第01讲 一次方程（组）及其应用（5命题点+16题型+3突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”核心考点，涵盖概念、解法、应用等中考必备内容，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析等模块系统梳理知识，设计“考点梳理-典例精析-分层训练”教学流程，助力学生突破含参问题等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融入数学思维与模型意识，如通过“新定义运算”培养抽象能力，“真实事件应用”强化应用意识，设置三级分层练习与真题限时训练，确保高效突破考点，既提升学生解题能力，又为教师提供精准复习节奏把控依据。

第二章 方程与不等式 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 一元一次方程的相关概念 题型01方程的概念与解 题型02等式的性质 命题点二 解一元一次方程 题型01一元一次方程的解法 题型02已知一元一次方程的解求参数 题型03一元一次方程解的关系 命题点三 二元一次方程（组）相关概念 题型01二元一次方程（组）的概念 题型02二元一次方程（组）的解 题型03已知二元一次方程组的解求参数 命题点四 解二元一次方程组 题型01解二元一次方程组 题型02二元一次方程组的特殊解法 题型03已知二元一次方程组解的情况求参数 题型04方程组相同解问题 命题点五 一次方程（组）及其应用 题型01列一次方程（组） 题型02一元一次方程的应用 题型03二元一次方程组的应用 题型04以真实事件为背景考查的二元一次方程组应用 05·重难突破·思维进阶难 73 突破一 一次方程（组）的含参问题 突破二一次方程（组）综合应用 突破三一次方程（组）的新定义问题 06·优题精选·练能提分 88 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 深圳卷 T9 广州卷T6 掌握一元一次方程的概念、解法；学会一元一次方程的含参问题的解决； 二元一次方程组 广东卷 T5 深圳卷T7 掌握二元一次方程组的概念、解法；学会解决复杂的二元一次方程组； 一次方程（组）的应用 深圳卷 T10 掌握一次方程（组）的实际应用题； 命题预测 一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能. 中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景. 针对2026年广东地区的中考数学来说，一次方程（组）仍以基础题考查为主，难度不大，要注意新情境问题的考查，结合实际情况来理解； 考点一 一元一次方程的相关概念 知识点一、一元一次方程的相关概念 【概念】只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 【方程的解】能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 【解方程】求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 2．（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程． 先将代入求出关于k的一元二次方程，再因式分解法求解即可． 【详解】∵是关于x的方程的根， ∴， 即， 解得， 故答案为：0或1． 3．（2024·广东佛山·一模）已知方程■中被方块“■”盖住的是一个常数、若此方程的解为．这个常数应该是（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设这个常数为a，把代入方程得出，再求出a即可． 【详解】解：设这个常数为a， 将代入，得：， 解得， 故选：D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）若，则下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 【详解】解：∵， ∴，，故①②③正确， 由无法得出故④无法判断， 故选：C 5．（2024·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 考点二 解一元一次方程 知识点一、解一元一次方程步骤 【基本思路】通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 6．（2024·广东广州·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得：． 7．（2024·广东广州·一模）解一元一次方程： 【答案】 【分析】去括号、移项并合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 即方程的解为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤并正确解答是关键． 8．（2025·广东·一模）现规定一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的运算以及解一元一次方程，利用题中的新定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ 解得，， 故答案为：． 9．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查对新定义运算的理解和应用，解一元一次方程，解一元一次不等式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法是正确解答的关键．分两种情况，即和分别解答即可． 【详解】解∶当时， 即时，有， 解得 (不合题意，舍去)， 当时，即时，有， 解得． 故答案为∶ 10．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 考点三 二元一次方程（组）相关概念 知识点一、二元一次方程 【概念】含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 11．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 12．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵的一个解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 以及解二元一次方程组，以及代数式求值， 先根据二元一次方程组的解得出新的二元一次方程组， 再根据加减消元法求出a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】解：依题意得方程组， ①②得， ∴， 把代入①得； 则． 14．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．（2024·广东·模拟预测）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法的应用），解题的关键是由第一个方程用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入第二个方程消元求解． 先从第一个方程变形得到，将其代入第二个方程中，把二元一次方程转化为一元一次方程，求解出的值，再将的值代入求出的值，进而得到方程组的解． 【详解】解：由，得． 将代入，得． 化简得，即． 把代入，得． 所以方程组的解为． 考点四 解二元一次方程组 知识点一、代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 知识点二、加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 16．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法，解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入①，得：，解得； ∴方程组的解为：． 17．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由得， 解得， 将代入②得：， 解得， 方程组的解为． 18．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解． 先通过代入消元法解已知方程组，得到、的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：， 由得代入，得， 解得． 把代入，得． 代入方程，得，解得． 19．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组． （1）用加减消元法，求出，将代入①求出； （2），代入中，得到，按照解一元一次方程的方法求出． 【详解】（1）， 得：③， 得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解是：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到； 第3步，解得； 第4步，即可求出方程组的解． 故答案为：；． 20．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点五 一次方程（组）及其应用 知识点一、用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 21．（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 22．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)型风扇购进75台，则型风扇购进25台 (2)型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）设型风扇购进台，则型风扇购进台，列出方程，即可求解． （2）设总利润为元，列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设型风扇购进台，则型风扇购进台， 由题意，得， 解得， 则型风扇购进台． 答：型风扇购进75台，则型风扇购进25台； （2）解：∵型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴（元）． ∴型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元． 23．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 24．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元 (2)至少买乙种快餐20份 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 25．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米 (2)购进A种树苗棵， B种树苗棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 命题点一 一元一次方程的相关概念 ►题型01 方程的概念与解 【典例1】（2024·广东佛山·一模）下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案． 【详解】解：∵不是等式， ∴A选项不是方程， ∵不是等式， ∴B选项不是方程， ∵是代数式，没有等号， ∴C选项不是方程， ∵符合方程的定义， ∴是方程， 故选：D． 【典例2】（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 【变式1】（2024·广东中山·一模）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键． 根据两个方程的特点，第二个方程中的相当于第一个方程中的x，据此即可求解． 【详解】∵， ∴． ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解为：， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，然后代入方程，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 把代入方程，则 ， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 【变式3】（2024·广东河源·一模）下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，左边右边， 选项符合题意； B、∵将代入原方程，左边右边， B选项不符合题意； C、不是不等式的解， 选项不符合题意； D、不是不等式组的解， 选项不符合题意． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键． ►题型02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 即：如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 解题方法：灵活运用等式的性质. 【典例1】（2024·广东云浮·一模）下列等式变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意； B．∵，，∴，故本选项符合题意； C．∵，∴，故本选项不符合题意； D．∵，∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质：等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．掌握不等式的性质是解题的关键． 【典例2】（2024·广东江门·三模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质解方程即可求解． 【详解】解： 系数化为，两边同时除以得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘（或除）相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘方（或开方）,两边依然相等． 【变式2】（2024·广东深圳·一模）有下列等式：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；⑤由，得其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由a＝b，得5−2a＝5−2b，正确； ②由a＝b，得ac＝bc，正确； ③由a＝b（c≠0），得，不正确； ④由，得3a＝2b，正确； ⑤由，得a＝b或a＝−b，不正确， ∴其中正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键． 【变式3】（2024·广东中山·一模）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A不符合题意； B、由于，若，则成立，故B符合题意； C、若，当时，不成立，故C不符合题意； D、若，则，故D符合题意； 故选：BD． 命题点二 解一元一次方程 ►题型01 一元一次方程的解法 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【典例1】（2024·广东·一模）解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， ∴原方程的解为：． 【典例2】（2024·广东东莞·一模）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先找分母的最简公分母，将方程两边同时乘以最简公分母约去分母，然后去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项及合并同类项，得： 系数化为1，得： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项及合并同类项得： 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 【变式1】（2024·广东广州·一模）解一元一次方程：． 【答案】x＝﹣4 【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以6得：3x﹣2（2x﹣1）＝6， 去括号得：3x﹣4x+2＝6， 移项得：3x﹣4x＝6﹣2， 合并同类项得：﹣x＝4， 系数化为1得：x＝﹣4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2024·广东广州·一模）解方程： 【答案】 【分析】方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】原方程可化为： ∴ ∴ ∴ 故原方程的解为： 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 【变式3】（2024·广东深圳·一模）解方程：（1）；（2）. 【答案】（1）x＝（2）x＝6 【分析】（1）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案； （2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）去分母得：2（2x+1）﹣（2x﹣1）＝6， 去括号得：4x+2﹣2x+1＝6， 移项得：4x﹣2x＝6﹣2﹣1， 合并同类项得：2x＝3， 系数化为1得：x＝； （2）去分母得：2x﹣（3x﹣5）＝4（5+x）， 去括号得：2x﹣3x+5＝20+4x， 移项得：2x﹣3x﹣4x＝20﹣5， 合并同类项得：﹣5x＝15， 系数化为1得：x＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． ►题型02 已知一元一次方程的解求参数 【典例1】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 【典例2】（2025·广东揭阳·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 【变式1】（2025·广东汕头·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将代入原方程得，根据无论为任何数时恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案． 【详解】解：将代入， ， ， 由题意可知：无论为任何数时恒成立， ， ，， ， 故答案为：． 【变式3】（2024·广东广州·一模）在课堂巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x的一元一次方程． 在公布结果时，一个同学发现自己做错了，检查时发现在去分母时，方程右边的没有乘以12，由此求的解为．请你根据上述条件求出a的值，并解出原方程的解． 【答案】 ，原方程的解为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项,系数化为1得． ►题型03 一元一次方程解的关系 【典例1】（2024·广东·一模）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出第二个方程的解，根据相反数关系得到第一个方程的解，代入第一个方程求解即可． 【详解】解：∵ 方程 的解为 ， ∴ 方程 的解为 ， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【典例2】（2024·广东云浮·一模）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，则方程可变形为，进而根据题意得到是关于的一元一次方程的解，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可变形为， ∵是关于的一元一次方程的解， ∴是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴，即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东揭阳·一模）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东汕头·一模）定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程、“美好方程”的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、正确理解“美好方程”的定义是解题的关键. （）根据“美好方程”的定义进行解答，先分别求解每个方程，再计算解的差的绝对值是否为； （）结合解的和为，则另一个解为,根据“美好方程”定义得，对绝对值方程分类讨论,即可解答； （）先代入已知解求，再化简并求解，最后根据“美好方程”定义解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得； ，与是“美好方程”； ②，解得； ，与不是“美好方程”； ③，解得； ，与是“美好方程”； 故答案为：①③； （2）解：两个一元一次方程其中一个方程的解为，这两个“美好方程”的解的和为，则另一个解为, 根据题意：(美好方程定义),即， 当时,解得， 当时，解得， 故的值为或； （3）解： ， ∵一元一次方程的解是， ∴①， 关于的一元一次方程：， 解得②， 把①代入②，得③， ∵“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解的差的绝对值为，已知是原方程的解，是其“美好方程”的解， ∴， 把③代入，得， 解得：， ∴的值为或． 命题点三 二元一次方程（组）相关概念 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 【典例2】（2025·广东广州·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得，的指数都是，从而可得关于，的值，代入式子即可求解，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·广东揭阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ， 解得：， ． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东云浮·一模）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，再解即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：， 故答案为：． ►题型02 二元一次方程（组）的解 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【典例1】下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 【典例2】（2024·广东佛山·一模）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解法和待定系数法，解题的关键是利用已知的解代入方程，建立关于系数 a 和 b 的方程组，求出 a 和 b 的值，从而确定方程的具体形式．先求出二元一次方程中a和b的值，利用表格中已知的两组解（如和）代入方程，得到关于的二元一次方程组，解出a、b后确定方程，再将代入方程求出对应的y（即m）． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，代入，得 解得， ∴. 当时，，解得，即. 故答案为：． 【变式2】（2025·广东·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解与代数式求值的结合应用，以及因式分解的能力．将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【详解】解：将代入二元一次方程，得 ． ． 故答案为：25． 【变式3】（2024·广东汕尾·一模）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 【答案】(1)①；② ， (2)摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）①根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；②先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为非负整数，即可求解； （3）设摸到x个红球，y个白球，根据，求出x，y的非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ， ②由①得方程为， ∴， 解得：， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，； （2）解：设摸到x个红球，y个白球， 根据题意得：， ， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，， 摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球． ►题型03 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（2024·广东佛山·一模）若是方程组的一个解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组；根据题意得到的方程组，将两式相加即可求出结果． 【详解】解：根据题意得： 两式相加得：， ∴， 故选：C． 【典例2】（2024·广东中山·一模）若方程组的解也是方程的解，则k的值是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案． 【详解】 解方程组得： 代入，得 ， 解得：， 故选：B． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得． (1)求的值； (2)求出原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，即是正确的，解得；小明看错常数“”，解得，即正确，解得； （2）由（1）知关于的方程组可化为，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得， ，解得； 在解方程组的过程中，小明看错常数“”，解得， ，解得； ；； （2）解：由（1）知， 由①②得，解得， 将代入①得， 原方程组的解为． 【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键． 命题点四 解二元一次方程组 ►题型01 解二元一次方程组 【加减消元法】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【代入消元法】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 【典例1】（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组． （1）用加减消元法，求出，将代入①求出； （2），代入中，得到，按照解一元一次方程的方法求出． 【详解】（1）， 得：③， 得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解是：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到； 第3步，解得； 第4步，即可求出方程组的解． 故答案为：；． 【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得：③； 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：； ∴方程组的解为：． 【变式2】（2024·广东清远·一模）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组求出，，然后代入，再解关于p的一元一次方程即可． 【详解】解： ，得， ． ，得， ． ， ， 解得． 【变式3】（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ►题型02 二元一次方程组的特殊解法 二元一次方程组的特殊解法，要学会将某些式子看做整体来计算； 【典例1】已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．先将求解方程化为原方程的形式，二元一次方程组的解的定义得到，，求出、即可． 【详解】解：方程组可化为， 关于，的方程组的解是， 方程组中，， 解得：，， 方程组的解是， 故答案为：． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2024·广东韶关·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】解：①，②， ②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1． 【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键． 【变式2】（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得 将③代入②得：，即 把代入③得， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 【答案】 【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程①代入方程②，得到，解得再将代入①得：，即可得出答案． 【详解】解：， 将①代入②得：，即， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程． ►题型03 已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例1】（2024·广东深圳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【典例2】（2024·广东东莞·一模）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【答案】D 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 【变式1】（2024·广东·一模）已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和立方根，根据方程组的解互为相反数求出，再求出的值，根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴③ 把③代入②得：， 解得， ∴， 把代入①得， 即， ∴， ∵， 即的立方根是， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东韶关·一模）若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程组 得：， 关于，的二元一次方程组的解为正数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键． 【变式3】（2024·广东梅州·一模）已知关于、的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可； （2）把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， 得，， 把代入①得，， 方程组的解为； （2）解：由已知得，方程组， 解得：， 将代入， 得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． ►题型04 方程组相同解问题 【典例1】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 【典例2】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 【变式1】（2024·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解． 【答案】(1) (2)t＝或 【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值； （2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程． 【详解】（1）由方程组的解和方程组的解相同知， ． 由①×3+②，得5x＝15．则x＝3． 将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5． ∴方程组的解为：； （2）把分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组， 解得：， 设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0， ∴（n+3）（n﹣1）＝0， ∴n＝﹣3或1， ∴at﹣b＝﹣3或1， 把代入得：9t﹣5＝﹣3或1， 解得：t＝或； 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键． 【变式2】（2024·广东肇庆·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案； （2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①+②得： 把代入①得： 所以这两个方程组的解是： （2）把代入可得： ， ③④得： 把代入③得： 所以： 【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 命题点五 一次方程（组）及其应用 ►题型01 列一次方程（组） 【典例1】（2025·广东清远·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程—行程问题，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，根据题意乙走了500米花的时间等于甲走米的时间，然后列方程即可． 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有 故选：A． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，列出正确的二元一次方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，男女生总人数为人， ∴， 又∵女生平均每人捐本，男生平均每人捐本，共捐本书， 则有：， ∴可列方程组：． 故选：A． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．进行列方程组，即可作答． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛， ∴根据题意，可列方程组为， 故选：A． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）在明朝吴敬《九章算法比类大全》中有这样一道“酒分醇醨”的问题：务中听得语吟吟，言道醇醨酒二瓶．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几多醨酒几多醇？诗的大意是：在酒肆面前听到有人轻轻地吟诵诗歌，说有好酒和薄酒装在瓶中．好酒一升醉三位客人，薄酒三升醉一位客人，三十三客人一共饮酒一斗九（一斗等于十升），问好酒、薄酒各有多少升？设好酒有升，薄酒有升，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，列出方程组得： ， 故选：D． ►题型02 一元一次方程的应用 【典例1】（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)型风扇购进75台，则型风扇购进25台 (2)型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）设型风扇购进台，则型风扇购进台，列出方程，即可求解． （2）设总利润为元，列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设型风扇购进台，则型风扇购进台， 由题意，得， 解得， 则型风扇购进台． 答：型风扇购进75台，则型风扇购进25台； （2）解：∵型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴（元）． ∴型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元． 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【答案】(1)A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； (2)完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条， 根据题意得：， 解得：， ∴（条）． 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【变式2】（2025·广东·三模）某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个元．已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元． (1)求大垃圾桶每个的进价； (2)若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克．设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值． 【答案】(1)62元 (2)；900千克 【分析】本题考查一元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和不等式以及一次函数解析式，是解题的关键： （1）根据购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元，列出方程进行求解即可； （2）根据每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克，列出函数关系式，根据社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，列出不等式，求出的范围，再根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，可列方程：， 解得． 答：大垃圾桶每个的进价为62元． （2）已知购置大垃圾桶m个，则购置小垃圾桶个． 总可装垃圾量， 购置资金不超过3000元，由（1）知小垃圾桶每个的进价为（元）， ，解得， 在中，， 随m的增大而增大， 当时，Q有最大值为． 答：Q与m的函数关系式为，在资金允许的范围内Q的最大值为900千克． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ 【答案】（任务1）A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元；（任务2）购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，一次函数择优方案选择，解题的关键是找到等量关系式． （1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购列式求解即可得到答案； （2）根据A种笔记本m本可得B种笔记本本，根据费用单价数量列函数，结合函数性质求解即可得到答案； 【详解】（任务1）解：设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据题意， 得：， 解得， ， 答：A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元； （任务2）解：准备购买A种笔记本本，则B种笔记本本，购买100本的总费用为元， ， 又， ，且m为整数， 又， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，最小值为元， 购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． ►题型03 二元一次方程组的应用 【典例1】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 【典例2】（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元． (2)，最少购买费用是元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用．熟练掌握根据实际问题列方程组以及利用一次函数的性质解决最值问题是解题的关键． （1）设型设备单价为元，型设备单价为元，根据“购进台型设备和台型设备需共用元；购进台型设备和台型设备需共用元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组，进而求解和的值． （2）已知购买型设备台，因为两种设备共买台，所以型设备买了台．根据总费用 型设备费用 型设备费用，可得到与的函数关系式．再根据型设备数量不少于型设备数量的一半这一条件，确定的取值范围，最后根据函数的性质求出最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得 解得， 答：型设备单价是元，型设备单价是元． （2）解：由购买型设备台得购买型设备台． 由型设备数量不少于型设备数量的一半，得 解得， ∵， ∴． 在中，，随的增大而增大． ∴当时，有最小值， （元） 综上，与的函数关系式为，最少购买费用是元． 【变式1】（2025·广东清远·二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高．某茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司发现运输成本降低了．销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 (1)请分别求出每次运送的英红5号，英红9号各有多少箱？ (2)换车后，代销超市追加订单，每次运送的两种茶叶总箱数共增加200箱，但增加箱数后，每次运送英红5号的运费不能超过英红9号的运费，请问最多可以增加多少箱英红5号？ 【答案】(1)每次运输中英红5号有100箱，英红9号有300箱 (2)最多可以增加140箱英红5号 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设每次运输的中英红5号有箱，英红9号有箱，由此列方程组求解即可； （2）设运送英红5号增加a箱，则英红9号增加箱，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次运输的中英红5号有箱，英红9号有箱， 根据题意得， 解得， 每次运输中英红5号有100箱，英红9号有300箱； （2）解：设运送英红5号增加a箱，则英红9号增加箱， 根据题意得： ， 解得： ， 答，最多可以增加140箱英红5号． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆 (2)有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用. （1）方法一：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列二元一次方程组计算即可； 方法二：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列方程求解即可； （2）设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆，求出，根据为整数分情况讨论即可. 【详解】（1）方法一： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． 方法二： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． （2）解：设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆． 根据题意，得： 解得：， 为整数， 的整数解为10、11、12，即：学校有3种租车的方案． ①租用A型号10辆，租用B型号10辆，租金为：（元）； ②租用A型号11辆，租用B型号9辆，租金为：（元）； ③租用A型号12辆，租用B型号8辆，租金为：（元）． ， 最少的租车费用为7040元． 答：有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元． 【变式3】（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克． (1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品3包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：选用A种食品3包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得， ∴， 设总热量为，则， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小， ∴， 答：选用A种食品3包，B种食品4包． ►题型04 以真实事件为背景考查的二元一次方程组应用 【典例1】（2024·广东·二模）2024年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元． (1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？ (2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？ 【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元 (2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大 【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解； （2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元,根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元． （2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元． 由题意可得：，解得 ∴ ． ∵， ∴w随m的增大而减小，且， ∴当时，w有最大值，此时． 答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大． 【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程组或函数关系式． 【典例2】（2024·广东清远·一模）2024年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套 (2)这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意可得方程组为，然后求解即可； （2）根据（1）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意得： ， 解得：； 答：A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套． （2）解：由题意得： （元）； 答：这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】(1)单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 (2)原计划平均每天制作20个充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． （2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 【变式2】（2024·广东深圳·一模）“滨滨”和“妮妮”是年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/个 销售额/元 滨滨 妮妮 月 月 (1)求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价； (2)为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的倍，若总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？ 【答案】(1)该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元 (2)最多可以购买个“滨滨”手办 【分析】（）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （）设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，根据题意列出一元一次不等式即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元， 由题意得，， 解得， 答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元； （2）解：设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办， 由题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：最多可以购买个“滨滨”手办． 【变式3】（2024·广东·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 【答案】(1)跳绳的单价为元根，足球的单价为元个 (2)在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）由总价单价数量，找出关于的函数关系式． （1）设跳绳的单价为元个，足球的单价为元条，根据“按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，根据总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由跳绳的数量不超过足球数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最值比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元根，足球的单价为元个，依题意，得： ， 解得：． 答：跳绳的单价为元根，足球的单价为元个． （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个， ∵跳绳的数量不超过足球数量的一半， ∴ ∴ 设总费用为元，依题意，得：． ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元）， ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元） ∵， ∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元． 突破一 一次方程（组）含参问题 【典例1】（2024·广东佛山·一模）若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】将a当做已知，解原方程组后，根据同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此题结果了． 【详解】解： 解方程组得： x，y是二元一次方程的解， 即 解得 故选：D 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键． 【典例2】（2024·广东揭阳·模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值． 【详解】解：， 由，可得：， ∵，为整数， ∴当为时，为整数， ∴把的值代入，可得：，，，，，，，， ∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，， ∴方程组的整数解为，，，， 把方程组的整数解代入，可得：，，，． 故选：B 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y． 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m、n的关系是解题的关键． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围． 【详解】解： 由可得：， 所以： 把③代入②得：， 解得：， 代入可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东清远·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值，的最小值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【详解】（1）解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； （2）解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； （3）解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 突破二 一次方程（组）综合应用 【典例1】（2024·广东中山·一模）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解； （1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解； （2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． （2）解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【典例2】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 售价（元件） (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元 (2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元 【分析】设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据，两种组合的进价，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过件，列出关于的一元一次不等式，解之得出的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件组合的销售利润准备数量每件组合的销售利润准备数量，列出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元； （2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合， 根据题意得：， 解得：， 设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 (2)，，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． (2)该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，然后根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“利用总利润=每辆车的销售利润×购进数量”可得，然后再根据“购进B型车的数量不少于A型车的2倍”列出不等式求得a的取值范围，然后再根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元． 依题意，得：，解得：． 答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝20时，． 答：该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组以及列出w关于a的函数关系式是解答本题的关键． 【变式3】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元 (2)正整数m的最大值为22 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可； （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可． 【详解】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 根据题意，得． 解这个不等式，得． 设获得的利润为w元， 根据题意，得 ． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w的最大值为． 根据题意，得． 解这个不等式，得． ∴正整数m的最大值为22． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 突破三 一次方程（组）的新定义问题 【典例1】（2024·广东·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ． 【答案】 是 / 67 【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断； （2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是，展开化简即得答案； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为，根据两个“H希尔伯特”数的差是48构建关于m、n的方程，求方程的正整数解即可得. 【详解】解：（1）由于数1能表示成的形式， ∴1是“希尔伯特”数； 故答案为：是； （2）①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），则另一个奇数是， ∴这个“H希尔伯特”数是； 故答案为：； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为且m、n是正整数， 根据题意可得， ∴，即， ∵m、n是正整数， ∴满足题意的正整数m、n是； 则这两个“H希尔伯特”数中较大的是； 故答案为67. 【点睛】本题是阅读理解题型，正确理解题意、弄清“希尔伯特”数与“H希尔伯特”数的定义是解题的关键. 【典例2】（2025·广东中山·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程、数的整除，采用分类讨论的思想是解此题的关键．由题意可得，结合得出，，表示出，结合题意可得能被23整除，由，得出或或，再分情况计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ， ，，，，且，，，均为整数， ， 为的倍数， ，， ，， ， ， 能被23整除， 能被23整除， ， 或或， 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，解得或， 当时，此时，，对应的， 当时，此时，，对应的， 满足条件的所有的和为， 故答案为：；． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 【变式2】（2024·广东深圳·一模）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若,则称与是关于2的关联数; （1）若3与是关于5的关联数,求的值 （2）若与是关于4的关联数，求的值． （3）若与是关于的关联数, ，的值与无关，求的值． 【答案】（1）-2；（2）0；（3） 【分析】（1）根据题中的新定义确定出a的值即可； （2）根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （3）根据题中的新定义列出关系式，把M代入表示出N，根据N的值与m无关，确定出n的值，进而求出N． 【详解】解：（1）∵3与是关于5的关联数 ∴ ∴； （2）∵与是关于4的关联数 ∴2x-1-（3x-5）=4， 解得：x=0 ； （3）∵与是关于的关联数 ∴M-N=m                        ∴N=M-m     ∵ ∴    ∵的值与无关 ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，整式的加减混合运算，以及新定义的运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】（2024·广东韶关·一模）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”． 将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，解答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________； ②计算：________；________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） （2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； （3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”e的十位数字是，个位数字是3，且满足，请直接写出满足条件的所有x的值________； （4）如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围________． 【答案】（1）①21；②9，m+n；（2）b=25，c=49；（3）3或4；（4）10＜t≤12 【分析】（1）①由“互异数”的定义可得； ②根据定义计算可得； （2）由W（b）=7，W（c）=13，列出二元一次方程组，即可求x和y； （3）根据题意W（d）+W（e）＜25可列出不等式，即可求x的值； （4）根据“互异数”f的十位数字是x+4，个位数字是x，分类讨论f，根据满足W（f）＜t的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围． 【详解】解：（1）①∵如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且m≠n、m≠0、n≠0，那么这个两位数叫做“互异数”， ∴“互异数”为21， 故答案为：21； ②W（36）=（36+63）÷11=9，W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n； 故答案为：9，m+n； （2）∵W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n，且W（b）=7， ∴x+y=7①， ∵W（c）=13， ∴x+2+2y-1=13②， 联立①②解得， 故b=10×2+5=25， c=10×（2+2）+2×5-1=49； （3）∵W（d）+W（e）＜25， ∴x+x+3+（x-2+3）＜25， 解得x＜7， ∵x-2＞0，x+3＜9， ∴2＜x＜6， ∴2＜x＜6，且x为正整数， ∴x=3，4，5， 当x=5时e为33不是互异数，舍去， 故答案为：3或4； （4）当x=0时，x+4=4，此时f为40不是互异数； 当x=1时，x+4=5，此时f为51是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=6； 当x=2时，x+4=6，此时f为62是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=8； 当x=3时，x+4=7，此时f为73是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=10； 当x=4时，x+4=8，此时f为84是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=12； ∵满足W（f）＜t的互异数有且仅有3个， ∴10＜t≤12， 故答案为：10＜t≤12． 【点睛】本题以新定义为背景考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程和不等式． 1．（2024·广东·二模）某品牌商品，按标价的九折出售，仍可获得的利润．若该商品标价为120元，那么商品的进价为（     ） A．100元 B．110元 C．90元 D．80元 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决利润问题，解题的关键是找准等量关系． 设商品的进价为元，根据利润列出方程求解即可． 【详解】解：设商品的进价为元，根据题意得， ， 解得， 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．方程左右两边同乘以，即可求出解． 【详解】解：方程， 系数化为1得：． 故选：B． 3．（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得： ， 故选：A． 4．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 5．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是． 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 7．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键． 两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式即可． 【详解】解：， ①+②得： 解得： ， ． 得：， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是关键； 原方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 把②代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 9．（2025·广东清远·一模）2024年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元 (2)最多可以购买133件“冰墩墩” 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用： （1）设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元，根据欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元，列出方程组进行求解即可； （2）设可以购买件“冰墩墩”，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元， 由题意，得：，解得：； 答：“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元； （2）设可以购买件“冰墩墩”，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为：133； 答：最多可以购买133件“冰墩墩”． 10．（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 1．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 2．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， 解得，． 故答案为：． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本元，文学类图书每本元 (2)科技类图书最多能买本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元，列出二元一次方程组，即可解答． （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据学校用于购买奖品的资金不超过元，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，依题意得 ， 解得 ， 答：科技类图书每本元，文学类图书每本元. （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，依题意得，， 整理得， ， 解得 ． 所以满足条件的最大整数为． 答：科技类图书最多能买本． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 (2)，，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可． 【详解】（1）由题意得， 解得，； （2）由题意得， 解得． ∵要使恰有2个整数解， ∴， 解得． 【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 3．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 4．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 5．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 6．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 8．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 9．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 10．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 11．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 13．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 14．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 15．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 16．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 17．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 18．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 19．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 20．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 (2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． （2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 21．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 一元一次方程的相关概念 题型01方程的概念与解 题型02等式的性质 命题点二 解一元一次方程 题型01一元一次方程的解法 题型02已知一元一次方程的解求参数 题型03一元一次方程解的关系 命题点三 二元一次方程（组）相关概念 题型01二元一次方程（组）的概念 题型02二元一次方程（组）的解 题型03已知二元一次方程组的解求参数 命题点四 解二元一次方程组 题型01解二元一次方程组 题型02二元一次方程组的特殊解法 题型03已知二元一次方程组解的情况求参数 题型04方程组相同解问题 命题点五 一次方程（组）及其应用 题型01列一次方程（组） 题型02一元一次方程的应用 题型03二元一次方程组的应用 题型04以真实事件为背景考查的二元一次方程组应用 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 一次方程（组）的含参问题 突破二一次方程（组）综合应用 突破三一次方程（组）的新定义问题 06·优题精选·练能提分 30 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 深圳卷 T9 广州卷T6 掌握一元一次方程的概念、解法；学会一元一次方程的含参问题的解决； 二元一次方程组 广东卷 T5 深圳卷T7 掌握二元一次方程组的概念、解法；学会解决复杂的二元一次方程组； 一次方程（组）的应用 深圳卷 T10 掌握一次方程（组）的实际应用题； 命题预测 一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能. 中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景. 针对2026年广东地区的中考数学来说，一次方程（组）仍以基础题考查为主，难度不大，要注意新情境问题的考查，结合实际情况来理解； 考点一 一元一次方程的相关概念 知识点一、一元一次方程的相关概念 【概念】只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 【方程的解】能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 【解方程】求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 2．（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ． 3．（2024·广东佛山·一模）已知方程■中被方块“■”盖住的是一个常数、若此方程的解为．这个常数应该是（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025·广东广州·模拟预测）若，则下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 考点二 解一元一次方程 知识点一、解一元一次方程步骤 【基本思路】通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 6．（2024·广东广州·一模）解方程：． 7．（2024·广东广州·一模）解一元一次方程： 8．（2025·广东·一模）现规定一种新运算：，若，则 ． 9．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 10．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 考点三 二元一次方程（组）相关概念 知识点一、二元一次方程 【概念】含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 11．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 12．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 13．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 14．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 15．（2024·广东·模拟预测）解二元一次方程组：． 考点四 解二元一次方程组 知识点一、代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 知识点二、加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 16．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 17．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 18．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 19．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 20．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 考点五 一次方程（组）及其应用 知识点一、用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 21．（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 22．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 23．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 24．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 25．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 命题点一 一元一次方程的相关概念 ►题型01 方程的概念与解 【典例1】（2024·广东佛山·一模）下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【变式1】（2024·广东中山·一模）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是 ． 【变式2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3】（2024·广东河源·一模）下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． ►题型02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 即：如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 解题方法：灵活运用等式的性质. 【典例1】（2024·广东云浮·一模）下列等式变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（2024·广东江门·三模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东深圳·一模）有下列等式：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；⑤由，得其中正确的是 ．（填序号） 【变式3】（2024·广东中山·一模）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点二 解一元一次方程 ►题型01 一元一次方程的解法 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【典例1】（2024·广东·一模）解方程： ． 【典例2】（2024·广东东莞·一模）解方程： (1) (2) 【变式1】（2024·广东广州·一模）解一元一次方程：． 【变式2】（2024·广东广州·一模）解方程： 【变式3】（2024·广东深圳·一模）解方程：（1）；（2）. ►题型02 已知一元一次方程的解求参数 【典例1】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【典例2】（2025·广东揭阳·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【变式1】（2025·广东汕头·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【变式2】（2024·广东佛山·一模）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【变式3】（2024·广东广州·一模）在课堂巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x的一元一次方程． 在公布结果时，一个同学发现自己做错了，检查时发现在去分母时，方程右边的没有乘以12，由此求的解为．请你根据上述条件求出a的值，并解出原方程的解． ►题型03 一元一次方程解的关系 【典例1】（2024·广东·一模）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【典例2】（2024·广东云浮·一模）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式2】（2024·广东揭阳·一模）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【变式3】（2024·广东汕头·一模）定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 命题点三 二元一次方程（组）相关概念 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东广州·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式2】（2025·广东揭阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【变式3】（2024·广东云浮·一模）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． ►题型02 二元一次方程（组）的解 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【典例1】下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东佛山·一模）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 【变式2】（2025·广东·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【变式3】（2024·广东汕尾·一模）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． ►题型03 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（2024·广东佛山·一模）若是方程组的一个解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【典例2】（2024·广东中山·一模）若方程组的解也是方程的解，则k的值是（    ） A． B．10 C． D． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【变式3】（2024·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得． (1)求的值； (2)求出原方程组正确的解． 命题点四 解二元一次方程组 ►题型01 解二元一次方程组 【加减消元法】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【代入消元法】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 【典例1】（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【变式2】（2024·广东清远·一模）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【变式3】（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． ►题型02 二元一次方程组的特殊解法 二元一次方程组的特殊解法，要学会将某些式子看做整体来计算； 【典例1】已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【变式1】（2024·广东韶关·一模）已知，，则的值为 ． 【变式2】（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得 将③代入②得：，即 把代入③得， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． ►题型03 已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例1】（2024·广东深圳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2024·广东东莞·一模）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【变式1】（2024·广东·一模）已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ． 【变式2】（2024·广东韶关·一模）若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【变式3】（2024·广东梅州·一模）已知关于、的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则______． ►题型04 方程组相同解问题 【典例1】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【典例2】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【变式1】（2024·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解． 【变式2】（2024·广东肇庆·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 命题点五 一次方程（组）及其应用 ►题型01 列一次方程（组） 【典例1】（2025·广东清远·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）在明朝吴敬《九章算法比类大全》中有这样一道“酒分醇醨”的问题：务中听得语吟吟，言道醇醨酒二瓶．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几多醨酒几多醇？诗的大意是：在酒肆面前听到有人轻轻地吟诵诗歌，说有好酒和薄酒装在瓶中．好酒一升醉三位客人，薄酒三升醉一位客人，三十三客人一共饮酒一斗九（一斗等于十升），问好酒、薄酒各有多少升？设好酒有升，薄酒有升，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． ►题型02 一元一次方程的应用 【典例1】（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【典例2】（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【变式2】（2025·广东·三模）某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个元．已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元． (1)求大垃圾桶每个的进价； (2)若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克．设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ ►题型03 二元一次方程组的应用 【典例1】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【典例2】（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【变式1】（2025·广东清远·二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高．某茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司发现运输成本降低了．销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 (1)请分别求出每次运送的英红5号，英红9号各有多少箱？ (2)换车后，代销超市追加订单，每次运送的两种茶叶总箱数共增加200箱，但增加箱数后，每次运送英红5号的运费不能超过英红9号的运费，请问最多可以增加多少箱英红5号？ 【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 【变式3】（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克． (1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？ ►题型04 以真实事件为背景考查的二元一次方程组应用 【典例1】（2024·广东·二模）2024年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元． (1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？ (2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？ 【典例2】（2024·广东清远·一模）2024年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 【变式1】（2024·广东佛山·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【变式2】（2024·广东深圳·一模）“滨滨”和“妮妮”是年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/个 销售额/元 滨滨 妮妮 月 月 (1)求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价； (2)为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的倍，若总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？ 【变式3】（2024·广东·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 突破一 一次方程（组）含参问题 【典例1】（2024·广东佛山·一模）若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 【典例2】（2024·广东揭阳·模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则的值是 ． 【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式3】（2025·广东清远·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 突破二 一次方程（组）综合应用 【典例1】（2024·广东中山·一模）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【典例2】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 售价（元件） (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【变式2】（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 【变式3】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 突破三 一次方程（组）的新定义问题 【典例1】（2024·广东·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ． 【典例2】（2025·广东中山·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【变式2】（2024·广东深圳·一模）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若,则称与是关于2的关联数; （1）若3与是关于5的关联数,求的值 （2）若与是关于4的关联数，求的值． （3）若与是关于的关联数, ，的值与无关，求的值． 【变式3】（2024·广东韶关·一模）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”． 将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，解答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________； ②计算：________；________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） （2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； （3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”e的十位数字是，个位数字是3，且满足，请直接写出满足条件的所有x的值________； （4）如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围________． 1．（2024·广东·二模）某品牌商品，按标价的九折出售，仍可获得的利润．若该商品标价为120元，那么商品的进价为（     ） A．100元 B．110元 C．90元 D．80元 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ． 6．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 7．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 8．（2025·广东广州·二模）解方程组：． 9．（2025·广东清远·一模）2024年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 10．（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 1．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 2．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 4．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 3．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 4．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 6．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 8．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 9．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 10．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 11．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 13．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 14．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 15．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 16．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 17．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 18．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 19．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 20．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 21．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $