精品解析：山东省聊城市聊城运河教育联合体月考2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次集中训练八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. ，，0，，，，，，，中无理数的个数有（  ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：含的数；开方开不尽的数；以及像，这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数）． 由题意依据无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数进行分析解答即可． 【详解】解：，， 所以无理数为，，，共3个． 故选：B 2. 下列命题的逆命题中，是真命题的为（  ） A. 无理数都是无限小数 B. 成轴对称的两个图形全等 C. 若，则 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，准确找出各选项的逆命题是解题的关键． 找出各选项的逆命题，再对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．逆命题无限小数都是无理数为假命题，故本选项不符合题意； B．逆命题全等的两个图形成轴对称为假命题，故本选项不符合题意； C．逆命题若，则为假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题若三角形的两锐角互余，则它是直角三角形为真命题，故本选项符合题意 故选：D． 3. 下列说法中正确的有（  ）. ①是的算术平方根；②的算术平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是或；④有理数与数轴上的点一一对应． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的概念，涉及算术平方根的定义、立方根的性质、实数与数轴的对应关系．解题关键是准确掌握每个概念的细节，逐一辨析说法的正误． 逐一判断每个说法的正确性：①根据算术平方根定义验证；②先计算再求其算术平方根；③求解立方根等于本身的数；④区分有理数与实数的对应关系． 【详解】解：①∵ ， ∴是的算术平方根，正确； ②∵， ∴的算术平方根是，错误； ③∵设数为，，则，，， ∴，或， ∴说法漏了，错误； ④∵实数与数轴上的点一一对应，但有理数只是实数的一部分，错误； ∴只有①正确，共个． 故选：． 4. 下列算式中，正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的对应进行判断即可． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； ，因此选项B不符合题意； ，因此选项C不符合题意； ，因此选项D符合题意． 故选：D． 5. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，垂直平分线的定义，三角形内角和定理；由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分，可得到，，然后由即可求解． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分,     ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 6. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 7. 已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（  ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征；由线段垂直平分线的性质得，由三角形外角的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ； 故选：B． 9. 下列说法正确的有（  ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的相关概念和性质，包括最简分式的定义、分式值为的条件、分式的基本性质以及分式的缩放． 【详解】①∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，正确； ②∵分式值为0需分子为0且分母不为，分子时，但当时，分母，分母为，分式无意义，∴只有时值为，错误； ③∵分式基本性质要求乘除的整式不为，但 可能为（如 ），此时分母，分式无意义，∴等式不一定成立，错误； ④∵将扩大倍后，分式变为，值扩大倍，∴分式的值改变，错误； 综上，只有①正确； 故选：A． 10. 如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（  ） A. B. 是直角三角形 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据证明，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，又是正三角形，可得，得出，再由，，可得，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 故正确，该选项不符合题意； 是正三角形， ， ， ， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且， 故正确，该选项不符合题意； 又是正三角形， ， ， 故D正确，该选项不符合题意； ，， ， 故C错误，该选项符合题意； 故选：C． 11. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 无数 【答案】A 【解析】 【分析】因为添加的钢管长度都与OE相等，且∠AOB＝18 ，所以 ∠EFO＝18 ，∠FEG＝36， ∠FGO＝∠FEG＝36，依次类推，第4个等腰三角形的底角为72，第5个等腰三角形的底角为90，则第5个等腰三角形不存在．因此，最多添加4根． 【详解】 如图 ∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18 ∴ ∠EFO＝∠EOF＝18 ∴ ∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36 ∵FE＝FG ∴ ∠FGO＝36 ∴ ∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54 ∵GF＝GH ∴∠GHO＝54 ∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72 ∵HG＝HM ∴∠HMO＝72 ∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90 此时，不能再添加了， 因此最多添加4根， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在中，为钝角，以点为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（  ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，进而可依据“”判定△和△全等，然后根据全等三角形的性质可对①进行判断；设与交于点，在△中，，再根据，得，进而得，由此可对②进行判断；过点作于点，于点，根据和全等得，，进而根据三角形的面积公式得，则平分，然后根据得，由此可对④进行判断；根据，得，当时，平分，再根据得，由此得，可是根据已知条件无法判定，由此可对③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：和都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， 故①正确； 设与交于点，如图1所示： 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故②正确； 过点作于点，于点，如图2所示： ， ，， ，， ， 点在的平分线上， 平分， ， ， ， 故④正确； ，， ， 当时，，即平分， ， ， ， 可是根据已知条件无法判定， 故③不正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法．通分化为同分母分式减法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【答案】##127度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 15. 不等式的所有整数解的和是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，先解不等式，得到的范围，再找出所有整数解，最后求它们的和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∴不等式的所有整数解为， ∴不等式的所有整数解的和为， 故答案为：． 16. 计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 分别计算负指数幂、绝对值、立方根和零指数幂，再结合有理数运算法则进行加减运算． 【详解】解：原式=． ． 故答案为：． 17. 如图，中， ， ，平分，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，， ∴ ，， 在与中， ∵ ， ，， ∴ ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∵， ∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 三、解答题：本题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）无解 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，注意解分式方程要检验． （1）先找出最简公分母，进而去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的根即可，最后注意检验方程的根； （2）类比（1）中方法求解，即可解题； （3）整理后用直接开平方法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ， 经检验，使得， 是该方程的解； 【小问2详解】 解： ， 经检验，使得， 是增根，该方程无解； 【小问3详解】 解： 解得或． 19. 先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 分式有意义， ， ， 当时， 原式=． 20. 解下列不等式（组）： （1）． （2），将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2）， 在数轴上表示如图所示， 整数解为：、、 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，解题的关键在于熟练掌握解一元一次不等式基本步骤． （1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，并确定所有整数解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为 它的所有整数解为、、． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． （1）画出关于直线m对称的； （2）直线m上是否存在点P，使点P到点A，C的距离相等．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）的面积为 ，边上的高为 ． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）存在，所作点P如图所示： （3）， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）结合网格特点，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与直线m的交点即为为满足题意的点P； （3）利用割补法即可求出的面积，再利用勾股定理求出，进而即可求出边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为：， ， 边上的高为：； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的判定，勾股定理，割补法求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． 22. 如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） （1）是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； （2）求原来的人行道的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； （2）原来的人行道的长为千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 23. 随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元 （2）一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩8个，则地下充电桩2个；②新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个；③新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． （1）设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上充电桩个，则地下充电桩个，根据投资金额不超过万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． 【小问1详解】 解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据题意，得 ， 解得， 答：新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元． 【小问2详解】 解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个， 根据题意，得， 解得：． 整数的值为8，9，10， 一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩8个，则地下充电桩2个； ②新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个； ③新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个． 24. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次集中训练八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. ，，0，，，，，，，中无理数的个数有（  ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列命题的逆命题中，是真命题的为（  ） A. 无理数都是无限小数 B. 成轴对称的两个图形全等 C. 若，则 D. 直角三角形的两锐角互余 3. 下列说法中正确的有（  ）. ①是的算术平方根；②的算术平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是或；④有理数与数轴上的点一一对应． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列算式中，正确的是（  ） A. B. C. D. 5. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（  ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（  ） A. 2 B. 3 C. D. 6 9. 下列说法正确的有（  ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（  ） A. B. 是直角三角形 C. D. 11. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 无数 12. 如图，在中，为钝角，以点为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（  ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 15. 不等式的所有整数解的和是_____． 16. 计算的结果为_____． 17. 如图，中， ， ，平分，则的最大值为_____________． 三、解答题：本题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1） （2） （3） 19. 先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 20. 解下列不等式（组）： （1）． （2），将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． （1）画出关于直线m对称的； （2）直线m上是否存在点P，使点P到点A，C的距离相等．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）的面积为 ，边上的高为 ． 22. 如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） （1）是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； （2）求原来的人行道的长． 23. 随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 24. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $