各位家长朋友们，同学们好。本期视频我们来讲第78个题型，平面向量的数量级相关的最值问题。这类问题可以说是数量级应用的较难的一类问题。首先我们来看一下，这有一个非常重要的经典的习题，这道题是与平面向量基本定理相关，又与平面向数量级相结合交叉综合的一道典型题。我们来看一下这道题主要反映的一个什么样的思路。我们知道你要想求数量级的最值，往往有这样的几个方法。第一，几何法就是代数法，我们这道题就用它的几何一，用几何法算较快。我们来看一下这道题的题，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，如果AD等于DM我的是把它标一下，就是AD和DM相等，N是线段BD上的一个动点，注意它只在线段上的在运动，过N作AM的垂线，垂足为H这里面这个是啊是垂直的，这个图没有画好，大家理解这样一个含义就可以了。好，他说如果AM向量乘以MN向量最小的时候，我们看图中的AM向量。在这里MN向量是这个位置，AM乘MN我们根据数量积的几何一，它就等于MN向量在AM向量上的投影乘以AM向量的模。所以这个就等价于MN向量在am向量上的投影。与am向量我的成绩这个就是它的几何意。又因为我们知道这个里面的MN向量在AM向量投影就是MH的长，所以说AM向量乘以MN向量就等于MH向量的模乘以AM向量的模。又因为他们投影之后是反向，所以说这个再乘以cos 180度，然后我们在这里再乘以一个负一就行了。又因为你这个你这个AM向量它是一个定值，注意，这是一个定值，这是一个定值。定值的话如果说你要求最小值就相当于求MH乘AM的最大值。换句话说你要求最小值就是当且仅当MH它的模就是MH向量的模最大的时候符合题。那么最大的时候我们来看，随着你这个N点在线段B运动的过程当中，你看我们逐渐向它做垂线，你这个H也在动。所以当时紧张由D向它做垂线的时候达到最大值。D向这个AM做垂线的时候，那么在三角形ADM中就相当于由这个等腰三角形ADM的顶点向底边做垂线。根据等腰三角形的性质，我们知道这个H一定是AM的中点，GH为AM的终点是达到最大。好，这是利用几何法来求数量积的最值，这也是这道题结合的非常好的一个地方。那我们再看，我们知道这个终点之后，我们就可以利用平面向量基本定理我们来直接推了。这此时的HC向量，我们可以再根据向量的加法，它就可以拆成HM向量加上一个MC向量。好，我们再看HM向量，HM向量就等于2分之1AM向量，加上一个MC向量就是2分之1BC向量，注意，我们这个结果都是用AB向量和AB向量来表示的。那么这个AM向量我们可以写成AB向量加上一个BM向量。所以前面还有一个2分之1，就是我们可以写成2分之1AB加2分之1BM再加上一个2分之1BC，继续整理，这个就等于2分之1AB向量，保留BM向量就是二分之1BCBC再乘以二分一又4分之1BC所以这个是可以变成4分之1BC向量。那么4分之1BC加2分之1BC那么就是4分之3BC那么BC向量又等于AB向量，所以这个结果就是2分之1AB向量加上一个4分之3AB向量。最后的这个答案就选的是C好，大家可以发现这道题非常的经典，它主要是将数量级与平基本定理完美的结合起来。好，本期视频我们就讲到这里，感谢您的收看，下期视频我们再见。