专题1.3 分式（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题1.3 分式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 分式的相关概念】 2 【题型1 分式有（无）意义的条件】 2 【题型2 分式值为0的条件】 2 【题型3 分式的值】 3 【题型4 分式的规律探究】 3 【考点二 分式的性质】 4 【题型5 分式的基本性质运用】 4 【题型6 最简公分母与最简分式】 4 【题型7 约分与通分】 5 【考点三 分式的运算】 6 【题型8 分式的加减运算】 6 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 7 【题型10 分式的混合运算】 7 【题型11 分式的化简求值】 8 【题型12 分式的大小比较】 8 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 9 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 分式的相关概念】 【题型1 分式有（无）意义的条件】 【例1】（2025·云南·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【变式1-2】（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【题型2 分式值为0的条件】 【例2】（2025·江苏常州·二模）若代数式的值为0，则x的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-1】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·湖北孝感·二模）若分式的值为，则（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·模拟预测）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型3 分式的值】 【例3】（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广西桂林·模拟预测）若满足，则代数式的值是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【变式3-2】（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-3】要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【题型4 分式的规律探究】 【例4】（2025·重庆·模拟预测）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（    ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【变式4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ． 【变式4-3】（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【考点二 分式的性质】 【题型5 分式的基本性质运用】 【例5】（2025·江苏南京·模拟预测）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·四川攀枝花·模拟预测）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式5-2】（2025·河北·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·浙江杭州·一模）把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时， ． 【题型6 最简公分母与最简分式】 【例6】（2025·山西太原·模拟预测）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【变式6-3】（2025·河北·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【题型7 约分与通分】 【例7】（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【变式7-1】（2025·河北·模拟预测）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【考点三 分式的运算】 【题型8 分式的加减运算】 【例8】计算：= ． 【变式8-1】（2025·山东·模拟预测）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（2025·河北邯郸·二模）对于任意实数x，规定，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·贵州·一模）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 【例9】（2025·辽宁·一模）化简： 【变式9-1】（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 【变式9-2】在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 【变式9-3】某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【题型10 分式的混合运算】 【例10】（2025·内蒙古·一模）计算． 【变式10-1】（2025·内蒙古·一模）计算：． 【变式10-2】（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【变式10-3】（2025·广东佛山·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质；    B．加法交换律；    C．分式的基本性质；    D．乘法分配律 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【题型11 分式的化简求值】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式11-1】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【变式11-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式11-3】（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 【题型12 分式的大小比较】 【例12】已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式12-1】（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 【变式12-2】已知，，，，则的大小关系为 ． 【变式12-3】（2025·福建龙岩·模拟预测）已知正实数，，，，使得成立． (1)求证：； (2)判断与的大小关系，并说明理由． 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 【例13】（2025·山东·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【变式13-1】（2025·山西临汾·模拟预测）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 【变式13-2】（2025·山东济南·模拟预测）阅读下列材料： 对于正数x，规定，例如：． (1)求值： ； ． (2)猜想 ，并证明你的猜想； (3)应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： ． 【变式13-3】阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式． 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 　　； ②求证：； (2)若满足，求的值． 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 【例14】（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2025·湖南·模拟预测）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【变式14-2】（2025·江苏·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”． 例如.分式 与 互为“三⊕分式”． (1)分式 与_____互为“六⊕分式”； (2)若分式 与互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值； (3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”． 【变式14-3】（2025·福建福州·模拟预测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，则的值为 ． 7．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·模拟预测）分式 ，的最简公分母是 ． 10．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ． 三、解答题 11．（2022·安徽·一模）化简：． 12．（2025·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 13．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 14．（2025·北京·模拟预测）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 15．（2025·山西·二模）阅读与思考 数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． 奇妙的“条件等式” 我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式． 下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？ 探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得 将等式左边分解因式，得， 移项，得． 将左边继续分解因式，得， 因为，所以等式成立的条件应为． 运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如： ，，… 推广：… 任务： (1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整； ：_______；：_______； (2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式： ． (3)小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立． B组 一、单选题 1．（2025·四川·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·模拟预测）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2025·河北·模拟预测）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，，，，……，则的值为（    ） A．1 B． C． D．10 6．（2025·重庆万州·模拟预测）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 8．（2025·四川内江·模拟预测）已知实数a，b满足，则 ． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）已知（且），，则的值为 ． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的 倍． 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为，十位数字与百位数字组成的两位数为，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记，当能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ． 三、解答题 12．（2025·江西·中考真题）化简： 13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 15．（2025·安徽·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 16．（2025·浙江金华·模拟预测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 17．（2025·辽宁大连·模拟预测）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 分式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 分式的相关概念】 2 【题型1 分式有（无）意义的条件】 2 【题型2 分式值为0的条件】 3 【题型3 分式的值】 5 【题型4 分式的规律探究】 7 【考点二 分式的性质】 11 【题型5 分式的基本性质运用】 11 【题型6 最简公分母与最简分式】 13 【题型7 约分与通分】 15 【考点三 分式的运算】 18 【题型8 分式的加减运算】 18 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 20 【题型10 分式的混合运算】 22 【题型11 分式的化简求值】 24 【题型12 分式的大小比较】 26 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 28 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 33 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 分式的相关概念】 【题型1 分式有（无）意义的条件】 【例1】（2025·云南·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且． 故选A． 【变式1-2】（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 【变式1-3】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【题型2 分式值为0的条件】 【例2】（2025·江苏常州·二模）若代数式的值为0，则x的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键；由题意易得且，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：且， ∴； 故选A． 【变式2-1】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值是求法是解题的关键．根据分式无意义及分母为0即可求出的值，根据当时分式的值为0即可求出的值，根据分式的值为1即可求出的值，根据即可求出的值． 【详解】解：当时，分式无意义， ，即， ， 故A选项不符合题意； 此时分式为， 当时，分式的值为0， ， ， 故B选项不符合题意； 此时分式为， 当分式的值为1时，， 解得，即， 故C选项错误，符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（2025·湖北孝感·二模）若分式的值为，则（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 根据分式的值为，则，然后求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，解得：， 故选：． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·模拟预测）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出，，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式无意义 ∴，解得：， ∵时，此分式的值为0， ∴，解得：， ∴ ， 故选：B． 【题型3 分式的值】 【例3】（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解： ， ， ． 故选：A． 【变式3-1】（2025·广西桂林·模拟预测）若满足，则代数式的值是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式和分式运算，观察已知条件和要求的结果之间的联系，熟练运用完全平方公式进行变形计算是解题的关键．将代数式变形为，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 故选：B． 【变式3-2】（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 【变式3-3】要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 【题型4 分式的规律探究】 【例4】（2025·重庆·模拟预测）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（    ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值．①当时，先求得，，的值，得到，将代入求解即可判断；②当时，推出，解得，据此可判断；③先求得，，的值，得到规律，求得，再求得，，的值，得到规律求得，求得，据此计算即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ， ∴， 将代入，有， 解得， 故是方程的一组解；故①正确； ②当时， ， 令， 解得，故②正确； ③， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴的最小值为，故③正确； 综上，①②③都是正确的， 故选：D． 【变式4-1】（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式即可． （2）结合（1）的结论，得，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）根据题意得，第4个等式：； （2）猜想第个等式为． 证明：等式左边， 等式右边， 左边右边， 第个等式为． 【变式4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ． 【答案】a+1/ 1+a 【分析】根据题意可得，，，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值． 【详解】解：∵（a不取0和-1）， ∴， ， ， …， ∴3个一循环， ∵2020÷3=673…1， ∴． 故答案为：a+1． 【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 【变式4-3】（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 【考点二 分式的性质】 【题型5 分式的基本性质运用】 【例5】（2025·江苏南京·模拟预测）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（2025·四川攀枝花·模拟预测）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 【变式5-2】（2025·河北·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 【变式5-3】（2025·浙江杭州·一模）把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、异分母的分式加减运算等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 将代入用分式的加减运算法则运算，然后运用分式的基本性质整理即可解答． 【详解】解：将代入可得：， 所以． 故答案为：． 【题型6 最简公分母与最简分式】 【例6】（2025·山西太原·模拟预测）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】分式与的最简公分母是， 故选：D． 【变式6-2】已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【变式6-3】（2025·河北·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【答案】(1)或者 (2) 【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识， （1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】（1）A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：， 整理得：， 解得：，， 即的值为或者； （2）设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据题意有分式：， 化简结果为：． 【题型7 约分与通分】 【例7】（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 【变式7-1】（2025·河北·模拟预测）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入进行化简即可得到答案． 【详解】由题意得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【答案】 分式的基本性质 五 【分析】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分． （2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果． 本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键． 【详解】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的基本性质． （2） ， 第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为． 故答案为：五；． 【考点三 分式的运算】 【题型8 分式的加减运算】 【例8】计算：= ． 【答案】． 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式8-1】（2025·山东·模拟预测）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 【变式8-2】（2025·河北邯郸·二模）对于任意实数x，规定，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，分式的加法．根据定义，分别写出和)的表达式，再通分相加即可． 【详解】解：∵，． ∴． 故选：A． 【变式8-3】（2025·贵州·一模）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 【答案】任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析 【分析】本题考查了异分母分式加减法运算，解题的关键是熟练　运算法则． 任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案； 任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了； 故答案为：三；分式的分母去掉了； 任务二：原式 ． 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 【例9】（2025·辽宁·一模）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 【变式9-1】（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 【变式9-2】在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查分式除法运算的应用．由题意易得一个人每天插秧的工作效率为，一台插秧机每天的工作效率为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：一个人每天插秧的工作效率为，则一台插秧机每天的工作效率为， ∴； 答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍． 故答案为：． 【变式9-3】某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【题型10 分式的混合运算】 【例10】（2025·内蒙古·一模）计算． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化除法为乘法及因式分解，再计算乘法，最后计算加减即可解答． 【详解】解：原式 ． 【变式10-1】（2025·内蒙古·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【变式10-2】（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 【变式10-3】（2025·广东佛山·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质；    B．加法交换律；    C．分式的基本性质；    D．乘法分配律 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)C；D (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：C；D； （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【题型11 分式的化简求值】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当 时，原式 ． 【变式11-1】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 【变式11-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-3】（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 【题型12 分式的大小比较】 【例12】已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先将的值进行化简，再进行比较． 【详解】解： ，， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 【变式12-1】（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 【变式12-2】已知，，，，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】根据可得，从而得到M最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴M最大； ， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果，那么． 【变式12-3】（2025·福建龙岩·模拟预测）已知正实数，，，，使得成立． (1)求证：； (2)判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据等式的性质及分式性质证明即可； （2）由， 得，进而分， ，及讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵正实数，，，， ∴，， ∵ ∴即， ∴即 ∴即， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时． 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 【例13】（2025·山东·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题， （1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式． （2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果． （3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数． 【详解】解：（1）由题知，． 即． 故答案为：； （2）由题知， ． 故答案为：； （3）由（2）知：， 将变形得：． 则当无限大时，无限接近于0． 所以无限接近于2，即这个常数是2． 【变式13-1】（2025·山西临汾·模拟预测）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据材料提示的倒数法计算即可求解； （2）根据材料提示的倒数法的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 【变式13-2】（2025·山东济南·模拟预测）阅读下列材料： 对于正数x，规定，例如：． (1)求值： ； ． (2)猜想 ，并证明你的猜想； (3)应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： ． 【答案】(1)1，1 (2)1，证明见解析 (3)2022.5 【分析】本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提． （1）根据新定义的换算进行计算即可； （2）根据规律得出答案； （3）利用加法的结合律以及（2）中的规律得出答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：1，1； （2）解：， ， 故答案为：1； （3）解：原式 ． 【变式13-3】阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式． 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 　　； ②求证：； (2)若满足，求的值． 【答案】(1)①1；②见详解 (2)2023 【分析】本题考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中将所求式子中的1换成是本题的关键． （1）①由题意可得，代入所求式中可求值； ②由题意可得，则，代入第1个加数中可求值； （2）把看作，把看作，根据完全平方公式可得答案． 【详解】（1）①解：， ， 故答案为：1； ②证明：， ， ； （2）解： ， ， ， ． 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 【例14】（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 【变式14-1】（2025·湖南·模拟预测）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值．先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式14-2】（2025·江苏·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”． 例如.分式 与 互为“三⊕分式”． (1)分式 与_____互为“六⊕分式”； (2)若分式 与互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值； (3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据新定义，用即可求解； （2）根据定义可得，根据分式的加减进行计算，即可求解； （3）根据题意首先利用倒数关系，将、​进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断． 【详解】（1）解：依题意，， ∴分式 与互为“六⊕分式”， 故答案为：； （2）解：∵分式 与互为“一⊕分式” ∴ 即 ∴， 即， ∵a，b为正数 ∴ （3）∵正数x，y互为倒数， ∴ ∴ ∴分式 与 互为“五⊕分式 【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键． 【变式14-3】（2025·福建福州·模拟预测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 2．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 3．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 5．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的运算，通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， ， ， 故①错误； 同理可求出，， ∴ ∴，故②正确； 通过递推得 ，故③错误； 由递推关系 ，，得 ，与题目中的不符，故④错误。 综上，仅结论②正确，正确个数为1个， 故选：A． 二、填空题 6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的比值计算，根据等式得到，是解题的关键． 由题可得，，再代入求值即可． 【详解】， ，解得； ，解得； ． 故答案为：． 7．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·模拟预测）分式 ，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：， ∴最简公分母为：， 故答案为：． 10．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案． 【详解】解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数， ∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2， ∴符合题意的M可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．（2022·安徽·一模）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键． 12．（2025·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式 13．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 14．（2025·北京·模拟预测）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 15．（2025·山西·二模）阅读与思考 数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． 奇妙的“条件等式” 我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式． 下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？ 探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得 将等式左边分解因式，得， 移项，得． 将左边继续分解因式，得， 因为，所以等式成立的条件应为． 运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如： ，，… 推广：… 任务： (1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整； ：_______；：_______； (2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式： ． (3)小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立． 【答案】(1)，； (2)，； (3)证明见解析． 【分析】（）利用因式分解即可求解； （）根据（）中的即可求解； （）本题考查了因式分解和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）根据， ， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）由（）得：， 则，解得：， 故答案为：，； （3）证明：等式左边， ， ， ， 等式右边， ， ， ， 左边右边，等式成立． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·四川·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 2．（2025·四川·模拟预测）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 3．（2025·河北·模拟预测）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值、分式无意义的条件，分式值为0的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 先根据分式无意义的条件和分式值为0的条件求出，即可得到该分式，再代入数据求出． 【详解】解：当时，分式无意义，则， ∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则， ∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为， 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意 故选：D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，，，，……，则的值为（    ） A．1 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，再利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴． 故选C． 6．（2025·重庆万州·模拟预测）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 二、填空题 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 8．（2025·四川内江·模拟预测）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值是解题的关键．先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 故答案为：1． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的 倍． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用、分式的应用，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题关键．设圆柱形杯子的底面积为，先求出一个实心小球的体积为，再求出杯溢出的液体的体积，则可得杯溢出液体高度，然后求出杯溢出的液体的体积，则可得杯剩余的液体高度，由此即可得． 【详解】解：设圆柱形杯子的底面积为， 则圆柱形杯子的体积为，原来装有的液体的体积为， ∵杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出， ∴一个实心小球的体积为， ∵杯放入4个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵将杯溢出的液体用相同的杯子收集， ∴杯溢出液体高度为， ∵杯放入6个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵杯溢出的液体用相同的杯收集，将杯的液体倒入杯，装满杯， ∴杯剩余的液体高度为， ∴杯剩余的液体高度是杯溢出液体高度的（倍）， 故答案为：2． 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为，十位数字与百位数字组成的两位数为，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记，当能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 是 8892 【分析】根据“开数”的定义判断1029是否为“开数”； 若M为“开数”，则，由此可得，代入可得，再根据能被7整除分析可得答案． 【详解】解：时，，， ，千位数字与百位数字和为：， 与1互为相反数， 1029是“开数”； 若M为“开数”，则， ， ， 是7的倍数， 若要M最大，则，，， ， M最大值为8892． 故答案为：是，8892． 【点睛】本题考查数字整除问题，运用题设条件进行数值分析是解题的关键． 三、解答题 12．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 14．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 15．（2025·安徽·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．根据分式加减运算法则和分式混合运算法则进行验证即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为：； （2）解：， 证明：左边， 右边， 左边右边，即等式成立． 16．（2025·浙江金华·模拟预测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤ (2) (3)，或，或． 【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”， ②不是分式，故不属于“和谐分式”， ③，属于“和谐分式”， ④，属于“和谐分式”， ⑤，属于“和谐分式”， 故答案为：①③④⑤ （2） （3） ∵x为整数，为整数， ∴，或， ∵且且 ∴，或，或．该式的值为整数． 17．（2025·辽宁大连·模拟预测）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $