精品解析：黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第五子联盟 2025-2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟2．全卷共分三道大题，总分120分． 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天事业再次迈出坚实一步．下列四个航天图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. 2025年3月，中国攻克光刻机“心脏”技术，中科院全球首发全固态DUV激光器，芯片国产化提速，打破国外垄断．已知，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大8倍 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. B. 12 C. 或13 D. 11或 8. 若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，在中，，点D是的中点，，交直线于点E，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 如图所示，只需要补充一个条件_____，就可以根据“”得到． 12. 若分式的值为0，则的值为_____． 13. 已知，求的值________． 14. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为______． 15. 若，则整数x的值为______． 16. 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 17. 若关于x的分式方程无解，则m的值是_____． 18. 如图，将等边折叠，使得点C恰好落在边上的点D处，折痕为，M为折痕上一动点，若，则周长的最小值是______． 19. 在中，，以为斜边作等腰，连接，则_____． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，点，…在x轴上，点，…在射线OM上，，…均为等腰三角形，且，…，…均为直角三角形，若，则线段的长为______． 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）解方程：； （5）先化简，再求值：，其中． 22. 如图所示，在边长为的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行． （1）请画出关于轴对称的； （2）直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点（保留作图痕迹）； （3）若点在第一象限格点上，使是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为______． 23. 【阅读材料】定义：如图1，在中，，等边在的左侧，连接，平分交于点F．则称等腰和互为“伴侣三角形”，称为“伴侣角”． （1）【解决问题】图2中，等边在的右侧，其它条件不变，若等腰和互为“伴侣三角形”，求“伴侣角”的度数； （2）【拓展延伸】在（1）的条件下，于点H，如图3，探究、，之间的数量关系，并加以证明． 24. 借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． （1）【观察发现】图，图是用边长为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，图是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为： 图1：__________； 图2：__________； 图3：__________； （2）【解决问题】若，，则______． （3）【拓展延伸】如图，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接和，若的面积为，，求阴影部分的面积． 25. 如图，在中，，射线交于点D，，点E是射线上一动点，以为边作等边，连接． （1）当时，如图①，请直接写出线段、、之间的数量关系为_____； （2）当时，如图②，当时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 26. 2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个． （1）求两款航空模型每个进价分别是多少元？ （2）若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ （3）在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A、B的坐标分别为，，且a，b满足，，． （1）求点A的坐标和点B的坐标； （2）动点D从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿着折线匀速运动，设的面积为S，运动时间为秒，求S和t之间的关系式（不要求写出t的取值范围） （3）在（2）条件下，当时，在x轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第五子联盟 2025-2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟2．全卷共分三道大题，总分120分． 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天事业再次迈出坚实一步．下列四个航天图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．根据题意逐一对选项进行识别即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴对称图形指的是沿着一条对称轴折叠使两边能完全重合的图形， ∴C选项符合轴对称图形定义，即轴对称图形， 故选：C． 2. 下列各式计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A. ，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，故原选项错误； D. ，正确. 故选D. 3. 2025年3月，中国攻克光刻机“心脏”技术，中科院全球首发全固态DUV激光器，芯片国产化提速，打破国外垄断．已知，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 故选：A 4. 下列各式，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟记定义是解题的关键． 形如（A、B均为整式且B中有字母）的式子是分式，据此解答即可． 【详解】解：分式为，共2个． 故选：B 5. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大8倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．将x和y都扩大2倍后代入分式，化简新分式并与原分式比较即可． 【详解】解：∵ x和y都扩大2倍， ∴新分式为 ， ∴新分式是原分式的4倍，即分式的值扩大4倍． 故选：A． 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：，是整式乘法，不是因式分解． 选项B：，右边不是纯乘积形式，不是因式分解． 选项C：，右边是乘积形式，且验证成立，是因式分解． 选项D：，右边计算为，与左边不相等，不是因式分解． 故选：C 7. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. B. 12 C. 或13 D. 11或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项的特点即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴，即或， ∴或． 故选D． 8. 若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程得到，根据解为正数且分母不为零确定取值范围． 【详解】解： ， 方程的解为正数， ， 又分母，即， ， 且， 故选：C． 9. 如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，过点D作交于点．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点Ｈ． ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 设 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，点D是的中点，，交直线于点E，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；先证明，得到①正确；在四边形求出，则，故②正确；延长交于，设，，根据，整理得，得到，，，再证明和都是等腰直角三角形，得到，，，，再证明，得，，即可得到，故③结论错误；由，，得到，故④结论正确；最后根据，，得到判断⑤结论错误． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 延长交于，设，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 整理得， ∴，，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故③结论错误； ∵，， ∴； 故④结论正确； ∵，， ， ， ∴ ∴⑤结论错误， 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 如图所示，只需要补充一个条件_____，就可以根据“”得到． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个直角三角形全等的方法，理解“”满足的条件是解题的关键．“”是斜边直角边定理，即如果两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，以此作答即可． 【详解】解：， 和均为直角三角形， ， 只需补充一组对应直角边相等的条件，或，， 故答案为：（或）． 12. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，求的值________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题是对同底数幂的乘除法的知识点的考查，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．本题指数中有加减法，就可以将指数次幂转化成同底数幂相除和相乘的形式进行计算． 根据题干中所给的已知信息得出，将按照同底数幂的乘除法的法则展开，然后将已知值代入即可． 【详解】解：由题意得，， 故． 故答案为：27． 14. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为______． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的内角和可得，由作图可得垂直平分，平分，推出，，得到，求出，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图可得垂直平分，平分， ，， ， ， , 故答案为：． 15. 若，则整数x的值为______． 【答案】0或2 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂．分三种情况，结合零指数幂，负整数指数幂解答即可． 考虑方程 中整数 的取值，需分析指数为0时底数非0的情况和底数为1的情况，同时排除负指数无解的情形． 【详解】解：当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，满足题意； 综上所述，整数x的值为0或2． 故答案为：0或2． 16. 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 17. 若关于x的分式方程无解，则m的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 18. 如图，将等边折叠，使得点C恰好落在边上的点D处，折痕为，M为折痕上一动点，若，则周长的最小值是______． 【答案】８ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换，几何最值问题，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．利用轴对称的性质：连接，周长为，由，求出，若周长最小，只要最小，即三点共线即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将等边折叠，使点落在边上的点处，折痕为， 根据翻折的性质，折痕是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， 在等边中，，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴要使的周长最小，只需使的值最小·， 当点三点共线时，， 周长的最小值为， 故答案为：8． 19. 在中，，以为斜边作等腰，连接，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，分点在的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，当点在的上方时，作于点，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以为斜边作等腰， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当点在的下方时，作于点，作，交的延长线于点， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，点，…在x轴上，点，…在射线OM上，，…均为等腰三角形，且，…，…均为直角三角形，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的几何规律探索，结合等腰三角形的性质与直角三角形的性质求解是解题的关键． 根据图形得出均为等腰三角形，且，为直角三角形，直角在处，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质找出规律计算即可； 【详解】解：由题可得：是等腰三角形，是直角三角形且，， ， ， ， ， ， ， 同理：中，，在中，，得到， 同理可得：， 可得：， 根据计算可得： ， ， ， ， ， ． 故答案是：． 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）解方程：； （5）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）11；（2）；（3）；（4）；（5），1 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，整式的混合运算，因式分解，解分式方程，分式的混合运算： （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再计算即可； （2）先提出公因式，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式因式分解即可； （4）先去分母将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （5）先计算括号内的，再计算除法，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1） （2） （3） ； （4） 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （5） 当时，原式 ． 22. 如图所示，在边长为的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行． （1）请画出关于轴对称的； （2）直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点（保留作图痕迹）； （3）若点在第一象限格点上，使是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，为所求； （2） 如图，点即为所求； （3）或. 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定（一线三垂直全等模型），熟练掌握轴对称作图方法、对称法求最短路径的思路、一线三垂直全等判定是解题的关键． （1）找到各顶点关于轴的对称点，连接对称点得到． （2）作关于直线的对称点，连接该对称点与，交直线于，此时周长最小． （3）分两种情况且、且，通过构造全等三角形确定点坐标。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直线为，作关于的对称点： 连接，与的交点即为． 【小问3详解】 解：设（，格点）， 情况：且，过点作轴于点，过作于点，由题意可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴。 在和中： ， ∴， ∴，， ∴的纵坐标为，横坐标为，即。 情况：且，过点作轴于点，过作轴于点，由题意可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即 综上，点的坐标为或 23. 【阅读材料】定义：如图1，在中，，等边在的左侧，连接，平分交于点F．则称等腰和互为“伴侣三角形”，称为“伴侣角”． （1）【解决问题】图2中，等边在的右侧，其它条件不变，若等腰和互为“伴侣三角形”，求“伴侣角”的度数； （2）【拓展延伸】在（1）的条件下，于点H，如图3，探究、，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） ； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出，根据角平分线定义得出，根据三角形外角的性质得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键． 24. 借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． （1）【观察发现】图，图是用边长为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，图是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为： 图1：__________； 图2：__________； 图3：__________； （2）【解决问题】若，，则______． （3）【拓展延伸】如图，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接和，若的面积为，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）利用完全平方公式的变形，将转化为计算． （3）设，则．由的面积为3，得，再结合完全平方公式计算阴影部分面积． 【小问1详解】 解：图1：； 图2：； 图3：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ； 【小问3详解】 解：设，则． ∵的面积为3， ∴即， ∴， ∴，即， ∴即， ∴阴影部分面积为． 25. 如图，在中，，射线交于点D，，点E是射线上一动点，以为边作等边，连接． （1）当时，如图①，请直接写出线段、、之间的数量关系为_____； （2）当时，如图②，当时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】（1） （2）当时，；当时，，证明： 当时，如图所示，延长到点G，使 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 当时，如图所示，在上取点G，使，连接， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图所示，在上取点G，使，连接，求出，然后证明出，得到，得到，，然后证明出是等边三角形，然后等量代换即可得到； （2）当时，如图所示，延长到点G，使，证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，然后等量代换即可得到；当时，如图所示，在上取点G，使，连接，同理证明出，得到，等量代换即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，在上取点G，使，连接 ∵，， ∴ ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 26. 2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个． （1）求两款航空模型每个进价分别是多少元？ （2）若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ （3）在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案． 【答案】（1）“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元 （2）有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个 （3）购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个 【解析】 【分析】（1）设“天宫”模型每个进价x元，则“神舟”模型每个进价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买“天宫”模型的数量为m个，则购买“神舟”模型的数量为个，根据题意，列出不等式组，求出m的取值范围，即可求解； （3）设有个“天宫”模型作为奖品，所获的利润为w元，则有个“神舟”模型作为奖品，则，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设“天宫”模型每个进价x元，则“神舟”模型每个进价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得∶， 经检验：均是原方程的解，但不符合题意， 此时， 答：“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元； 【小问2详解】 解：设购买“天宫”模型的数量为m个，则购买“神舟”模型的数量为个，根据题意得： ， 解得：， ∵购进两款航空模型的数量都是10的整数倍， ∴m取140，150，160， 此时分别为60，50，40， 答：有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个； 【小问3详解】 解：设有个“天宫”模型作为奖品，所获的利润为w元，则有个“神舟”模型作为奖品，则，根据题意得： 方案一：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1210；当时，w最大，为1255， ∵仍获利1140元， ∴方案一不符合题意； 方案二：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1160；当时，w最大，为1205， ∵仍获利1140元， ∴方案二不符合题意； 方案三：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1110；当时，w最大，为1155， ∵仍获利1140元， ∴方案三符合题意； 答：购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A、B的坐标分别为，，且a，b满足，，． （1）求点A的坐标和点B的坐标； （2）动点D从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿着折线匀速运动，设的面积为S，运动时间为秒，求S和t之间的关系式（不要求写出t的取值范围） （3）在（2）条件下，当时，在x轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），； （2）当时，；当时，； （3）存在，的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的实际应用，等腰三角形的性质，绝对值的性质，含角的直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键． （1）利用绝对值与平方数的非负性求出，的值，即可得解； （2）先求出线段的长度，再分点在上和上两种情况分类计算即可； （3）先根据面积求出，再根据三角形的特征分类讨论即可得解； 【小问1详解】 ， ， ，， ，， A、B的坐标分别为，， ，； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 当时，在线段上， 的运动速度为， ， 过点作，连接， ， ， ； 当时，在线段上，连接， ， ， ， 当时，；当时，； 【小问3详解】 存在，的坐标为或或或，；理由如下： 当时，若，则，符合题意； 若，，则，不符合题意； 当时，，此时与重合， 设，要使得是等腰三角形，分三种情况讨论： （1）当时，即， ， ， ，， 或； （2）当时， ， 为的中点， ； （3）当时， ，，， 在，， 解得：， ； 综上所述：的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $