精品解析：吉林省松原市滨江中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

滨江中学期末测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母 ，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母 ， ∴ ， 故选：A． 2. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，掌握科学记数法的表示法则是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此依次验证各选项． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，掌握单项式的乘法、同底数幂的乘除和积的乘方法则是解题关键． 根据各类运算的计算法则逐一验证各选项． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算错误； D、，故该选项计算正确． 故选：D． 5. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 6. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分式化成最简分式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 8. 分解因式：5a3- 20a=___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式5a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】解：5a3- 20a=＝5a（a2−4）＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意先提取公因式，再利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底． 9. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 10. 如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【解析】 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键．方程两边同时乘以最简公分母化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得． 【详解】解：． 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，最简公分母， 所以原方程的解是． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的混合运算．根据整式的乘除法、以及整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 14. 如图，，求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”判定三角形全等及全等三角形对应角相等是解题的关键． 利用判定三角形全等，再由全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】略 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式化简的一般步骤是解题的关键．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个，使是一个轴对称图形； （2）在图②中画一个，使它与全等； （3）在图③中画一个，使它与的周长相等． 【答案】（1） 如图①，即为所求； （2） 如图②，即为所求； （3） 如图③，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图、轴对称、全等三角形的性质、三角形的周长，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用轴对称的性质即可解答； （2）利用全等三角形的性质即可解答； （3）利用三角形的周长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． （1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； （2）当，时，求S的值． 【答案】（1）平方米； （2）平方米． 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用、列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据长方形面积减去正方形面积，即，然后通过运算法则化简即可； （2）把，时代入即可求解． 【小问1详解】 解： （平方米）， 答：空白部分的面积为平方米； 【小问2详解】 当，时， （平方米）． 18. 如图，在中，，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长是26，，求的周长． 【答案】（1）证明见详解； （2）36 【解析】 【分析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形； （2）由（1）知：AD=CD=CB=10，由△BCD的周长是26，可得AB=26-10=16，由AB=AC，可得AC=16，进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=16+10+10 =36． 【小问1详解】 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB==72°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC， ∴∠ACD=∠A=36°， ∵∠CDB是△ADC的外角， ∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°， ∴∠B=∠CDB， ∴CB=CD， ∴△BCD是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵AD=CD=CB=10，△BCD的周长是26， ∴AB=26-10=16， ∵AB=AC， ∴AC=16， ∴△ACD的周长=AC+AD+CD=26+10+10=36． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 19. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【解析】 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 20. 如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）等边三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由推得，根据边角边推得三角形全等； （2）由推得，从而得到，结合推得是等边三角形． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）；（2）32；（3）80；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 22. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）______（用含的式子表示）； （2）当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【答案】（1） （2）①秒；②不能 （3）11或12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用t可表示出即可求得； （2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 【小问2详解】 ①当点Q在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分． 【小问3详解】 ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则（cm）， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨江中学期末测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分式化成最简分式为________． 8. 分解因式：5a3- 20a=___________． 9. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为____________． 10. 如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求________． 11. 如图，在中，平分若则____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解分式方程：． 13. 计算：． 14. 如图，，求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个，使是一个轴对称图形； （2）在图②中画一个，使它与全等； （3）在图③中画一个，使它与的周长相等． 17. 如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． （1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； （2）当，时，求S的值． 18. 如图，在中，，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长是26，，求的周长． 19. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 20. 如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 22. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）______（用含的式子表示）； （2）当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $