专题1.3 分式（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式概念、性质、运算三大核心考点及10个知识点，以“知识点梳理-考点突破-题型训练”为主线，通过考点分析、方法指导和真题讲解，帮助学生构建知识体系，突破分式有意义条件、化简求值等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“概念辨析-规律探究-综合应用”的递进式教学设计，如通过分式规律探究题培养抽象能力，化简求值中渗透整体代入思想提升运算能力。设置14个典型题型及举一反三变式训练，配合中考真题即时反馈，确保学生高效掌握通分约分等关键技能，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题1.3 分式（举一反三复习讲义） 【10个知识点+3大考点+14个题型】 【考点一 分式的相关概念】 2 【题型1 分式有（无）意义的条件】 2 【题型2 分式值为0的条件】 4 【题型3 分式的值】 5 【题型4 分式的规律探究】 8 【考点二 分式的性质】 12 【题型5 分式的基本性质运用】 13 【题型6 最简公分母与最简分式】 15 【题型7 约分与通分】 17 【考点三 分式的运算】 19 【题型8 分式的加减运算】 19 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 21 【题型10 分式的混合运算】 22 【题型11 分式的化简求值】 24 【题型12 分式的大小比较】 26 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 29 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 33 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则。重点是：乘除运算时先分解因式并约分；加减运算时先通分（关键是确定最简公分母）。理解分式的基本性质，能进行约分与通分。掌握含括号的混合运算顺序，并能进行化简求值。 纯分式运算题多为化简或化简求值形式。命题常将分式运算嵌入复杂代数情境，如与数式规律、整体代入思想结合。高频考点是通分与约分，常需综合运用因式分解技巧。试题对运算过程的规范性和结果的最简形式有明确要求，符号处理是常见失分点。 1. 统一流程：遇乘除，先分解分子分母因式，约分；遇加减，先通分化为同分母。混合运算严格遵循运算顺序。 2. 巧用因式分解：通分、约分、化简求值前，务必先尝试分解各部分的因式，这是简化运算的关键步骤。 3. 整体代入求值：化简后，若所给值为非具体数字（如满足某方程），常将化简结果与已知条件联立，进行整体代入，避免直接解出复杂值。 【考点一 分式的相关概念】 知识点1 分式的概念 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 知识点2 分式有、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 知识点3 分式的值为0的条件 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 【题型1 分式有（无）意义的条件】 【例1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：当时，，，， 根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是， 故选：A． 【变式1-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式有意义的条件及自变量的范围，熟练掌握分式有意义的条件及自变量的范围是解题的关键；函数为分式，分母不能为零，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 【变式1-2】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 【变式1-3】（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 【题型2 分式值为0的条件】 【例2】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【变式2-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知分式，若当时分式的值为0，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零，根据题意把代入，得出，即可解得实数a的值． 【详解】解：∵分式，当时分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解． 【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0． 则有且， 解得且． 故． 故答案为： 【变式2-3】若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 【题型3 分式的值】 【例3】（2025·福建·中考真题）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 【答案】12或 【分析】本题主要考查分式的运算和直角三角形的边长，勾股定理，根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数， （1）若， ∴， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的第三边长为或； 当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立； （2）若，则不是正整数，与已知矛盾； （3）若， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是质数， ∴， ∴不可能是正整数，舍去． 综上可得：直角三角形的第三边长为12或． 故答案为：12或． 【变式3-1】（2025·上海·模拟预测）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，设，（），代入式子后运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 【题型4 分式的规律探究】 【例4】（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 【变式4-1】（2025·江苏泰州·模拟预测）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 【变式4-2】（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】（）根据已知等式写出式子即可； （）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证； 本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知等式可得，， 故答案为：，； （2）解：． 证明：∵ ， ∴， 故答案为：，． 【变式4-3】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边 ， ∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 【考点二 分式的性质】 知识点4 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 知识点5 约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 知识点6 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【题型5 分式的基本性质运用】 【例5】（2025·河北邯郸·一模）下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，分式的加减计算解答即可． 本题考查了分式的基本性质，分式的加减，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，此选项不符合题意；     B. ，此选项不符合题意； C. ，此选项不符合题意；     D. ，此选项符合题意， 故选：D． 【变式5-1】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 【变式5-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【题型6 最简公分母与最简分式】 【例6】（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，将除法化为乘法并约分即可； （2）根据（1）中所求列得方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：的值不能等于，理由如下： 若， 去分母得：， 解得：， 当时，，分式无意义， ∴的值不能等于． 【变式6-1】（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意，根据最简分式的定义解答即可． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； D． ，是最分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（2025·湖南永州·模拟预测）若分式是最简分式，则△表示的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 【详解】解：因为，且分式是最简分式， ∴中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 【题型7 约分与通分】 【例7】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-1】（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识﹒把变形为，再依据整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵ ∴﹒ 故选：C 【变式7-2】（2025·山东临沂·模拟预测）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 【变式7-3】（2025·河南·三模）下面是小华化简分式的过程： (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步； (2)小华的化简过程从第 步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适 的数代入求值． 【答案】(1)一；三 (2)二 (3)，或 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）通分一般用在异分母分式的加减法中，约分一般用在分式的乘除法或者自身化简中，据此求解即可； （2）根据分式的运算法则判断，最开始出现错误是在第二步中前面部分的分子中的没加括号，或其中的2未变号； （3）运用相关运算法则，先化简，再根据分母和除数不为零选择合适的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：一；三； （2）小华的化简过程从第二步开始出现错误，错误原因是在第二步中前面部分的分子中的没加括号，或其中的2未变号， 故答案为：二； （3）原式 ； ∵要使原式有意义， ∴且， 取，则原式， 取，则原式． 【考点三 分式的运算】 知识点7 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点8 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点9 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 知识点10 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型8 分式的加减运算】 【例8】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【变式8-1】（2025·四川达州·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 【变式8-3】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 【例9】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式9-1】（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式9-2】（2025·上海·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式9-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ∵运算的结果为整式， ∴中式子一定含有的单项式， 故只有B项符合． 故选：B． 【题型10 分式的混合运算】 【例10】（2025·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 【变式10-1】（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式10-2】（2025·甘肃·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式10-3】（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型11 分式的化简求值】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【变式11-1】（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 【变式11-2】（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【变式11-3】（2025·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a满足，即但， ∴， ∴当时，原式． 【题型12 分式的大小比较】 【例12】（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 【变式12-1】（2025·河北·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 【变式12-2】（2025·浙江·模拟预测）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 圆圆说：“当时，有，；因为，所以”． 方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键． 计算，若差值大于0，说明 ；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明． 【详解】解： 【变式12-3】（2025·贵州·一模）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法． 作差：首先计算两个数或代数式的差，即． 变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易判断的形式． 定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于B；若差式为负数，则原数A小于B；若差式为零，则A等于B． 结论：根据变形和定号的结果得出结论，即或． 例：比较与的大小． ∴， ∴ (1)已知，，，试比较M与N的大小． (2)比较大小：______（填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的加减法，非负数的性质和因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）计算，即可； （2）运用作差法计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， 故答案为：． 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 【例13】（2025·江苏徐州·模拟预测）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． （2）解： ， =1． 【变式13-1】（2025·山东烟台·一模）【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 【答案】； 【分析】本题主要考分式加减以及化简求值，熟练掌握分式加减的运算法则是解题关键．先利用将后式的分母化简，然后约分，最后进行减法运算，代入，计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【变式13-2】（2025·吉林长春·模拟预测）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式13-3】（2025·江西南昌·模拟预测）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2． 【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择， （2）已知．则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值； 【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④， （2）①． ，， ①当，时，即，， ， ②当时，即 ， 所以当m=0时，有最大值-2， 故代数式的最大值为． 【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键． 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 【例14】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 【变式14-1】（2025·四川成都·模拟预测）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则. 【详解】解： 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-2】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析 (2) 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 【变式14-3】（2025·江苏扬州·模拟预测）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 分式（举一反三复习讲义） 【10个知识点+3大考点+14个题型】 【考点一 分式的相关概念】 2 【题型1 分式有（无）意义的条件】 2 【题型2 分式值为0的条件】 3 【题型3 分式的值】 3 【题型4 分式的规律探究】 3 【考点二 分式的性质】 5 【题型5 分式的基本性质运用】 5 【题型6 最简公分母与最简分式】 6 【题型7 约分与通分】 6 【考点三 分式的运算】 7 【题型8 分式的加减运算】 8 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 8 【题型10 分式的混合运算】 8 【题型11 分式的化简求值】 9 【题型12 分式的大小比较】 9 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 10 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 11 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则。重点是：乘除运算时先分解因式并约分；加减运算时先通分（关键是确定最简公分母）。理解分式的基本性质，能进行约分与通分。掌握含括号的混合运算顺序，并能进行化简求值。 纯分式运算题多为化简或化简求值形式。命题常将分式运算嵌入复杂代数情境，如与数式规律、整体代入思想结合。高频考点是通分与约分，常需综合运用因式分解技巧。试题对运算过程的规范性和结果的最简形式有明确要求，符号处理是常见失分点。 1. 统一流程：遇乘除，先分解分子分母因式，约分；遇加减，先通分化为同分母。混合运算严格遵循运算顺序。 2. 巧用因式分解：通分、约分、化简求值前，务必先尝试分解各部分的因式，这是简化运算的关键步骤。 3. 整体代入求值：化简后，若所给值为非具体数字（如满足某方程），常将化简结果与已知条件联立，进行整体代入，避免直接解出复杂值。 【考点一 分式的相关概念】 知识点1 分式的概念 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 知识点2 分式有、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 知识点3 分式的值为0的条件 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 【题型1 分式有（无）意义的条件】 【例1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【变式1-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【题型2 分式值为0的条件】 【例2】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【变式2-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知分式，若当时分式的值为0，则实数a的值为 ． 【变式2-2】（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 【变式2-3】若分式的值为0，则x的值为 ． 【题型3 分式的值】 【例3】（2025·福建·中考真题）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 【变式3-1】（2025·上海·模拟预测）如果，那么 ． 【变式3-2】（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【变式3-3】（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【题型4 分式的规律探究】 【例4】（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【变式4-1】（2025·江苏泰州·模拟预测）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【变式4-2】（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【变式4-3】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【考点二 分式的性质】 知识点4 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 知识点5 约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 知识点6 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【题型5 分式的基本性质运用】 【例5】（2025·河北邯郸·一模）下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【变式5-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 最简公分母与最简分式】 【例6】（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【变式6-1】（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【变式6-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·湖南永州·模拟预测）若分式是最简分式，则△表示的是（  ） A． B． C． D． 【题型7 约分与通分】 【例7】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【变式7-1】（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·山东临沂·模拟预测）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·河南·三模）下面是小华化简分式的过程： (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步； (2)小华的化简过程从第 步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适 的数代入求值． 【考点三 分式的运算】 知识点7 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点8 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点9 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 知识点10 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型8 分式的加减运算】 【例8】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【变式8-1】（2025·四川达州·中考真题）化简： ． 【变式8-2】（2025·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 【变式8-3】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 【例9】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【变式9-2】（2025·上海·二模）化简： ． 【变式9-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B． C． D． 【题型10 分式的混合运算】 【例10】（2025·陕西·中考真题）化简：． 【变式10-1】（2025·四川·中考真题）化简：． 【变式10-2】（2025·甘肃·中考真题）化简：． 【变式10-3】（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 【题型11 分式的化简求值】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【变式11-1】（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【变式11-2】（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【变式11-3】（2025·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【题型12 分式的大小比较】 【例12】（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【变式12-1】（2025·河北·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【变式12-2】（2025·浙江·模拟预测）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 圆圆说：“当时，有，；因为，所以”． 方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整． 【变式12-3】（2025·贵州·一模）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法． 作差：首先计算两个数或代数式的差，即． 变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易判断的形式． 定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于B；若差式为负数，则原数A小于B；若差式为零，则A等于B． 结论：根据变形和定号的结果得出结论，即或． 例：比较与的大小． ∴， ∴ (1)已知，，，试比较M与N的大小． (2)比较大小：______（填“>”“=”或“<”） 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 【例13】（2025·江苏徐州·模拟预测）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【变式13-1】（2025·山东烟台·一模）【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 【变式13-2】（2025·吉林长春·模拟预测）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【变式13-3】（2025·江西南昌·模拟预测）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 【例14】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【变式14-1】（2025·四川成都·模拟预测）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【变式14-2】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【变式14-3】（2025·江苏扬州·模拟预测）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $