精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

数学学科八年级期末测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，1，1 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列图形是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以为边的三角形共有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 下列各式从左至右的变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为a正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（ ） A. B. C. D. 10. “作一个角等于已知角”尺规作图方法． 如图，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点C，D； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线，则． 由作法得的依据是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 12. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 14. 已知等腰三角形的一边长是4，一边长是9，那么它的周长是______． 15. （）2＝_____． 16. 如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是______． 17. 如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．当的周长时，______． 18. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 19. 对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 20. 如图，在中，是中线，是角平分线，是高线，交于点G，交于点H．有如下结论：；④．正确的是______（填序号）． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．请按要求完成下列作图： （1）作出关于y轴对称的（点分别为点A、B、C的对称点），并写出点的坐标______； （2）在（1）的条件下，点．在x轴上找点E，使最小（保留作图痕迹，体现作图过程），请标出点E，并直接写出点E的坐标． 24. 阅读以下材料，回答问题： 我国对历法的研究有着悠久的历史，月历中隐藏着许多有趣的数学规律． 如图是某月的月历，选取月历中虚线方框的4个位置上的数（如8、9、15、16），交叉相乘再相减，会发现固定的运算规律．事实上，任意一个月的月历中，用这样的方框圈出的4个数，都满足这一规律，我们可以用整式的运算对其进行证明． （1）选取数8、9、15、16，计算_____； （2）若在月历中用方框圈出的4个数为，请求出的结果为定值． 25. 某文具店计划购买A型文具和B型文具进行销售，若用1100元购买A型文具的数量比用1500元购买B型文具的数量多10个，且一个B型文具的进价是一个A型文具进价的1.5倍． （1）求每个A型文具和每个B型文具的进价分别是多少？ （2）若A型文具的售价为12元/个，B型文具的售价为20元/个，此文具店购进A，B型文具共95个，要使总利润不低于400元，则A型文具最多购进多少个？ 26. 【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； （3）【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，，． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点C与点B关于y轴对称，点D在的延长线上，过点D作直线，垂足为点H，设点D的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，的垂直平分线交线段于点E，点F为延长线上一点，连接，当，，时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科八年级期末测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，准确把握“分母中含有字母”这一核心特征是解题的关键．根据分式的定义，判断各式分母是否含有字母，进而确定哪个选项是分式． 【详解】分式定义要求分母中含有字母， 选项分母为（常数），不是分式；选项分母为（常数），不是分式；选项分母为（为常数），不是分式；选项分母为（含字母和），是分式． 故选：． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，1，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和必须大于第三边，据此逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、∵ ，∴ 不能组成三角形； B、∵ ，∴ 不能组成三角形； C、，∴ 能组成三角形； D、∵，∴ 不能组成三角形， 故选C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），熟练掌握幂的运算规则是解题的关键．依据幂的运算规则，逐一验证每个选项的运算是否正确． 【详解】解：选项A：，故A项错误； 选项B：，故B项正确； 选项C：，故C项错误； 选项D：，故D项错误； 故选：B． 4. 下列图形是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 5. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图案沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他三个选项中的图案均不存在某条直线，图案沿这条直线对折后，直线两旁的部分不能够重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 6. 如图，以为边的三角形共有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形共有3个，它们是，，． 故选：C 7. 下列各式从左至右的变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质即可判断. 【详解】A. ,分子分母同除以-1，正确； B. ，故错误； C. 分子分母同除以-1，正确； D. ，把分子的符号提到分数前，正确， 故选B. 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的性质. 8. 如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，不一定成立， 故选项A、C、D判断错误，不符合题意，选项B判断正确，符合题意， 故选：B． 9. 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：A． 10. “作一个角等于已知角”的尺规作图方法． 如图，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点C，D； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线，则． 由作法得的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，进而问题可求解 由作图得， 则根据“”可判断． 故选：D． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零，要使分式 有意义，则分母 ，进而即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴ ，解得 ． 故答案为 ． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．观察多项式，提取各项的公因式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一边长是4，一边长是9，那么它的周长是______． 【答案】22 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系，分类讨论腰长和底边长，排除不满足三角形三边关系的情形，得出周长。 【详解】解：若腰长为4，底边长为9，则，不符合三角形三边关系，故舍去； 若腰长为9，底边长为4，则，符合三角形三边关系，因此周长为． 故答案为22 15. （）2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的乘方法则，熟知分式的乘方法则和积的乘方，幂的乘方法则是解题关键． 16. 如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是______． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形内角和，等边对等角等知识，掌握线段垂直平分线的性质是关键；由线段垂直平分线的性质可得，进而有，由三角形外角的性质得，，再由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案：． 17. 如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．当的周长时，______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质“折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”、找准对应关系是解题的关键． 根据翻折的性质得出，进而利用三角形的周长解答即可． 【详解】解：由翻折可得： ∵的周长，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：15． 18. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的运用；分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 分顶角为锐角和钝角两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及互补关系求解。 【详解】解：当高在内部时，顶角；当高在外部时，得到顶角的外角，则顶角． 故答案为：或． 19. 对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 20. 如图，在中，是中线，是角平分线，是高线，交于点G，交于点H．有如下结论：；④．正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质，中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，进而可对②进行判断．根据角平分线的性质和三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：，是高线， ， ∴， 是角平分线， ， ∴，故①正确； ， ∴， ∵, ∴ ∴，故②正确； 设点E到的距离为h， ∵，是角平分线， ∴ ∴，故④正确； 根据已知条件不能推出，故③错误； 故答案：①②④． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及多项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据平方差公式进行求解； （2）根据多项式除以单项式法则，可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的每一项因式分解，约分是解题的关键． 先算括号内的式子，再算括号外的除法，式子变形约分，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．请按要求完成下列作图： （1）作出关于y轴对称（点分别为点A、B、C的对称点），并写出点的坐标______； （2）在（1）的条件下，点．在x轴上找点E，使最小（保留作图痕迹，体现作图过程），请标出点E，并直接写出点E的坐标． 【答案】（1）作图见详解，； （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，最短距离问题，熟练掌握利用轴对称作轴对称图形，利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可得；然后根据点在直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）作D点关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 点的坐标； 【小问2详解】 解：如图所示，点E即为所求， 点E的坐标为： 24. 阅读以下材料，回答问题： 我国对历法的研究有着悠久的历史，月历中隐藏着许多有趣的数学规律． 如图是某月的月历，选取月历中虚线方框的4个位置上的数（如8、9、15、16），交叉相乘再相减，会发现固定的运算规律．事实上，任意一个月的月历中，用这样的方框圈出的4个数，都满足这一规律，我们可以用整式的运算对其进行证明． （1）选取数8、9、15、16，计算_____； （2）若在月历中用方框圈出的4个数为，请求出的结果为定值． 【答案】（1） （2）的结果为定值 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式及整式的乘法运算，理解题意并正确计算是关键； （1）直接计算即可； （2）把b、c、d用含字母a的代数式表示，再计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 则 ． 故结果为定值． 25. 某文具店计划购买A型文具和B型文具进行销售，若用1100元购买A型文具的数量比用1500元购买B型文具的数量多10个，且一个B型文具的进价是一个A型文具进价的1.5倍． （1）求每个A型文具和每个B型文具的进价分别是多少？ （2）若A型文具的售价为12元/个，B型文具的售价为20元/个，此文具店购进A，B型文具共95个，要使总利润不低于400元，则A型文具最多购进多少个？ 【答案】（1）每个A型文具10元，每个B型文具是15元 （2）A型文具购进最多25个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． （1）设型文具的单价为元．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 小问1详解】 解：（1）设每个A型文具是x元，则每个B型文具是元． 根据题意，得，解得， 经检验是原方程的解，， 答：每个A型文具10元，每个B型文具是15元． 【小问2详解】 设购进a个A型文具．根据题意得 解得 答：A型文具购进最多25个 26. 【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； （3）【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】（1）； （2）见详解； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【小问1详解】 解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，，． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点C与点B关于y轴对称，点D在的延长线上，过点D作直线，垂足为点H，设点D的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，的垂直平分线交线段于点E，点F为延长线上一点，连接，当，，时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识． （1）在中，利用“直角三角形中所对直角边是斜边一半”的性质求出的长度，再根据点B在x轴负半轴上确定其坐标； （2）首先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点C的坐标，然后表示出的长度。接着在中利用角所对直角边是斜边一半的性质求出的长度，最后通过计算出的长度； （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，结合已知条件建立关于未知数a的方程，解出a的值，最后求出的长度，从而确定点D的坐标． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又点B在x轴的负半轴上， ∴点B的坐标为 【小问2详解】 解：∵点C与点关于y轴对称，且 ∴，， ∴， ∵点D的横坐标为t， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点E作于点M，如图， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴； 过点A作交的延长线于点N， ∴， 又，且， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $