精品解析：宁夏银川市景博学校2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

景博学校2025-2026学年第一学期九年级期末试卷 科目：数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数定义为形如的整式函数，据此解答即可． 【详解】解：A、，符合定义，故此选项符合题意； B、此函数为一次函数，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； C、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； D、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若， ，则 的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，得，再代入数值求出 的长，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，点A、B、C在 上， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度 与瓶高 之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度 约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度 与瓶高 之比为黄金比， ∴， 故选：B． 5. 在功（单位：J）一定的条件下，功率 （单位：）与做功时间 （单位：）成反比例， 与 之间的函数关系如图所示．当时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再求出时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出P的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，； ∵， ∴在第一象限内， 随着 的增大而减小， ∴． 故选：C． 6. 已知线段， ，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两外项的乘积，计算即可． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵ ， ∴． 故选：D． 7. 如果点在反比例函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当 时，， ∴，即， 故选 C． 8. 如图，下列阴影部分的三角形与 （顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在 中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与 不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与 不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与 不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与 相似，符合题意； 故选：D． 9. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若 ，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得： ，，，可得一次函数 的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得： ，， ∵， ∴， ∴一次函数 的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，直接代入计算． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影的分类，需明确平行投影与中心投影的区别：平行投影是由平行光线(如太阳光)形成的投影，中心投影是由点光源(如灯光)形成的投影． 【详解】解：太阳光可看作平行光线，晷针在晷面上的投影是由平行光线形成的，根据平行投影的定义，可知该投影属于平行投影． 故答案为：平行． 13. 如图，四边形四边形，若， ，，则______. 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为 度求解即可． 【详解】解： 四边形四边形， ， 又 ， ， ， 故答案为：． 14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为_______． 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是三棱柱. 故答案为：三棱柱． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．根据图象得到该二次函数的对称轴，从而得到图象与x轴的另一个交点，即可求得一元二次方程的解． 【详解】解：根据题意可知， 该二次函数的对称轴为 ，抛物线与x轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故答案为：． 16. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或 时，一次函数 的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或 ． 故答案为：或 ． 17. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的函数关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：原抛物线为， 向右平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得， 故答案为：． 18. 如图，某堤坝的横截面是梯形 ，已知坝顶，坝高，且，斜坡 的坡度，则坝底的长度为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点 作交于点 ，结合坡度以及特殊角度，分别计算出、 、的长度，最终得出的长度． 【详解】过点 作交于点 ，如下图： ∵，， ， 得四边形为矩形， ∴， ∵，∴， 解得， ∵ 的坡度为 ，即， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 在 中，的半径为3，则边所在直线与 的位置关系是_____． 【答案】相离 【解析】 【分析】在 中，，因此点A到直线的距离等于 ，比较点A到直线的距离与 的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故点A到直线的距离等于 ， 由 的半径为3，且， ∴边所在直线与 相离。 故答案为：相离． 20. 如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小； 对于任意实数 ，总有，其中结论正确的是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，可知，根据对称轴是，可知，根据抛物线与轴的交点在轴的正半轴，可知，可知；因为当 时，，可知；根据抛物线的对称轴是，可知当时，随的增大而减小；因为当时，有最大值，可知对于任意实数 ，总有． 【详解】解： 抛物线开口向下， ， 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故 错误； 抛物线经过点， ， 故 正确； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故正确； 抛物线的顶点为， 当时，函数有最大值， 当时，函数值为， ， ， 故 正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：②③④． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在 中，，求 和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵ ， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：　 　； （3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析，A1（﹣3，3）；（3）详见解析，A2（6，6）． 【解析】 【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可； （2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可； （3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可； 【详解】（1）△ABC如图所示； （2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3）， （3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）． 故答案为（﹣3，3），（6，6）． 【点睛】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 如图，正比例函数 与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点 的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式． （1）把代入正比例函数解析式，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值，即可求解函数解析式； （2）先求出 的面积，即可得到 的面积，然后设 点坐标为，再由面积公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：由题意得，把 代入 中，得， 即， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 、B关于原点对称， ， 到 的距离为， ， ∵ ， 设 点坐标为，则 到 的距离为， ，解得或， 点 坐标为或． 24. 如图， 内接于 ， 为 的直径，点D在 的延长线上，连接 ，，过点B作 ，交 于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若点B是的中点，且 ，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ， 是 的直径， ， ， ， ，即， ． 为 的半径， 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接 ，圆周角定理，得到 ，进而得到 ，等边对等角，得到 ，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 点B是的中点， ． ， ． ， ． 又 ， ． ． 在 中． ． 即 半径为． 25. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为80元时，每月的销售量为多少件？ （2）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元） 之间的函数关系式；（不要求自变量取值范围） （3）若要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）150 （2） （3）80元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据销售单价每降低2元，每月可多售出10件，列式计算即可； （2）根据销售单价每降低2元，每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （3）设每月的销售利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：（件）； 答：每月的销售量为150件； 【小问2详解】 由题意，； 【小问3详解】 设每月的销售利润为元，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值； 故要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为80元． 26. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔 的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为是测角仪，．已知，从点测得点 的仰角为．求古塔 的高度．（参考数据：） 【答案】米． 【解析】 【分析】过点N作 于点D，过点M作于点F，，交的延长线于点G，根据题意，得， ，四边形是矩形，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，仰角的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点N作 于点D，过点M作于点F，，交的延长线于点G， 根据题意，得， ，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 答：古塔 的高度为米． 27. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为 上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在 中，， ，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在 上，点F在上，且，若，求 的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得 ,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得 ,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点 是直线 上方的抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），过 作轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 ． （1）求抛物线的表达式： （2）若点 的横坐标为，用含的代数式表示； （3）过点 作于点，当的值最大时，求点 的坐标及的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为； （2）求出直线 的表达式为，进而表示出 的坐标，即可求解； （3）由点，，可得，根据 的长，根据二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入，得： 解得： 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设直线 的表达式为， 把，代入，得： 解得 直线 的表达式为． 点 的横坐标为， ， 【小问3详解】 如图 点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，则时 有最大值 此时 当取最大值时，点 的坐标为，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景博学校2025-2026学年第一学期九年级期末试卷 科目：数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若， ，则 的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 3. 如图，点A、B、C在 上， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度 与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度 约为（ ） A. B. C. D. 5. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间 （单位：）成反比例，与 之间的函数关系如图所示．当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段， ，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 7. 如果点在反比例函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列阴影部分的三角形与 （顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若 ，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分） 11. 计算___________． 12. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 13. 如图，四边形四边形，若， ，，则______. 14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为_______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解是___________． 16. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 17. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的函数关系式为___________． 18. 如图，某堤坝的横截面是梯形 ，已知坝顶，坝高，且，斜坡 的坡度，则坝底的长度为__________ ． 19. 在 中，的半径为3，则 边所在直线与 的位置关系是_____． 20. 如图，已知二次函数（， ，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时， 随的增大而减小； 对于任意实数 ，总有，其中结论正确的是_________． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在 中，，求 和的长． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：　 　； （3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：　 　． 23. 如图，正比例函数 与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 24. 如图， 内接于 ，为 的直径，点D在的延长线上，连接 ，，过点B作 ，交 于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若点B是 的中点，且 ，求 的半径． 25. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为80元时，每月的销售量为多少件？ （2）求该商品每月的销售量 （件）与销售单价（元） 之间的函数关系式；（不要求自变量取值范围） （3）若要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为多少元？ 26. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图， 是小山坡，测得，坡角为是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：） 27. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在 中，， ，以点A为直角顶点作等腰．点D在 上，点E在 上，点F在 上，且，若，求 的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线 上方的抛物线上的一个动点（不与点， 重合），过作轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点． （1）求抛物线的表达式： （2）若点的横坐标为，用含的代数式表示； （3）过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $