精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

盘锦市兴隆台区辽河中学2025－2026学年度第一学期 九年级期末质量监测数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 6. 下列说法正确是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 7. 若点，在第二象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 13. 如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，则F到的距离为 _______． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 15. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值．在，，0，1，2中选择一个数作为的值再计算． 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 18. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦：为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D． 将所得数据进行收集、整理、描述． 收集数据 七年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 170 1.51 1.42 1.59 1.72 体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 21.6 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 七年级10名女生数据统计表 整理、描述数据 七年级20名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 3 2 4 6 2 1 0 应用数据 （1）_____，_____； （2）已知该校七年级男生260人，女生240人． ①估计该校七年级男生偏胖的人数； ②估计该校七年级学生的人数． （3）张老师在七年级某班中随机抽取两个学生，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组，且每组人数相等： A．；B．；C．；D．．请用画树状图或列表的方法，求两人都不是肥胖的概率． 19. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天营业额最大，最大营业额为多少元？ 20. 如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点，均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若， （1）求的长； （2）求的长． 21. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）__________，__________； （2）求点到道路的距离； （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 22. 综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市兴隆台区辽河中学2025－2026学年度第一学期 九年级期末质量监测数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足．利用一元二次方程根的判别式，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：的根为或， 有两个不等实数根，故A不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故B不符合题意； 由知， 有两个不等实数根，故C不符合题意； 由知， 有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 若点，在第二象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．在第二象限，可得，即可解得答案． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得：； 故选：A 8. 点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是反比例函数的图象和性质，根据题意，则，根据，得到反比例函数在第一，三象限，在每个象限内反比例函数随着的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， ∴反比例函数在第一，三象限，在每个象限内反比例函数随着的增大而减小， ∵， ∴点第三象限，点在第一象限， ∴． 故选：C． 9. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象， 可得a＜0，b＞0，c＜0， ∴y=ax+b过一、二、四象限， 双曲线在二、四象限， ∴C是正确的． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系． 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 12. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【答案】4500 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 13. 如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，则F到的距离为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，勾股定理，熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案． 由题知平分是的垂直平分线，F为的中点，计算，作，为等腰直角三角形，且，由，求出，可得F到的距离为，即可解答． 【详解】解：由题知：平分是的垂直平分线，F为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， 过点F作于点H， ∴， F到的距离为， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） ∴ F到的距离为． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故答案为：22． 15. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值．在，，0，1，2中选择一个数作为的值再计算． 【答案】（1） （2）或（任取一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、负指数幂、二次根式及特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据负指数幂、绝对值及二次根式的混合运算可直接进行求解； （2）先通分，根据平方差公式及提公因式法进行因式分解，接着利用除法法则变形，约分得到最简结果，再由分式有意义进行选择的值代入计算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式， 又因为表达式中含，除数为， 所以且， 解得且， 则只能从， 2中选择进行计算， 当时，原式，当时，原式（任取一个即可）． 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 18. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦：为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D． 将所得数据进行收集、整理、描述． 收集数据 七年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 21.6 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重（） 46.4 490 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 七年级10名女生数据统计表 整理、描述数据 七年级20名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 3 2 4 6 2 1 0 应用数据 （1）_____，_____； （2）已知该校七年级男生260人，女生240人． ①估计该校七年级男生偏胖的人数； ②估计该校七年级学生的人数． （3）张老师在七年级某班中随机抽取两个学生，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组，且每组人数相等： A．；B．；C．；D．．请用画树状图或列表的方法，求两人都不是肥胖的概率． 【答案】（1）22，2 （2）①人；②人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，频数分布表，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据计算公式即可求解；由抽取的10名男生数减去其余组别的人数即可求解； （2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， 故答案为：22，2； 【小问2详解】 解：①估计该校七年级男生偏胖的人数有：（人）； ②估计该校七年级学生的人数有：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两人都不是肥胖的结果数有9种， ∴两人都不是肥胖的概率是． 19. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【解析】 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； 【小问2详解】 解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 20. 如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点，均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，掌握相关性质的应用是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理及平行四边形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可得到； （2）连接，过O点作于H点，交于P点， 证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【小问1详解】 解：连接如图， 以为直径的与相切于点， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：延长交于点H，连接，设、交于点M， ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 21. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）__________，__________； （2）求点到道路的距离； （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】（1）， （2）2.0千米 （3） 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； 小问2详解】 过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． 【小问3详解】 连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 22. 【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为；②或 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等得出，由题意可得，，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由题意可得，由同角的余角相等可得，证明，得出，，求出，即可得出结果； （3）①由（1）可得，，，则和都是等腰直角三角形，由轴对称的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出四边形为正方形，过点作于点，求出，得到，分两种情况：当时，；当时，此时，求出与的函数表达式为，再由二次函数的性质即可得出结果；②记正方形的中心为，由题意可得，连接、、，则，结合直角三角形的性质可得，从而得出点、、、、都在上，且、为直径，由圆周角定理可得，过点作于点，作于点，则，，四边形为矩形，由勾股定理可得，则，求出正方形的面积为，从而得出，由此计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），，证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）①由（1）可得：，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∵点与点关于对称， ∴为等腰直角三角形，， ∴四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 当时，， ∴； 如图，当时，此时， 同理可得：； 综上所述，与的函数表达式为， 当时，有最小值，最小值为； ②如图，记正方形的中心为， ∵， ∴， 连接、、， ∵正方形的中心为， ∴， ∵是直角斜边上的中线， ∴， ∴， ∴点、、、、都在上，且、为直径， ∴， 过点作于点，作于点， ∴，，四边形矩形， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， ∴， 解得：或，经检验都符合题意； 综上所述，当时，为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $