应该往回收线多少米； （3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为米，风筝线长度变为米，即可求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降． 【详解】（1）解：根据题意可得：米，米，， ∴在中，（米）， ∵小明的身高为1.62米， ∴（米）， 故答案为：17.62米； （2）解：如图， ∵风筝沿方向下降11米， ∴此时（米）， ∴此时（米）， ∴应该往回收线：（米）； （3）解：风筝高度上升，理由如下： 由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为米，风筝线长度变为米， ∴此时竖直高度为， ∴风筝的总高度为， ∵， ∴随t的增大而增大， ∴风筝高度上升． 20．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 21．(1)见解析 (2)①；②，理由见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，进而得到，即可求解； （2）①作交延长线于，可证，可得，根据得到，证明为等腰直角三角形，可得，根据计算即可； ②作交延长线于，可证，可得，根据得到，证明为等腰直角三角形，可得； （3）延长与交于点，连接，，设和交于点P，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证． 【详解】（1）证明：在上取点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：作交延长线于， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ②解：，理由如下： 作交延长线于， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）证明：延长与交于点，连接，，设和交于点P， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 即． 22．（1）①    ②  ③勾股定理  （2）见解析 （3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理等： （1）①证明，即可求得，和；②利用结论二即可求得答案；结合①②即可求得答案； （2）证得即可求得答案； （3）求得和，利用结论一即可求得答案； 【详解】（1）①∵，， ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴，，． ∴． 故答案为：；； ②∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为： ③∵， ∴． ∴． ∴根据①②得出的结论为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理． （2）∵和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． 设与交于点． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是垂等四边形． （3）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $