专题1.1 多边形（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

本讲义聚焦多边形核心知识，从概念（边、顶点、内角、外角、对角线、正多边形）到性质（内角和180°(n-2)、外角和360°），再到14类应用题型（如截角、对角线、内角和计算、平面镶嵌等），构建递进式学习支架。 以“举一反三”设计例题与变式，通过“多边形截角边数”“平面镶嵌”等题型，培养抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决问题能力。

专题1.1 多边形（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 多边形的概念】 2 【题型2 正多边形的概念辨析】 4 【题型3 多边形截角后的边数问题】 6 【题型4 多边形的周长与面积问题】 9 【题型5 多边形对角线的条数问题】 11 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 12 【题型7 多边形内角和的计算】 15 【题型8 多（少）算一个角问题】 17 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 20 【题型10 复杂多边形的内角和】 22 【题型11 多边形外角问题的计算】 27 【题型12 多边形外角和的实际应用】 29 【题型13 多边形的内角和外角的综合】 31 【题型14 平面镶嵌】 37 知识点1 多边形的相关概念 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 【题型1 多边形的概念】 【例1】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 【变式1-3】把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是图形的拼接，根据平面图形的特点进行拼接即可． 【详解】解：如图，拼成的图形如下： 【题型2 正多边形的概念辨析】 【例2】对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【答案】A 【分析】A. 由正多边形的性质可得 B. 举反例判断即可 C. 举反例判断即可 D. 举反例判断即可 【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误 D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键． 【变式2-1】下列图形中，是正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义判断即可． 【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形． 【变式2-2】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意， 等边三角形是正多边形，故②符合题意， 长方形不是正多边形，故③错误不符合题意， 正方形是正多边形，故④符合题意， 故选：B． 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 【变式3-2】一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 【变式3-3】如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 【题型4 多边形的周长与面积问题】 【例4】若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【答案】cm/厘米 【分析】根据正边形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：正边形的边长相等，且边长为2cm， 其周长为cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键． 【变式4-1】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【变式4-2】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 【题型5 多边形对角线的条数问题】 【例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 【变式5-1】六边形对角线的条数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线条数的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据多边形所有对角线的条数公式求解即可． 【详解】解：根据多边形所有对角线的条数为， ∴六边形的对角线的条数为． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形的边数是 条 【答案】2027 【分析】本题可根据多边形对角线的相关性质来求解多边形的边数，即根据过边形的一个顶点可引出条对角线这一关系建立方程求解．本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握过边形一个顶点可引出条对角线是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ∵ 过边形的一个顶点可以引条对角线，且过该多边形的一个顶点可以引条对角线 ∴ ∴ 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是熟记n边形的对角线的条数为，根据多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 则， 解得：． 故答案为：． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形是解题的关键． 从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，由此计算即可． 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是， 故答案为：7． 【变式6-1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解． 直接画出图形求解． 【详解】解：如图， 自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形， 故选：B． 【变式6-2】探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 【变式6-3】（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 知识点2 多边形的内角和定理与外角和定理 1. 多边形内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2),其中n≥3. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数没有关系. 【题型7 多边形内角和的计算】 【例7】（25-26八年级上·全国·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键． 根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵白色皮块是六边形， ∴内角和为． 故选：D． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，正六边形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8 多（少）算一个角问题】 【例8】（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为 ，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为 ， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 【变式8-1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【变式8-2】请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 【变式8-3】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数． 【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n． 则（n-2）×180=830+x， 即（n-2）×180=4×180+110+x， 因此x=70，n=7或x=250，n=8． 故该多边形的边数是7或8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 【例9】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，分类讨论即可确定原多边形的边数． 【详解】解：如图， 剪切的三种情况： ①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=720， 解得：n=6． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键． 【变式9-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 【变式9-2】将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 【变式9-3】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 【题型10 复杂多边形的内角和】 【例10】（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 【变式10-1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式10-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式10-3】阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 【题型11 多边形外角问题的计算】 【例11】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)该多边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，根据多边形的外角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为6； （2）解：由（1）可得该多边形是正六边形， 每一个外角的度数． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 【变式11-2】一个多边形的内角的是五边形外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【分析】根据多边形的内角和等于，外角和等于，结合题意列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是，则这个多边形的内角和为， ∵五边形的外角和为，且这个多边形的内角和是五边形的外角和的3倍， ∴， 解得， ∴这个多边形为八边形． 故答案为：八． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式和外角和为是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写． 【变式11-3】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】(1)14 (2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是 【分析】（1）n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解； （2）正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可． 【详解】（1）解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°， 由题意得，， 解得， 即n的值为14； （2）解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为， 由题意得，， 解得， ， 即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为． 【题型12 多边形外角和的实际应用】 【例12】规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角，熟知任意多边形的外角和都是．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：由题意，得每一个外角是， ， 米， 故答案为：40． 【变式12-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 【题型13 多边形的内角和外角的综合】 【例13】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 【变式13-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式13-3】在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 【题型14 平面镶嵌】 【例14】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 【变式14-1】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 【答案】D 【分析】本题考查平面镶嵌条件，解题的关键是用“简化内角公式”速算已知正多边形内角，结合“顶点总内角”和“个数为正整数”，快速锁定另一种正多边形． 用简化公式算已知正多边形内角，确定其顶点处可能个数（因内角大，个数仅1或2）； 按“减已知内角和”算剩余内角，匹配正多边形内角（需为正多边形内角且个数为正整数）． 【详解】解：由简化公式“正边形内角”，得； 因，故正八边形顶点处仅能放1个或2个． 若放1个：剩余内角和，无正多边形内角能整除（排除）； 若放2个：剩余内角和，是正四边形内角（正四边形内角），符合条件． 故另一种正多边形是正四边形，选D． 故选：D． 【变式14-2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据题意可得正多边形的外角为，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， 正三角形和正n边形密铺， 拼接点的角刚好能拼成一个周角，， ， ， 正n边形的外角为：， 这个多边形的边数是， 故答案为：． 【变式14-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 多边形（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 多边形的概念】 2 【题型2 正多边形的概念辨析】 3 【题型3 多边形截角后的边数问题】 3 【题型4 多边形的周长与面积问题】 4 【题型5 多边形对角线的条数问题】 5 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 5 【题型7 多边形内角和的计算】 6 【题型8 多（少）算一个角问题】 7 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 7 【题型10 复杂多边形的内角和】 8 【题型11 多边形外角问题的计算】 10 【题型12 多边形外角和的实际应用】 10 【题型13 多边形的内角和外角的综合】 12 【题型14 平面镶嵌】 13 知识点1 多边形的相关概念 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 【题型1 多边形的概念】 【例1】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【变式1-3】把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形． 【题型2 正多边形的概念辨析】 【例2】对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【变式2-1】下列图形中，是正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【变式3-2】一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 【变式3-3】如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【题型4 多边形的周长与面积问题】 【例4】若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【变式4-1】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【变式4-2】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【题型5 多边形对角线的条数问题】 【例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】六边形对角线的条数是 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形的边数是 条 【变式5-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为 ． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【变式6-1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【变式6-2】探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【变式6-3】（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 知识点2 多边形的内角和定理与外角和定理 1. 多边形内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2),其中n≥3. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数没有关系. 【题型7 多边形内角和的计算】 【例7】（25-26八年级上·全国·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，正六边形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数是 ． 【题型8 多（少）算一个角问题】 【例8】（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【变式8-1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-2】请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【变式8-3】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 【例9】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 【变式9-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式9-2】将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【变式9-3】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【题型10 复杂多边形的内角和】 【例10】（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【变式10-3】阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【题型11 多边形外角问题的计算】 【例11】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式11-2】一个多边形的内角的是五边形外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【变式11-3】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【题型12 多边形外角和的实际应用】 【例12】规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【变式12-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【变式12-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【题型13 多边形的内角和外角的综合】 【例13】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【变式13-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【变式13-3】在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【题型14 平面镶嵌】 【例14】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【变式14-1】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 【变式14-2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ． 【变式14-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $