5.1 正弦函数的图象与性质再认识（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象与性质再认识，涵盖描点法、五点作图法绘制图象及定义域、周期性等性质探究。通过弹簧振子曲线情境导入，衔接单位圆知识，以“再认识”构建从具体到抽象的学习支架，梳理前后知识脉络。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，结合图象探究性质，用表格归纳性质助力数学思维，典例分析与当堂检测强化数学语言表达。如弹簧振子情境直观引入，五点作图法与性质表格化总结，提升学生直观想象与逻辑推理能力，教师可直接使用，提高教学效率。

5.1 正弦函数的图象与性质再认识 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 用描点法画出y＝sin x的图象，进一步理解正弦函数的性质. 利用正弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）. 通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养． 读教材 阅读课本P28-P33，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“正弦函数的图象与性质再认识”吧！ 1.正弦函数的周期是多少？如何在绘制的图象？如何由上的图象得到的图象？ 2.如何用“五点作图法”绘制正弦函数的图象？ 3.通过正弦函数图象可以进一步得到正弦函数的哪些性质？ 单击此处添加备注 3 情境导入 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数的图象及性质的再认识 3 当堂检测 2 五点作图法 单击此处添加备注 5 新知探究 问题：我们怎样画出正弦函数y=的图象呢？ 由于正弦函数y=是以为周期，我们只需要画出正弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上． 思考1：如何利用描点法作出正弦函数y=在上的图象吗？ 在区间上取一系列的值（的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如0，，，，，，列表，描点做出图象： 0 0 1 0 0 新知探究 思考1：如何利用描点法作出正弦函数y=在上的图象吗？ 列表 描点 连线 O1 O y x -1 1 A B 新知探究 事实上，利用信息技术，可使 x0 在区间 [0，2π] 上取到足够多的值而画出足够多的点 T (x0, sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 y = sin x，x∈[0，2π] 的图象. 新知探究 y=sinx x[0,2] y=sinx xR sin(x+2k)=sinx, kZ x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  思考2：如何画函数y=sin x,x∈R的图象?你能想到什么方法? 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 新知探究 思考3：我们之前学习的正弦函数的性质有哪些？ 定义域 周期性 单调性 最大（小）值和值域 奇偶性 接下来我们通过正弦函数的图象，进一步理解正弦函数的性质. 新知探究 问题：观察正弦函数图象，你能从中看到哪些性质，并将看到的性质用数学语言描述． 一、定义域 正弦函数的定义域是R 二、最大(小)值和值域 当α＝2kπ，k∈Z时，正弦函数y＝sin x取得最大值1； 当α＝2kπ，k∈Z时，正弦函数y＝sin x取得最小值－1. 从正弦函数的图象可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以正弦函数的值域为[－1，1]. 新知探究 三、周期性 从正弦函数的图象可以看到，当自变量 x 的值增加 2π 的整数倍时，函数值不变.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期是 2π.同样，也可以从诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为 2π. 因此，为了研究问题方便，可以任取实数 a，讨论 y＝sin x 在区间[a,a＋2π]上的性质，然后延拓到定义域R上. 新知探究 四、单调性 如图，在正弦函数 y＝sin x 的图象中，选取区间， 可以看出，当 x 由增加到时，sin x 的值由增加到1； 当 x 由增加到时，sin x 的值由1减小到 因此，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 新知探究 四、单调性 由正弦函数的周期性可知，正弦函数 在每一个区间上都单调递增 在每一个区间上都单调递减. x y o - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=sinx，x∈R 五、奇偶性 如图，正弦曲线关于原点对称，即诱导公式 sin(x)sin x 成立，可知正弦函数是奇函数. x y o - -1 2 3 4 -2 -3 1  新知探究 思考交流 思考4：借助函数图象探究正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 六、对称性 由正弦型函数图象可以看出，正弦函数的对称轴为 对称中心为． 归纳小结 正弦函数性质可总结为下表 函数 y=sin x 性质 定义域 R 值域 [-1，1] 周期性 是周期函数，周期为2kπ(k∈Z)，最小正周期为 最值 当，时，取得最大值1  当时，取得最小值-1  单调性 增区间 ， 减区间 ， 奇偶性 奇函数 对称性 对称轴为 对称中心为点 典例分析 例1.比较下列各组三角函数值的大小:（1）（2）． 解：（1）如图，因为<<<0，且正弦函数y= 在单调递增，所以>. （= = 因为<<<，且正弦函数y=在单调递减，所以即 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数的图象及性质的再认识 3 当堂检测 2 五点（画图）法 单击此处添加备注 19 新知探究 思考3：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？                 五点作图法 与x轴的交点 图像的最高点 图像的最低点 抽象概括 根据正弦曲线的基本性质，描出：这五个关键点后，函数 y = sin x，x∈[0，2π] 的图象就基本确定了. 因此在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图． 这种作正弦曲线的方法称为“五点（画图）法”． 典例分析 例2.用五点法画出上的简图 解：按五个关键点列表得： 0 2 1 -1 x y . . . . . 利用五个关键点确定y=－的图象，这五个点也是画y=图象的关键点． 典例分析 例3.画出的图象，并讨论它的性质． 解：五个关键点列表 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 2 1 于是得1到在区间上的五个关键点为： （0，1），（，0）（，1），（，2），（2，1） 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出1在上的图象，如图： 典例分析 函数 到 定义域 R 值域 奇偶性 既不是奇函数，也不是偶函数 周期性 周期函数，周期是2   单调性 在每一个闭区间单调递增； 在每一个闭区间单调递减   最大值与最小值 当 =时，最大值为0； 当 =时，最小值为2 观察函数图象，得到的性质如下表： 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数的图象及性质的再认识 3 当堂检测 2 五点（画图）法 单击此处添加备注 25 当堂检测 C 当堂检测 2.利用函数y=的图象，求满足不等式≥的的取值集合． 解：画出函数y=在区间上的图象，如图所示： 结合图象，得出不等式≥的的取值集合是： ． 当堂检测 3.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法: ①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数; ②存在φ,使f(x)是偶函数; ③存在φ,使f(x)是奇函数; ④对任意的φ,f(x)都不是偶函数. 其中错误的是　　　　　(填序号).  ①④ 当堂检测 4.函数y=-sin2x+sin x+1的最大值为(　　) A.2 B. C.1 D.0 B 课堂小结 感谢聆听! 解析 φ=0时,f(x)=sin x是奇函数. φ=时,f(x)=cos x是偶函数. 解 令t=sin x,t∈[-1,1],则y=-t2+t+1=-t-2+, 当t=时,ymax=. $