精品解析：黑龙江省大兴安岭地区松岭区两校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方和同底数幂除法．根据各自的运算规则一一计算即可得出答案. 【详解】解：∵选项A∶，正确； ∵选项B∶，错误； ∵选项C∶，错误； ∵ 选项D∶， 错误； 故选A． 2. 下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】某个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，以上图形中，B是轴对称图形， 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，因式分解是将多项式化为整式的积的形式，且分解需彻底．选项A和B中含有分式，不是整式；选项C是整式乘法，不是因式分解；选项D符合因式分解的定义． 【详解】解：∵因式分解要求等式左边是多项式，右边是整式的乘积． A：，不是整式，∴不属于因式分解，不符合题意． B：，不是整式，∴不属于因式分解，不符合题意． C：，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意． D：，左边是多项式，右边是整式的乘积，且符合平方差公式，∴属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4. 下列各分式中，是最简分式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式． 通过因式分解和约分检查每个选项，选项A、B、D均可约分，选项C无公因式． 【详解】解：．，可约分，不是最简分式，不符合题意； B． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； C．，分子和分母无公因式，是最简分式，符合题意； D． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 5. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,去检验数据进行求解. 【详解】A选项中,因为1+1=2,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, B选项中,因为1+2>2,满足三角形三边关系,因此能构成三角形, C选项中,因为 2+2<5,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, D选项中,因为2+3=5,不能满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, 故选B. 【点睛】本题主要考查三角形三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系. 6. 若是完全平方式，则m的值为（  ） A. B. 5 C. D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 根据完全平方式的定义，将表达式与展开式比较系数，建立方程求解m即可． 【详解】解：设完全平方式为． ∵ 给定多项式为， ∴． 由， 得； 由， 得． 则． 又∵， ∴或， 解得 或 ． ∴ m的值为或5， 故选：D． 7. 将分式中的a、b的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大9倍 C. 缩小3倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a和b分别替换为同时扩大3倍后和，然后化简求出扩大后的分式，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：∵原分式为 ，将a和b同时扩大3倍， ∴新分式为 ， = ， 与原分式相等，值不变， 故选：D． 8. 若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8． 【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°， ∵∠BED+∠DEA=180°， ∴∠BED=90°． 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE． ∴BC=3ED=24． ∴DE=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键． 10. 如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 点是三角形的角平分线的交点， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ，，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ， 若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确； 如图，延长至点使得，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，，， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，已知A，D，B，E在同一条直线上，且，，补充下列其中一个条件后，能得到的是_____． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查添加一个条件判定全等三角形，根据条件得，结合，若证明全等即可添加夹角相等或者第三边相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 若， ∵， ∴； 若或， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13. 若分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，因此解分子方程并验证分母不为0即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子， 解得：， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴分式的值为0时，． 故答案为：． 14. 点与点关于y轴对称，则值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查关于y轴对称的性质和求代数式的值，根据关于 y 轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵点与点 关于 y 轴对称， ∴且． 解方程 得； 解方程 得 ． ∴， 故答案为：4． 15. 已知，，则_____． 【答案】108 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用．利用指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 故答案为 108． 16. 如果，那么满足条件的所有整数的值为______． 【答案】1，或2 【解析】 【分析】本题主要考查了0指数幂的性质，全面分类是解题的关键； 根据任何非0数的0次幂等于1；1的任何次幂都是1；的偶数次幂等于1这三种情况分类求解即可． 【详解】解：当且时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 当且为偶数时，解得，符合题意； 综上，满足条件的所有整数的值为1，或2； 故答案为：1，或2． 17. 如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE，求出∠DCE+∠CDE=90°，延长DE交CB的延长线于点F,求出△CDF是等腰三角形；求出DE=FE，根据全等三角形的判定得出△BEF≌△AED，得到AD=BF,故FC=AD+BC=CD，再根据等腰梯形的面积公式即可求解AB的长. 【详解】∵∠A = ∠B = 90° ∴AD∥BC,∠ADC+∠BCD=180∘ ∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD， ∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE ∴∠DCE+∠CDE=90∘ ∴DE⊥EC， 延长DE交CB的延长线于点F, ∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线， ∴∠CDF=∠ADE=∠DFC， ∴CD=CF， ∴△CDF是等腰三角形； ∵DE⊥EC， ∴DE=FE， 在△BEF和△AED中 ∴△BEF≌△AED(ASA)， ∴AD=BF, 故FC=AD+BC=CD=8， ∵等腰梯形的面积为（AD+BC）×AB=12 即×8×AB=12 故AB=3. 故填：3 【点睛】此题主要考查线段长的求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及角平分线的性质. 18. 如图，已知正方形的边长为，为等边三角形（点在正方形内），若是上的一个动点，的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出取得最小值的条件是解题的关键． 连接，根据正方形的性质得到，判断出当点、、三点共线时，最小，再根据等边三角形的性质即可得解； 【详解】连接， 点在线段上，是正方形的一条对称轴，点与点关于直线对称， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，当点、、三点共线时，最小，此时，， 是等边三角形，且， ， 的最小值为． 故答案是． 19. 如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 20. 如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为______．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角所对的直角边是斜边的一半等知识，探究规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴， 在中， ∴， ∴， 同理，，，， 在中，， ∴， ， …… 以此类推，. 故答案为：． 三、解答题（60分） 21. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算和因式分解． （1）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式展开，最后合并同类项即可得出答案． （2）利用平方差公式和全平方公式分解因式即可得出答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解∶ 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，熟练解分式方程是解题的关键． 解分式方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，求得后代入方程检验，即可解决问题． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程的解是． 【小问2详解】 解：原方程转化为， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程解是． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分化简，再将除法变为乘法化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移7个单位后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、轴对称、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平移的性质即可解答； （2）利用轴对称的性质即可解答； （3）利用正方形面积减去三角形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 由题意可得：． 25. 中，为中线，点E在直线上，直线交直线于点F， （1）当点E在线段上时，如图①，求证：； （2）当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不用证明； 【答案】（1）见解析 （2）如图②时，；如图③时， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作交的延长线于点M，证明，可得，再证明，利用线段的和差即可解答； （2）作与（１）相同的辅助线，证明，同理通过线段的和差分别求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点B作交的延长线于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点E在的延长线上时，如图，过点B作交的延长线于点M， 同（1）可得， ， ， ， ， ， ， ； 当点E在的延长线上时，如图，过点B作交的延长线于点M， 同（1）可得， ， ， ， ， ， ， ； 综上，如图②时，；如图③时，． 26. 儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． （1）求购进，两种风筝每个各需多少元； （2）若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? （3）已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】（1）购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元 （2）有三种购买方案如下：购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个 （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系或数量关系，列方程或不等式求解． （1）设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元，根据“用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进种风筝个，则购进种风筝个，根据“用于购买的资金不少于元，还不超过元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元． 【小问2详解】 解：设购进种风筝个，则购进种风筝个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 有三种购买方案如下： 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个． 【小问3详解】 解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 令，解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒． （1）求线段，的长； （2）点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值； （3）在（2）中所确定点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，判定根据全等三角形的性质得到点的坐标． 【小问1详解】 解：，， ∴，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒， ∴． 的面积与的面积比为， ∴． ∵， ∴． 当点在线段上时，， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∴． 综上所述，当△的面积与△的面积之比为时，的值为或； 【小问3详解】 解：由（2）知． 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，同理，得到， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面计算正确的是（       ） A. B. C. D. 2. 下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A B. C. D. 4. 下列各分式中，是最简分式的是（       ） A B. C. D. 5. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 6. 若是完全平方式，则m的值为（  ） A. B. 5 C. D. 或5 7. 将分式中的a、b的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大9倍 C. 缩小3倍 D. 不变 8. 若关于x分式方程的解是整数，则整数a的个数是（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 12. 如图，已知A，D，B，E在同一条直线上，且，，补充下列其中一个条件后，能得到是_____． 13. 若分式的值为0，则______． 14. 点与点关于y轴对称，则的值为_____． 15. 已知，，则_____． 16. 如果，那么满足条件的所有整数的值为______． 17. 如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为_____. 18. 如图，已知正方形的边长为，为等边三角形（点在正方形内），若是上的一个动点，的最小值是_____． 19. 如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为________． 20. 如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为______．  三、解答题（60分） 21. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移7个单位后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）直接写出的面积． 25. 中，为中线，点E在直线上，直线交直线于点F， （1）当点E在线段上时，如图①，求证：； （2）当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不用证明； 26. 儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． （1）求购进，两种风筝每个各需多少元； （2）若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? （3）已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒． （1）求线段，的长； （2）点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值； （3）在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $