精品解析：甘肃省酒泉市肃州区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷

2025-2026学年第一学期期末学科质量检测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 2. 下列几何体中，主视图是圆形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图中主视图的定义，即从几何体的正面观察到的图形叫做主视图． 【详解】解∶A.正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意; B.圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意； C.球体的主视图是圆形,故本选项符合题意； D.圆柱的主视图是矩形,故本选项不符合题意. 故选:C. 3. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 5. 现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9的概率． 【详解】解：由题意可得，同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 则所有结果之和是： 2、3、4、5、6、7、 3、4、5、6、7、8、 4、5、6、7、8、9、 5、6、7、8、9、10、 6、7、8、9、10、11、 7、8、9、10、11、12， 共有36种等可能的结果数， ∴所得结果之和为9的概率是： ， 故选C． 6. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m-1≠0且△>0,即2-4(m-1)(-1) >0,两个不等式的公共解即为m的取值范围. 【详解】解：关于x一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根, （m-1）≠0,且△＞0， 即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0, m的取值范围为m>0且m≠1, m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根. 故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根判别式. 7. 如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）． A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． 连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， ， ， ，解得， 故选：D． 8. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D DEBC 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴AD：AB=AE：AC=1：3， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3，故A错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象．可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：A． 10. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 12. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据频率估计概率，摸到绿球的概率稳定在0.6，设绿球个数为x，列分式方程求解． 【详解】解：设绿球的个数为x，则总球数为，摸到绿球的概率为． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：6． 15. 如果一个斜坡的坡角的余弦值为，那么该斜坡的坡度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，特殊角的三角函数值，设坡角为，由余弦值为得，最后通过斜坡的坡度，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设坡角为， ∵一个斜坡的坡角的余弦值为， ∴， ∴， ∴该斜坡的坡度为， 故答案为：． 16. 在如图所示的中，分别以为圆心，同样长度为半径画弧，交于点；以点为圆心，以间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点，作射线，交边于点．已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，可证，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 三、解答题：共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质、开立方运算和二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先根据特殊角的三角函数值计算，然后再根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质和开立方运算化简各项，然后根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）将方程整理为一般式后，用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 则或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似的性质，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 20. 如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树．某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，． （1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影； （2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度． 【答案】（1）见解析 （2）8m 【解析】 【分析】（1）连结，即为太阳光线，过A点作的平行线与交于点C，即可得到的影子； （2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，即， 得． 答：松树的高度为8米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，理解题意并熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 21. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 【答案】（1）600， （2）见解析 （3）列表见解析， 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图． （1）由B类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可； （2）根据四个类型人数之和等于总人数求出C对应人数，从而补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）， 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， 故答案为：600，； 【小问2详解】 解：C类型人数为（人）， 如图： 【小问3详解】 解：列表如下： B C D B C D 由表知，共有9种等可能结果，其中两位同学选到同一类别有3种结果， 所以两位同学选到同一类别的概率为． 22. 某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价． 【答案】这批童装降价后每件的售价为100元或110元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可． 【详解】解：设这批童装每件降了x元， 由题意得 解得：． 所以（元）或（元）． 答：这批童装降价后每件的售价为100元或110元． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 24. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的关系式，进而确定点A的坐标，由A、B两点的坐标可求出一次函数的关系式； （2）求出一次函数与y轴的交点坐标，将转化为即可求解； （3）利用图象直接观察得出答案． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为：； 把代入，得， ∴， 把，代入，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴的交点为C点， 当x=0时，， ∴， ∴； 小问3详解】 解：当时，即， ∴由图象可知，x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了考查一次函数、反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握待定系数法，是求函数关系式的常用方法． 25. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为315米，求河的宽度．【参考数据，，】 【答案】河宽约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作高构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系即可求出答案，掌握直角三角形的边角关系及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，， ， ， 同理，， ，即，而，， ， 解得， 即河宽约为． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G） 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，证明，，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2）即可． 【详解】解：（1）证明． ∴， ∴． （2）解：， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ， ，， ∴． ∵． ∴． 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． （3）解：延长交于点G ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ，． ∴ ∵， ∴ 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴ 27. 如图，抛物线  与 轴交于 两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 M的坐标； （3）在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且的面积是  面积的 2 倍，求点 N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积问题综合、线段最值问题综合，涉及待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）点A关于直线 l的对称点为点B，则，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求，而为定值，，故当取得最小值时，的周长取得最小值，因此当点共线时，，此时的周长取得最小值，然后求出直线表达式，即可求解点坐标； （3）先求出，由的面积是  面积的 2 倍，得到，设，则，再解方程求解坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线  与 轴交于 两点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，， ∵点A关于直线 l的对称点为点B， ∴ 连接交函数对称轴于点M，则点M为所求， ∵为定值，， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， ∴当点共线时，，此时的周长取得最小值， 设直线 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； 【小问3详解】 解：如图， ， ∵的面积是  面积的 2 倍， ∴， 设， 则， ∴， ∴或 解得或， ∴或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学科质量检测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是圆形是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 5. 现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是(　　) A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 7. 如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）． A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 8. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图,在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 12. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为______． 13. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为______． 14. 一个不透明袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为_________． 15. 如果一个斜坡的坡角的余弦值为，那么该斜坡的坡度为______． 16. 在如图所示的中，分别以为圆心，同样长度为半径画弧，交于点；以点为圆心，以间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点，作射线，交边于点．已知，则________． 三、解答题：共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 20. 如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树．某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，． （1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影； （2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度． 21. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 22. 某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时，的取值范围． 25. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为315米，求河的宽度．【参考数据，，】 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G） 27. 如图，抛物线  与 轴交于 两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 M的坐标； （3）在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且的面积是  面积的 2 倍，求点 N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $