精品解析：陕西省宝鸡市2025-2026学年高三上学期高考模拟测试（一）数学试题

2026年宝鸡市高考模拟检测试题（一） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 已知点，向量，，，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为3 B. ab的最小值为3 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 7. 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据9，8，13，10，12，14的第70百分位数为13 B. 一组数据9，8，13，10，12，14的极差为5 C. 一组数据9，8，13，10，12，14的中位数为11 D. 一组数据9，8，13，10，12，14方差为s，那么数据18，16，26，20，24，28的方差为2s 10. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 11. 如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 有无数个点满足 B. 当点在棱上运动时，的最小值为 C. 若，则动点的轨迹长度为 D. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列前n项和为，若，，则________________． 13. 若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 14. 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线 对称，则以下说法正确的有________． ① ② ③ ④ 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数的最小正周期为，其图像过点． （1）求和 的值 （2）设的三边，，的对角分别为 ，，，已知 为锐角，且 ，，，成等差数列，求证：为等边三角形． 16. 为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人． （1）求抽取的60人中男生、女生各多少人． （2）从抽取的60人中随机选取一人，设事件 为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件 、是否相互独立，并说明理由． （3）用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 已知函数， （1）讨论的单调性． （2）若对任意都有 恒成立，求a的取值范围． 18. 如图，四棱锥 中，平面 平面， ，， ， ，，， （1）求证： 平面 ； （2）设平面 平面 ，求与平面 所成角的正弦值． （3）设平面 ，求当 周长最小时三棱锥的体积． 19. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点， 为坐标原点，直线与椭圆交于 两点（直线斜率存在且 在 轴两侧），且满足． ①若直线的斜率不等于零，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． ②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在 ，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年宝鸡市高考模拟检测试题（一） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3. 若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知， ，于是，则， 即. 故选：C 4. 已知点，向量，，，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 5. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解. 【详解】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为. 故选：C. 6. 设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为3 B. ab的最小值为3 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 【答案】D 【解析】 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得ab的最小值. 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 7. 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题. 【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形， 这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验）， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 故选：B 8. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】从进行推导，得到或 ，继续推导，得到答案. 【详解】，若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得，不合要求， 若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得，不合要求， 若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得 ，满足要求， ①若，若为偶数，则，解得 ， 若为奇数，则，解得，不合要求，舍去； 则或， 或 ， 同理可得，若则，或21， 若 ，则，或3； ②若 ，则，，则 或8， 或16， 综上：，3，16，20，21，128. 则m的值不可能为， 故选：B 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据9，8，13，10，12，14的第70百分位数为13 B. 一组数据9，8，13，10，12，14的极差为5 C. 一组数据9，8，13，10，12，14的中位数为11 D. 一组数据9，8，13，10，12，14方差为s，那么数据18，16，26，20，24，28的方差为2s 【答案】AC 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差的定义和公式对选项逐一计算判断即可. 【详解】将数据按照从小到大整理后可得8，9，10，12，13，14， 对于A，根据百分位数定义可知，该组数据第70百分位数为数据的第五个数13,故正确； 对于B，根据极差定义可知，该组数据极差为 ,故错误； 对于C，根据中位数的定义可知，该组数据中位数为最中间的两个数据10,12的平均数, 所以中位数为，故正确； 对于D，根据方差的性质，每个数据变为原来的2倍，方差变为原方差的4倍，即为 ,故错误， 故选：AC. 10. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为可判断C，由二项式定理可判断B. 【详解】的展开式的通项为. 令，可得含项的系数为，故A错误； 第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，故B正确； 所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，可得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 有无数个点满足 B. 当点在棱上运动时，的最小值为 C. 若，则动点的轨迹长度为 D. 在线段上存在点，使异面直线与 所成的角是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直性质定理以及判定定理，可得其正误； 对于B，利用“将军饮马”模型，旋转平面化折为直，结合勾股定理，可得其正误； 对于C，利用直观想象圆锥的模型，利用勾股定理，求得其底面轨迹，可得其正误； 对于D，根据异面直线夹角的定义，利用数形结合以及三角函数的定义，可得其正误. 【详解】对于A，若M在 上，则此时有无数个点M满足， 证明如下：由正方体的性质得平面，因为平面，所以. 又，，平面，所以平面， 因为 平面，所以，即此时有无数个点M满足，故A正确； 对于B，旋转平面使之与平面 共面，如图中，连接交于点M， 此时最短为，大小为，故B错误； 对于C，当点在平面内时， 面，面，则， 所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧， 从而动点轨迹长度为，故C正确； 对于D，因为，所以直线与 所成的角，即为直线与所成角，即或其补角， 由在线段上存在点知，，由，得， 即最小值大于，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列前n项和为，若，，则________________． 【答案】31 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解公比和首项，即可根据求和公式得解. 【详解】由，可得，故， 所以，故 ，， 所以， 故答案为：31 13. 若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 14. 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ① ② ③ ④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用对称性、奇偶性和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用 替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数的最小正周期为，其图像过点． （1）求和 的值 （2）设的三边，，的对角分别为，，，已知为锐角，且 ，，，成等差数列，求证：为等边三角形． 【答案】（1） （2）由（1）知 ，故 , 故 ，则 ， 由于为锐角，故取 ，则， 根据，，成等差数列，可得， 由余弦定理可得 ， 故 ，化简可得 ， 故 ，又，因此为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据周期公式以及即可求解， （2）根据 可得，即可根据等差中项以及余弦定理证明 ，即可求证. 【小问1详解】 由于 的最小正周期为，其图像过点 ，故 ， 结合，故， 【小问2详解】 略 16. 为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人． （1）求抽取的60人中男生、女生各多少人． （2）从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由． （3）用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）男生36人，女生24人. （2）不相互独立，理由： 由题意：，， 事件 表示“选到男生且是锻炼积极者”，所以. 因为，所以事件、不相互独立. （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的概念计算男、女生的人数. （2）利用与的关系判断事件、是否相互独立. （3）利用二项分布概率模型求分布列和期望. 【小问1详解】 60人中，男生人数为人，女生人数为：人. 所以抽取的60人中男生36人，女生24人. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 从全市学生中任意抽取1人是“锻炼积极者”的概率为. 从全市学生中抽取3人，“锻炼积极者”的人数服从二项分布，， 所以，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知函数， （1）讨论的单调性． （2）若对任意都有 恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时， 在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有 ，所以，即， 令，，则， 当时， ，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 18. 如图，四棱锥 中，平面 平面， ，， ，，，， （1）求证： 平面 ； （2）设平面 平面 ，求与平面 所成角的正弦值． （3）设平面 ，求当 周长最小时三棱锥的体积． 【答案】（1） 取中点为E，连接PE，因，则 ， 又平面 平面， 平面 ，平面 平面 ， 则平面，平面，则 ． 又 ，平面 ，， 所以平面 ， 平面 ，则． 又，平面 ，， 所以 平面 ． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）如图，取中点为，连接，由题可证 ，结合 ，可得平面 ，从而，最后结合 可完成证明； （2）如图建立以为原点的空间直角坐标系，由题求出方向向量与平面 的法向量，据此可得答案； （3）如图，由（1）做出关于平面 的对称点，连接 ，其与平面 交点即为满足题意的Q，然后由题可得Q坐标，据此可得体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，因 ，则， 结合（1），可得两两垂直，故建立以为原点的空间直角坐标系． 因，则． 因，，则． 从而， ． 设平面与平面 法向量 分别为，， 则，， 可取，. 设方向向量为，因平面平面 ， 则，从而可取. 设与平面 夹角为 ，易得平面 法向量为， 则； 【小问3详解】 由（1）可得 平面 ，延长 至，使， 则为关于平面 的对称点，从而， 当且仅当三点共线时取等号， 又，则连接 ， 与平面 交点即为满足题意的Q. 由（2），则，. 设，又， 则，注意到平面 ， 则，则， 又，则，即. 则. 19. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于 两点（直线斜率存在且 在轴两侧），且满足． ①若直线的斜率不等于零，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标． ②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线 过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得，由的关系求得，然后写出椭圆方程； （2）①设直线方程，联立方程组并消元化简为一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点横坐标的等式.由题意得到关于斜率的等量关系，结合斜率公式和交点横坐标的关系式建立方程，解得参数的值，即可求得定点坐标； ②由题意写出两条切线方程，又因为点在切线方程上，从而得到直线 方程，由直线 经过的定点的坐标，求得点的坐标，然后得到以为直径的圆的方程，令参数的系数为0即可求得定点. 【小问1详解】 由题意可知，解得，则， ∴椭圆的标准方程：. 【小问2详解】 ①设， 联立方程组得，消元化简为， 即 设交点，则，， 由题意可知，即， ∵，∴ 则，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即，， ∴. 故直线过定点. ②由题意可知过点的切线方程为，过点的切线方程为， 设，则，∴点 在直线上， 又∵直线 经过定点，则，则，即， ∴以为直径的圆的方程为， 整理得， 令（要求圆的定点，则令参数的系数为0） 则，∴或. ∴此圆经过定点或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $