湖南省怀化市九县十校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025年下学期“新课标·新中考”调研监测试题 九年级数学 满分：120分 考试用时：120分钟 命题及审核：靖州一中数学备课组 一、单选题（每小题3分，共30分．） 1．关于反比例函数，下列说法不正确的是 ( ) A．函数图象经过点（3,-2） B.函数图象关于原点成中心对称 C 函数图象分别位于第一、三象限 D.当x<0时，y随x的增大而增大 2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A. B. C. 3．抛物线与x轴有一个公共点，且交于负半轴，则m的值为 ( ) A 2 B.±2 C.4 D. ±4 4．把2m长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为 ( ) A. m B. C. D. 5．如图，在平面直角坐标系xOy中， ΔOAB与ΔOCD是以O为位似中心的位似图形，若A(-2,1), B(-1,0) C(4,-2)，则点D的坐标是 ( ) 第5题图 A. B. (1,0) C. (2,0) D. (4,0) 6．某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制出频数分布表： 次数 频数 1 2 4 14 17 13 4 下列说法错误的是 ( ) A．组距是20 B．该班有55名学生 C．组数是6 D．60秒内高抬腿次数在120≤x<18范围内的学生占该班学生的80％ 7．定义（a,b,c）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为 ( ) A.-1或4 B. -4 C. -1 D. -4或1 8．如图，两条直线m,n被三条平行线（L1,L2,L3）所截，若AB:BC=2:3,DE=4,过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG=10,则EH的长度为 ( ) A. B.2 C. D.4 第8题图 第9题图 9．如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，已知菱形ABCD的周长为82cm，则每个矩形的周长为 ( ) A. 2cm B. 4cm C. D. 8cm 10．如图，在ΔABC中， AC=BC,，点M为ΔABC外部一点， ,AM+CM=8，则线段BM长度的最小值是 ( ) 第10题图 A.8 B.C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共24分．） 11．当抛物线（b为常数），经过点M(-4,m),N(6,m)时.抛物线的顶点坐标为 . 12．若x=1是方程的一个根，则 . 13．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC交AC于点F， CD=CF=2，则AF= 第13题图 第15题图 第16题图 第17题图 14．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 15．如图，在ΔABC中，D是AB上一点，且AB=3AD, ∠ACD=∠B, ∠CAD、∠BAC的平分线分别交CD、CB于E,F，则的值为 16．如图是一块四边形空地，该空地面积为 17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AD=2,DE=1.则AB的长为 . 18．抛物线(a、b、c为常数， a≠0)开口向下且过点A(1,0),B(m,0)(-2<m<-1)下列结论： ①a-b+c>0;②2a+c>0;③a(m+1)-b+c>0；④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是 . 三、解答题（8道题，共66分．） 19.（6分）先化简，再求值： ，其中 20.（6分）已知关于x的一元二次方程 （1）当方程有实数根时，求m的取值范围； （2）设方程的两个实根分别是, ，且满足，求m的值. 21.（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A(-4,m) B(n,-4)两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D。过点A作AELx轴于点E，已知ΔAOE的面积为4。 （1）求反比例函数的表达式；（2）求一次函数的表达式；（3）连接OA,OB，求ΔAOB的面积。 22.（9分）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，点E,G分别在AB,AD 上， AC. AF分别为两正方形的对角线. （1）猜想： 图1中的值为 : （2）探究：将正方形AFFG绕点A旋转到图2位置，连接BE. FC，判断的值是否保持不变？并说明理由 23.（8分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，A1的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析. 项目统计量AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 7.3 n 56 乙 m 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 分， n= 分， （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若某市共有10万人使用甲款AI软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数; 24.（8分）如图，在ΔABC中， ，AD是BC边上的中线，AE//BC,CE//AD. 第24题图 （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）连接BE，若,AC=2，求BE的长. 25.（9分）已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，经过点D(-2,-3)，与y轴交于点C. （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B)，过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点E、点F.求线段EF的最大值. 26.（12分）综合探究： （1）如图1，在RtΔABC中， ，CP为斜边AB上的高.求证： （2）如图2，在RtΔABC中， .用尺规在AC边上找一点D，使得 不写作法，保留作图痕迹，并说明你作图的正确性； （3）在（2）的条件下，若AC=2BC=4，连接BD，将ΔAB绕点B逆时针旋转α度角-至，点A的对应点为点A'，点D的对应点为点，连接AA',DD'.当D、、A＇三点共线时，设此时直线DA＇交AB与点E，请你根据要求在备用图中补充图形，并求的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省怀化市九县十校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考 数学参考答案 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 答案 解析 1 C 对于反比例函数y=，k=-6<0，图象位于第二、四象限，而不是第一、三象限。A、B、D均正确。故选C。 2 C A化简为y=-4x-1，是一次函数；B中a可能为0；D含有，不是整式；C符合二次函数定义。故选C。 3 A 抛物线与x轴有一个公共点，则Δ=m²-4=0，m=±2。又交于负半轴，对称轴x=<0，且f(0)=1>0，所以m>0，故m=2。 4 A 设较长线段为x，则x²=2(2-x)，解得x=√5-1，较短线段为2-(√5-1)=3-√5。故选A。 5 C 由位似性质，A(-2,1)对应C(4,-2)，位似比为1:2且异侧。B(-1,0)对应点D的横坐标为(-1)×(-2)=2，纵坐标为0，故D(2,0)。 6 C 频数分布表有7个组，组数是7，故C错误。A、B、D均正确。 7 C 方程x²+(2k-2)x+(k²-k)=0，两实根平方和为12，即(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2-2k)²-2(k²-k)=12，解得k=4或k=-1。又Δ≥0得k≤1，故k=-1。 8 A 利用平行线分线段成比例和勾股定理计算可得EH=4√3。 9 B 设菱形边长为a，由题意可得每个矩形的长宽关系，计算得矩形周长为4 cm。 10 C 通过旋转构造，利用三点共线条件求得BM的最小值为4√3。 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 解析 11 (1, ) 抛物线过M(-4,m),N(6,m)，对称轴x=1，代入得b=-1/2，顶点坐标(1, )。 12 -2 将x=1代入方程得1-2+m+3=0，解得m=-2。 13 √5 - 1 设BC=x，由BE⊥AC及CF=2，利用勾股定理和相似得AC=√5+1，故AF=AC-CF=√5-1。 14 x ≥ 9 且 x ≠ 10 由√(x-9)有意义得x≥9；由(x-10)⁰有意义得x≠10。 15 √3 - 1 由△ACD∽△ABC及角平分线性质，可求得AF/AE=√3，故=√3 - 1。 16 625√3 做辅助线垂直，运用三角函数作答 17 或 1.6 设AB=x，由折叠性质列方程解得x=。 18 ①③④ 由条件推导，①③④正确，②错误（2a+c<0）。 三、解答题（共8题，共66分） 19.（6分）先化简，再求值 原式 = ÷ （1 + ） = ÷ = × = 当 m = tan60° + 1 = √3 + 1 时， 原式 = = = = 解析：先化简分式，再代入求值。注意分母有理化。 20.（6分）关于x的一元二次方程 （1）解：Δ = 4(m-1)² - 4(m²-7) = -8m + 32 ≥ 0 解得 m ≤ 4 （2）解：由根与系数关系：x₁ + x₂ = 2(m-1)，x₁x₂ = m²-7 由已知 2(m-1) = m²-7 - 10，即 m² - 2m - 15 = 0 解得 m = 5 或 m = -3 又 m ≤ 4，所以 m = -3 解析：利用判别式求范围，利用根与系数关系建立方程求解。 21.（8分）一次函数与反比例函数 （1）解：∵ S△AOE = × |k₂| = 4，又 k₂ < 0 ∴ k₂ = -8，反比例函数表达式为 y = （2）解：将 A(-4, m) 代入得 m = 2，∴ A(-4, 2) 将 B(n, -4) 代入得 n = 2，∴ B(2, -4) 设一次函数为 y = k₁x + b，代入 A、B 得： 2 = -4k₁ + b -4 = 2k₁ + b 解得 k₁ = -1，b = -2 ∴ 一次函数表达式为 y = -x - 2 （3）解：一次函数与 x 轴交于 C(-2, 0)，与 y 轴交于 D(0, -2) S△AOB = S△AOC + S△BOC = × 2 × 2 + × 2 × 4 = 6 解析：利用面积求k₂，再求交点，最后用割补法求三角形面积。 22.（9分）正方形旋转问题 （1）答案：√2 （2）保持不变，理由如下： 连接 AC、AF，则 ∠CAF = ∠BAE，且 AC/AB = AF/AE = √2 ∴ △CAF ∽ △BAE，∴ FC/EB = AC/AB = √2 解析：利用正方形的对角线性质及旋转不变性证明相似。 23.（8分）AI软件使用效果统计 （1）m = 7.65，n = 9，S甲² < S乙² （2）解：从甲软件信息识别准确度得分折线图看，超过7分的人数比例为： = 25% ∴ 10万人中估计有 10×25% = 2.5（万人） 解析：从统计图中读取数据，计算平均数和众数，根据波动判断方差大小。 24.（8分）菱形判定与计算 （1）证明：∵ AD 是 BC 边上的中线，∠BAC = 90° ∴ AD = BD = CD ∵ AE // BC，CE // AD，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 又 ∵ AD = CD，∴ 平行四边形 ADCE 是菱形 （2） 解析：利用直角三角形斜边中线性质证菱形。 25.（9分）抛物线综合 （1）解：设抛物线为 y = a(x+1)(x-4)，代入 D(-2,-3) 得： -3 = a(-1)(-6)，解得 a = -1/2 ∴ 抛物线解析式为 y = -1/2 x² + 3/2 x + 2 （2） 26.（12分）综合探究 （1）证明：∵ ∠ACB = 90°，CP ⊥ AB ∴ △ACP ∽ △CBP，∴ = ，即 CP² = AP·BP （2）尺规作图： 说明：∵ BD ⊥ AC，∴ ∠BDC = 90° = ∠ABC，又 ∠C 公共 ∴ △BCD ∽ △ACB，∴ = ，即 BC² = CD·AC （3）补充图形： = 解析：第（1）问用相似三角形性质；第（2）问构造相似三角形；第（3）问利用旋转相似和共线条件求解。 学科网（北京）股份有限公司 $