精品解析：广东省深圳市西乡中学2025-2026学年上学期九年级 数学1月月考试卷

西乡中学初（三）数学 一、选择题（3×13=39分） 1. 按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下面说法正确的是（ ） A. 相似三角形周长的比等于相似比的平方 B. 对于反比例函数，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程是一元二次方程 D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 7. 函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y1＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y2＞y1＞y3 8. 如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于___________． 9. 已知，则=______ 10. 如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 11. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 12. 如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则______． 13. 如图，在中，，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ______． 三、解答题 14. 解方程． （1） （2） 15. 某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是______，平均数是______． （2）在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否人选，并说明理由． （3）若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率． 16. 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶，产于安徽省黄山（徽州）一带，也称徽茶．有诗曰：“未见黄山面，十里闻茶香．”某茶庄以400元的价格收购一批毛峰，物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本的，经试销发现，日销量与销售单价元满足一次函数关系，部分对应数据如下表： 元 … 400 600 … … 100 60 … （1）根据表格中提供的数据，求关于的函数关系式； （2）在销售过程中，每日还需支付其他费用7000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润为1000元？ 17. 如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度. 18. 如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB． （1）作点A关于BD的对称点C；（要求∶尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O． ①求证∶四边形ABCD是菱形； ②取BC的中点E，连接OE，若OE=，BD=14，求点E到AD的距离 19. 如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， （1）求的值； （2）在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； （3）若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 20. 解答下列问题 （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等．请你证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； （3）【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西乡中学初（三）数学 一、选择题（3×13=39分） 1. 按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．根据左视图是从左面看到的视图，即可求解． 【详解】解：从左边看到的是． 故选：D． 2. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，可得共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种， ∴该小孩为女孩的概率为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 3. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 4. 下面说法正确的是（ ） A. 相似三角形周长的比等于相似比的平方 B. 对于反比例函数，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程是一元二次方程 D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定，分别根据相似三角形的判定与性质的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定即可． 【详解】解：A、相似三角形的周长比等于相似比，所以A选项错误，不符合题意； B、对于反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，所以B选项错误，不符合题意； C、关于的方程，当时是一元二次方程，所以C选项错误，不符合题意； D、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 6. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 7. 函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y1＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y2＞y1＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点进行分析解答即可． 【详解】解：∵﹣k2﹣4＜0， ∴函数图象位于二、四象限， ∵（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞0； 又∵（，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y2＞y1＞y3． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意当k＜0时，在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大． 8. 如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和折叠的性质，构造出正确的辅助线是解决本题的关键． 延长，交于点H，根据题意设，再根据平行四边形的性质得到，进而可得，得，再根据可得，得进而即可得到． 【详解】解：如图，延长，交于点H， ∵， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为：． 9. 已知，则=______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据比例的基本性质，由已知等式直接求解与的比值，即可. 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 11. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 根据题意得到，当时，，得到小孔到蜡烛的距离至多是，即可得到答案． 【详解】解： 根据函数图象得， ， 当时，， 小孔到蜡烛的距离至多是， 故答案为：． 12. 如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案． 【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， ， 轴， 轴，， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键． 13. 如图，在中，，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长，交于，过作，交的延长线于，则，依据，即可判定，进而得，即可得到，设，，即可得，，得到，再根据勾股定理，即可得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于，过作，交的延长线于，则， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， ∴中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 14. 解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 15. 某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是______，平均数是______． （2）在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否人选，并说明理由． （3）若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率． 【答案】（1）83，83 （2） 小涵的综合成绩是：（分），小涵能入选． 理由：由频数分布直方图，可得综合成绩低于80分的学生有5名，而小涵的综合成绩为83.1分，高于80分， 班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，小涵能入选． （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数、平均数、树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位数和平均数的定义求解； （2）根据扇形统计图算出综合成绩，由频数分布直方图进行判断； （3）设2位第三方机构的评委为，3位本校老师的评委为，画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：将数据从小到大排列：； ∴中位数为，平均数为； 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设2位第三方机构的评委为，3位本校老师的评委为，画出树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中只有1位是第三方机构的评委的可能结果有12种， 故给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率为． 16. 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶，产于安徽省黄山（徽州）一带，也称徽茶．有诗曰：“未见黄山面，十里闻茶香．”某茶庄以400元的价格收购一批毛峰，物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本的，经试销发现，日销量与销售单价元满足一次函数关系，部分对应数据如下表： 元 … 400 600 … … 100 60 … （1）根据表格中提供的数据，求关于的函数关系式； （2）在销售过程中，每日还需支付其他费用7000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润为1000元？ 【答案】（1） （2）500元 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式，再根据“销售单价不低于成本且不得超过成本的”确定x的取值范围； （2）日利润等于每件利润与日销量的积减去其他费用，由此列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数关系式为． 将，代入， 可得， 解得， ∵销售单价不低于成本且不超过成本的， ∴， 即， ∴关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 又∵， ∴． 即当销售单价为500元时，该茶庄日利润为1000元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是能够用待定系数法求解一次函数解析式，根据利润、销量、其他费用的关系列出一元二次方程． 17. 如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度. 【答案】 （1）根据题意画图如图所示. （2）路灯的高度为2.4米. 【解析】 【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的头顶所在； （2）由题意易得小明的影长，利用△EGF∽△EDC可得路灯CD的长度． 【详解】解：（1）略 （2）∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明的身高为1.5米， ∴小明的影长CF为3米. ， ， ， ， ∵小明离里程碑E恰好5米，即米， ， ， 答：路灯的高度为2.4米. 【点睛】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例． 18. 如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB． （1）作点A关于BD的对称点C；（要求∶尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O． ①求证∶四边形ABCD是菱形； ②取BC的中点E，连接OE，若OE=，BD=14，求点E到AD的距离 【答案】 （1）如图所示：点C即为所求； （2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵C是点A关于BD的对称点， ∴CB＝AB，CD＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C； （2）①根据菱形的判定即可求解； ②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，勾股定理得到OB＝7，OA＝24，AD＝25，再根据菱形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②过B点作BF⊥AD于F，则BF的长即为点E到AD的距离， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝7， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2OE＝25， ∴OC＝＝24， ∴OA＝24， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝25， ∴BF＝×24×7×2×2÷25＝， 故点E到AD的距离是． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键． 19. 如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， （1）求的值； （2）在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； （3）若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，代入解析式即可求出值； （2）先求出点坐标，再求出解析式，利用面积列方程求解即可； （3）分类讨论，利用一线三垂直构造相似求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 反比例函数表达式为， ， ∵矩形中， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 整理得， 解得或， 点在上方， ， ； 【小问3详解】 解：设，， 当时，如图， 此时需要满足，即点在垂直平分线上，很明显无满足题意的点； 当时，此时， 如图，过作轴，再分别过、作的垂线段，垂足分别为点、， 则， ， ∽， ， ， 解得或， 在第三象限， ， 即， ， ， 解得， ； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 综上，， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数解析式、坐标与图形面积、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 解答下列问题 （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等．请你证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； （3）【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）或10 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，即可； （2）连接，连接，证明，得到，推出，即，在中，，等量代换得到，即可； （3）过A作于K，连接，设交于R，三线合一得到，得到，由三角形中位线定理，得到，推出，得到，得到，在中，，求出，推出， ，设，则，，在中，，列方程求出的长，进而得到的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：过A作于K，连接，设交于R，如图： ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ∴， 解得或， ∴或5， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $