精品解析：吉林省长春市公主岭市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026 学年度上学期期末教学质量检测八年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答顾卡上的指定区域内答题，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.101001001 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查无理数，解题关键在于掌握无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数，本选项不符合题意； B、是有限小数，是有理数，本选项不符合题意； C、是分数，是有理数，本选项不符合题意； D、是无理数，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 0没有算术平方根 B. 的立方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的概念． 根据定义逐项判断即可． 【详解】解：0的算术平方根是0，A错误； ，的立方根是，不是2，B错误； 负数没有实数平方根，没有平方根，C错误； 且，4的平方根是，D正确； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，单项式除以单项式，乘法公式，根据同底数幂的乘法，单项式除以单项式，乘法公式逐一计算即可． 【详解】解：A．，该项计算错误； B．，该项计算正确； C．，该项计算错误； D．，该项计算错误； 故选：B． 4. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质与勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴橡皮筋被拉长了：．， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是从题目中提取出垂直平分线． 5. 如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据题意证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，计算四边形的面积，由此判断即可． 【详解】解：在和中， 四边形的面积为， 综上所述，选项B正确，选项D错误，无法判断A，C选项， 故选：B． 6. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中每一个内角都小于 C. 三角形中有一个内角大于 D 三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 7. 空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是（　　） A. 扇形统计图 B. 条形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选择． 扇形统计图适用于表示各部分在总体中的比例，能直观展示空气的组成情况． 【详解】解：∵空气的组成需反映各气体成分所占百分比， ∴最适合使用扇形统计图． 故选：A． 8. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，整体代入法求代数式的值． 先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后由得出代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 无理数的值在两个相邻整数m和之间，则_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，通过比较平方数，确定 在4和5之间，因此． 【详解】解：因为且， 所以，即在整数4和5之间， 故． 故答案为：4． 10. 命题“两直线平行，同旁内角相等”是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 11. 当今社会，正在改变我们的生活，在“”这个单词中，字母“e”出现的频率是________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求频率． 计算单词“”中字母“e”出现的次数与总字母数的比值即可． 【详解】解：单词“”由字母D，e，e，p，s，e，e，k组成，总字母数为8，其中字母“e”出现4次， 因此频率为． 故答案为：． 12. 已知m，n为等腰的边长，其中，，则的周长是_______ ． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系． 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否成立，从而得到周长． 【详解】解：若三边是5，5，11，，5，5，11不能构成三角形； 若三边是5，11，11，，周长为； ∴的周长为27． 故答案为：27． 13. 如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 14. 如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得，根据全等三角形的性质可得、，从而可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质可得，从而判断③正确，②错误；由，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：为中线， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， 故①正确； 在和中， ， ， 故③正确，符合题意； ， ， ， 故②错误； 、， ， 为中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值．先根据乘法公式把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式 16. 已知，求的值． 【答案】 25 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键． 根据题意得到，，代入计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 17. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）计算图中阴影部分的面积． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可得出结论； （2）根据图中阴影部分的面积=三角形的面积−三角形的面积，进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 ． 18. 已知的立方根是1，b是的整数部分． （1）_____，_____； （2）求的平方根． 【答案】（1）3，6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求平方根． （1）由题意，的立方根是1，可得，即可求出a的值；再利用“夹逼法”估算的范围，求出b的值即可； （2）先求出的值，然后再根据平方根定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分是6， ∵b是的整数部分， ∴． 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为：． 19. 为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校八年级共800名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．调查小组从八年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息． 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布如下表： 成绩 频数 m 6 15 n 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图如图所示； 信息三：竞赛成绩在这一组的成绩如下： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的数值_____； （2）补全频数分布直方图； （3）学校将获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计八年级学生的获奖人数． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）192人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意，可以先得到n的值，然后即可计算出m的值； （2）根据（1）中m、n的值，即可将频数分布直方图补充完整； （3）根据题意和题目中的数据，可以计算出八年级学生的获奖人数． 【小问1详解】 解：由信息三可知，， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 补全的频数分布直方图如下所示， ； 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 即估计八年级学生的获奖人数为192人． 20. 图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图： （1）在图①中，连结AC、BC，使AC=AB，∠BAC=90°； （2）在图②中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB=90°； （3）在图③中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB≠90°． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可； （2）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可； （3）根据BC=5，AC==5，作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图①中，点C即为所求； ∵，∠AEB=∠CFA=90°，BE=AF=3， ∴△AEB≌△CFA， ∴AB=AC，∠EAB=∠FCA， ∵∠FCA+∠FAC=90°， ∴∠EAB +∠FAC=90°， ∴∠BAC=90°； 【小问2详解】 解：如图②中，点C即为所求； 同（1）可证明； 【小问3详解】 解：如图③中，点C即为所求． ∵BC=5，AC==5， ∴BC= AC， ∵AB==， ∴BC2+ AC2≠AB2， ∴∠ACB≠90°． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质； （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【解析】 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①中斜边上的高为_____； ②当Q在上时，的长为_____（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）①；② （2）出发秒后能形成等腰三角形 （3）当运动时间为6秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高； ②用t表示Q的运动长度为，进而解答即可； （2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【小问1详解】 解：①在中，由勾股定理可得， ∴斜边上的高为； ②设运动时间为t秒．当Q在上时，的长为， 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，则有，即， 解得：， ∴出发秒后能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：在中，， 当点Q在上时，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有和两种情况， ①当时，则， 解得：； ②当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上可知，当运动时间为6秒或秒时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 24. 如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． （1）图①中大长方形的面积为_____； （2）观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； （3）已知，，求的值； （4）两个正方形、如图③摆放，边长分别x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2） （3） （4）9 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，正方形和长方形的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正方形和长方形的性质是解决问题的关键． （1）根据图①中大长方形的长为、宽为，即可得出大长方形的面积； （2）根据图②中“大正方形的面积﹣小正方形的面积4个长方形的面积和”得，由此即可得出答案； （3）由（2）结论得，进而得，再将，，代入计算即可得出的值； （4）依题意得，，根据得，，由三角形面积公式得，由（2）的结论得，进而得，将，代入计算得，继而得，据此即可得出图中③阴影部分面积和． 【小问1详解】 解：∵图①中大长方形的长为、宽为， ∴图①中大长方形的面积为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵图②中大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∵图②四个长方形的长均为m，宽均为n， ∴图②四个长方形的面积均为， 又∵图②中“大正方形的面积小正方形的面积4个长方形的面积和”， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； 小问4详解】 解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵正方形的边长为y， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴图中③阴影部分面积和为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度上学期期末教学质量检测八年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答顾卡上的指定区域内答题，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.101001001 C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 0没有算术平方根 B. 的立方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将长为橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中每一个内角都小于 C. 三角形中有一个内角大于 D. 三角形中每一个内角都大于 7. 空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是（　　） A. 扇形统计图 B. 条形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 8. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 无理数的值在两个相邻整数m和之间，则_____ ． 10. 命题“两直线平行，同旁内角相等”是________（填“真”或“假”）命题． 11. 当今社会，正在改变我们的生活，在“”这个单词中，字母“e”出现的频率是________ ． 12. 已知m，n为等腰的边长，其中，，则的周长是_______ ． 13. 如图，等边三角形，若，则________ °． 14. 如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知，求的值． 17. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）计算图中阴影部分的面积． 18. 已知的立方根是1，b是的整数部分． （1）_____，_____； （2）求的平方根． 19. 为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校八年级共800名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．调查小组从八年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息． 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布如下表： 成绩 频数 m 6 15 n 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图如图所示； 信息三：竞赛成绩在这一组的成绩如下： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的数值_____； （2）补全频数分布直方图； （3）学校将获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计八年级学生的获奖人数． 20. 图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图： （1）图①中，连结AC、BC，使AC=AB，∠BAC=90°； （2）在图②中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB=90°； （3）在图③中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB≠90°． 21. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，证明： （1）； （2）． 22. 通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 23. 如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①中斜边上的高为_____； ②当Q在上时，的长为_____（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的t的值． 24. 如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． （1）图①中大长方形的面积为_____； （2）观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； （3）已知，，求的值； （4）两个正方形、如图③摆放，边长分别x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $