精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

乌鲁木齐市第一中学2027届高二数学 （2026年1月9日） 一､选择题（共8小题满分40分，每小题5分） 1. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 2. 函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 3. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 5. 已知函数的图像在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得函数在处的切线方程，可求得的值. 【详解】因为，所以，所以，， 则的图像在处的切线方程为，即， 又函数的图像在处的切线方程为，则， 所以，，故. 故选：C. 6. 已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质得，再根据几何意义求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即对恒成立 所以，解得， 所以，所以， 所以，， 所以，所求切线方程为，即． 故选：B 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 12 C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将拆分为与其余因子的乘积，利用乘积求导法则，代入时，含的项会消去，只需计算剩余因子在处的取值，即可得到. 【详解】令，其中； 求导：； 代入：可得. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则可判断选项A；根据导数定义可判断选项B；根据导数的求导法则可判断选项CD. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，则． 由，得，即，解得或（舍去），故选项C正确； 对于D，由，得，故，故选项D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，的导函数是，则（ ） A. B. 在点处的切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数的几何意义判断A，根据曲线的切线与直线平行，根据平行线间的距离判断B，设公切线与两曲线的切点坐标，分别利用导数及两点求切线斜率建立方程，转化为，根据讨论的解的情况判断CD. 【详解】由题意得，则， 所以曲线在点处的切线斜率为1，A正确. 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，B错误； ，设曲线，曲线的切点分别为，， 则，得.当时，有唯一解， 所以曲线与有且只有一条公切线，当时，无解， 曲线与没有公切线，C正确，D错误． 故选：AC 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 13. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 14. 函数，则函数的单调增区间为______． 【答案】和 【解析】 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 四､解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； 【小问2详解】 解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； 【小问3详解】 解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. 【小问4详解】 解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 16. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 ，， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【小问2详解】 ∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 17. 已知函数的图象记为曲线C. （1）若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； （2）若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】（1）或 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为，切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． 【小问2详解】 函数，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在区间恒成立，则． 令，则有， 所以，，，， 则， 所以， 故． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用几何意义得，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，再分和两种情况讨论，即可求解；（ii）利用（i）中结果得，令，得到，再利用累加法，即可求解. 【小问1详解】 由题知，则， 又因为曲线在点处的切线与直线平行， 故，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，函数在区间上单调递增， 故在区间上恒成立，令，则有， 又，则， ①当，即时，令，得到，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 又，则时，，即， 即在区间上单调递减，不符合题意； ②当，即时，在上恒成立， 故在区间上单调递增，又，故，即， 故函数在区间上单调递增，符合题意． 综上，的取值范围是． （ⅱ） 略 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【小问1详解】 ，因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. 【小问2详解】 设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2027届高二数学 （2026年1月9日） 一､选择题（共8小题满分40分，每小题5分） 1. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知函数的图像在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 12 C. 24 D. 8. 已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 已知函数，的导函数是，则（ ） A. B. 在点处的切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 11. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 13. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 14. 函数，则函数的单调增区间为______． 四､解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）； 16. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图象记为曲线C. （1）若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； （2）若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $