第21章 一元二次方程 单元复习检测 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年度第一学期人教版九上数学 第21章《一元二次方程》单元复习检测试题 答案和解析 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B B A D C D 1.【答案】  【解析】解：、，是一元一次方程，故A不符合题意； B、，是分式方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元二次方程，故D不符合题意； 故选：． 根据一元二次方程的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】将代入方程得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：将代入方程 得：，解得：． 故选：． 本题考查了一元二次方程根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：根据题意得且， 解得且． 故选：． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】 解：， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程的解及代数式求值． 根据题意把代入，得，然后整理原代数式，代入计算即可得到答案． 【解答】 解：把代入，得， ， ． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】解：设这个航空公司共有飞机场个， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 故选：． 设这个航空公司共有飞机场个，根据“每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】  10.【答案】  二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.【答案】  【解析】【分析】 将代入题目中的方程，即可求得的值，本题得以解决． 【详解】 解：是方程的解， ， 解得，， 故答案为． 【点睛】 此题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 12.【答案】  13.【答案】，  14.【答案】  15.【答案】  三、解答题一：本题共3小题，共21分。 16.【答案】解：原方程变形为    ，  ． 【解析】【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单． 【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则． 17.【答案】  18.【答案】【小题】 由一元二次方程的根与系数的关系，得，．   【小题】 【小题】  四、解答题二：本题共3小题，共27分。 19.【答案】【小题】 原方程有两个实数根，，解得  【小题】 由一元二次方程的根与系数的关系，得，．，，解得   20.【答案】【小题】 ，无论为何值，方程总有实数根  【小题】 由题意知，，．，整理，得，解得或    21.【答案】解：设每千克涨价元，则每千克盈利元，每天可售出千克．根据题意，得，解得，又每千克涨价不能超过元，答：每千克应涨价元．  五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分。 22.【答案】【小题】 设，则原方程可化为 解得，． 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 原方程可变形为， 设，则原方程可化为， 公式法解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得， 原方程的解为，． 设，则有， 原方程可化为， 公式法解得，． 当时，，此方程无解； 当时，，则，解得，． 经检验，原方程的解为，． 【小题】 令，，则原方程组可化为整理得 得，解得，代入可得， 方程组的解为或 当时，，， ，代入，可得， 此时，方程无解，故不符合题意， 当时，，因此的值为．   23.【答案】【小题】 【小题】 其“友好方程”为因式分解，得于是得，或，，  【小题】 互为倒数 【小题】 ． 补全证明过程如下：．与互为倒数  【小题】 ，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期人教版九上数学 第21章《一元二次方程》单元复习检测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(     ) A. B. C. D. 2.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的两根之和为(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 且 5.用配方法解方程时，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 6.已知是方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线，则这个航空公司共有飞机场(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.某品牌手机原来每部售价为元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，某农场拟建一间面积为平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙假设墙足够长，另三面用总长米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为米，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若是方程的解，则的值为          ． 12.关于的方程是一元二次方程，则的值是          ． 13.一元二次方程的根为          ． 14.设，是方程的两个根若，则           ． 15.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，那么出发后          时，线段的长为． 三、解答题一：本题共3小题，共21分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.解方程：． 17.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的倍如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽是多少？ 18.已知，是一元二次方程的两个实数根，求下列各式的值． ；；． 四、解答题二：本题共3小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求的取值范围； 若，求的值． 20.已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 21.某水果超市销售一种高档水果，售价为每千克元．若按售价销售，则每千克盈利元，每天可售出千克．在进价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但每千克涨价不能超过元．经市场调查发现，若每千克涨价元，则日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.例：解方程． 设，则，原方程可化为，，，解得，． 当时，，；当时，，原方程有四个根；，，，． 以上方法叫换元法，试用换元法解答下列问题． 解方程：；；． 已知实数，满足求的值． 23.综合与探究 【定义】我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”． 【示例】如的“友好方程”是．一元二次方程的“友好方程”是          ． 【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的根． 【猜想】当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为          ． 【证明】证明中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程备注：证明一组关系即可证明：方程的两根为，，方程的两根为，________________， 【拓展】已知关于的方程的两根是，，请利用上述结论，直接写出关于的方程的两根． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $