2026年浙江省杭州市中考数学复习微专题：菱形的问题

2026年浙江省杭州中考复习微专题：菱形的问题 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，若△CED沿直线CE折叠，点D恰好落在对角线AC上的点F处，连结BF．若，则（　　） A．k2 B． C． D． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥CD交CD于点E，连接OE，若AB＝5，OE＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A．30 B．.24 C．15 D．.12 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是 　 　 ． 5.如图，在菱形ABCD中，∠A为锐角，点E，F分别在边AD，BC上，且满足AD＝3AE，BC＝3BF．将菱形沿EF翻折，使点A，B落在平面CDEF内的点A′，B′处．若菱形ABCD的周长和面积分别为12和6，则A′D＝ 　 ． 6.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．且cos∠EAF＝，AE＝4，则AB的长为 　 ． 7.如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，使得点E在线段CD上，若，则tan2∠BCO＝ 　　 ．（用含k的代数式表示） 8.如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　　 ． 9.如图，在菱形ABCD中，E、F 分别为线段AB、CD 上一点，将菱形ABCD沿着EF 翻折，翻折后A、D 的对应点分别为A'、D',A'D'与 CD 交于点 G. 已知 AB=5, AE=1,。若EF∥AD，= ;若∠EFD=135°，= 。 10. 如图，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，． （1）如图1，探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明； （2）如图1，若，，求菱形的面积． （3）如图2，将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，若，请直接写出与的数量关系． 11.如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 12.定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示． 如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF． （1）组合比k＝ 　　 ； （2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长； （3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考复习微专题：菱形的问题 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，若△CED沿直线CE折叠，点D恰好落在对角线AC上的点F处，连结BF．若，则（　　） A．k2 B． C． D． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥BF于M， 设菱形的边长为a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝BC＝a，OB⊥AC， ∵， ∴BF＝ka， 由折叠知CF＝CD＝a， ∴CB＝CF＝a； ∵CM⊥BF， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在△BOF中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：D． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥CD交CD于点E，连接OE，若AB＝5，OE＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A．30 B．.24 C．15 D．.12 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，AC＝2OA， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴OEBD， ∴OE＝OB＝3， ∴BD＝6， ∵AB＝5，OB＝3，∠AOB＝90°， ∴AO4， ∴AC＝2OA＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×8＝24． 故选：B． 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为： AC•BD16×12＝96． 故选：C． 4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是 　1　 ． 【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP+∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PECE， 由旋转的性质得：AE＝AB，∠EAG＝∠BAD＝60°， 设PE＝x，则CE＝2x，PCx， ∴DC＝1x， ∴OC（1x）， ∵AC＝CE+AE＝2x+1x， ∵AC＝2OC， ∴2x+1x（1x）， 解得x＝1， ∴DC＝1． ∴菱形的边长是1； 方法2：连接DF， 由题可知旋转角度为∠BAC＝30°， ∴AF＝AC，AE＝AB＝AD， ∴DF＝EC， ∵∠AFE＝∠ACD，∠FPD＝∠CPE， ∴△FDP≌△CEP（AAS）， ∴DP＝PE＝1， ∴DC＝1． ∴菱形的边长是1； 故答案为：1． 5.如图，在菱形ABCD中，∠A为锐角，点E，F分别在边AD，BC上，且满足AD＝3AE，BC＝3BF．将菱形沿EF翻折，使点A，B落在平面CDEF内的点A′，B′处．若菱形ABCD的周长和面积分别为12和6，则A′D＝ 　　 ． 【解答】解：连接AA'，BB'，过点D作DH⊥AB于点H，交A'B'于点G，交EF于点I， ∵菱形ABCD的周长和面积分别为12和6， ∴AD＝AB＝3，AB×DH＝6， ∴DH＝2， ∴， ∵菱形ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AD＝3AE，BC＝3BF， ∴AE＝BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF∥AB，EF＝AB， ∵折叠， ∴四边形A'B'FE是平行四边形， ∴EF∥A'B'，EF＝A'B'， ∴AB∥A'B'，AB＝A'B'， ∴四边形AA'B′B是平行四边形， ∵折叠， ∴EF⊥AA'， ∴AB⊥AA'， ∴四边形AA'B'B是矩形， ∴∠A'AH＝∠AA'G＝90°， ∵DH⊥AB， ∴∠A'AH＝∠AA'G＝∠GHA＝90°， ∴四边形AA'GH为矩形， ∴A'G＝AH， ∵EF∥AB， ∴， ∴， ∵折叠，DH⊥AB， ∴， ∴， ∵DH⊥AB，AB∥A'B'， ∴DG⊥A'B'， ∴A'D， 故答案为：． 6.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．且cos∠EAF＝，AE＝4，则AB的长为 　　 ． 【解答】解：延长AF，BC相交于点M，过点E作EN⊥AF于点N，如图所示： ∵点E是BC的中点， ∴设BE＝CE＝a，则BC＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AD∥BC，∠B＝∠D， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF＝a， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF＝4， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠M，∠D＝∠MCF， 在△ADF和△MCF中， ， ∴△ADF≌△MCF（AAS）， ∴AF＝MF＝4，AD＝CM＝2a， ∴EM＝CE+CM＝3a， 在Rt△AEN中，cos∠EAF＝＝， ∴AN＝AE＝＝3， ∴FN＝AF﹣AN＝4﹣3＝1， 由勾股定理得：EN＝＝＝， 在Rt△MEN中，MN＝MF+FN＝5， 由勾股定理得：EM＝＝＝， ∴， ∴a＝， ∴AB＝2a＝． 故答案为：． 7.如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，使得点E在线段CD上，若，则tan2∠BCO＝ 　　 ．（用含k的代数式表示） 【解答】解：连接BE，设CE＝m， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴BC＝DC，AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DCO＝∠BCO，∠COD＝90°， ∵将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，点E在线段CD上， ∴OE＝OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OBE，∠OED＝∠ODE， ∴∠BED＝∠OEB+∠OED＝∠OBE+∠ODE， ∵∠OEB+∠OED+∠OBE+∠ODE＝2∠BED＝180°， ∴∠BED＝90°， ∵∠COD＝∠BED，∠CDO＝∠BDE， ∴△COD∽△BED， ∴∠DCO＝∠DBE， ∴∠BCO＝∠DBE， ∵＝k，且CE≠0，DE≠0， ∴DE＝mk，且m≠0，k≠0， ∴DE2＝m2k2，BC＝DC＝mk+m， ∵∠BEC＝90°， ∴BE2＝BC2﹣CE2＝（mk+m）2﹣m2＝m2k2+2m2k， ∴tan2∠BCO＝tan2∠DBE＝＝＝＝， 故答案为：． 8.如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　　 ． 【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D， ∵DE：CE＝5：2， ∴可以假设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k， ∴∠ECK＝∠K， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECK＝∠K， 由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB， ∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°， ∴∠CEK＝∠EFK， ∵∠K＝∠K， ∴△KEC∽△KFE， ∴， ∴， ∴KF＝5k，KCk， ∵EJ⊥CK，EC＝EK， ∴CJ＝KJk， ∵∠B＝∠K， ∴cosB＝cosK． 故答案为：． 9.如图，在菱形ABCD中，E、F 分别为线段AB、CD 上一点，将菱形ABCD沿着EF 翻折，翻折后A、D 的对应点分别为A'、D',A'D'与 CD 交于点 G. 已知 AB=5, AE=1,。若EF∥AD，= ;若∠EFD=135°，= 。 10. 如图，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，． （1）如图1，探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明； （2）如图1，若，，求菱形的面积． （3）如图2，将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）线段与的位置关系是，证明见解析；（2）菱形面积为4；（3）． 【解析】 【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证△DHP和△PGF全等，那么 HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是△CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP⊥PG； （2）由，得到是等腰直角三角形，则，得到菱形为正方形，即可求出面积； （3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是△CHG是个等腰三角形，关键是证△CDH和△CBG全等，已知条件只有CD=CB，我们可通过其他的全等三角形来得出△CDH和△CBG全等的条件．△DHP和△FGP中，有一组对顶角，DP=PF，HP=PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根据平行线间的内错角相等可得出，∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得出△CDH和△CBG全等，进一步即可证得结论． 【详解】解：（1）线段与的位置关系是， 理由如下：如图1，延长交于点， 是线段的中点， ， 由题意可知， ， ， ，= GB， 四边形是菱形， ， ， 是等腰三角形， （三线合一）； （2）， 是等腰直角三角形， ∴∠HCG=90°， ∵DC∥AE， ， 菱形为正方形， 菱形面积为：． （3） 如图2，延长到，使，连接，，， 是线段的中点， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，，点、、又在一条直线上， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，， ， 即， ，， ，， ． 即． 11.如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线， ∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CDP＝∠F， 在△DCP与△BCP中， ， ∴△DCP≌△BCP（SAS）， ∴∠CDP＝∠CBP， ∴∠CBP＝∠F， 又∵∠BPE＝∠FPB， ∴△BPE∽△FPB， ∴， ∴PB2＝PE•PF； （2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB， ∴， ∵AD＝6，PB＝2PE， ∴， ∴BF＝2BE， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△ADF， ∴， ∴， ∴AF＝2AD， ∵AB＝AD＝6， ∴AF＝2AD＝12， ∴BF＝AF﹣AB＝6． 12.定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示． 如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF． （1）组合比k＝ 　　 ； （2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长； （3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°． 【解答】（1）解：∵BD：EF， ∴k， 故答案为：； （2）解：如图，连接AC，BD，交于点O， ∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO， ∴BE＝DF＝2， ∵BD：EF， ∴EF＝3BD， ∵EF＝BE+DF+BD， ∴BE＝BD＝DF＝2， ∴B0＝DO＝1， ∴AO2， ∴AC＝4； （3）证明：如图，连接AC，BD，交于点O， ∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，∠BAD＝2∠BAC，∠AEC＝2∠AED， ∵BD：EF， ∴EF＝3BD， ∴EO＝3BO， ∵∠BAD＝∠AEC， ∴∠BAC＝∠AED， 又∵∠AOB＝∠AOE＝90°， ∴△AOB∽△EOA， ∴， ∴AOBO， ∴tan∠BAO， ∴∠BAO＝30°， ∴∠AEB＝30°． 学科网（北京）股份有限公司 $