专题3 追及和相遇问题-【数理报】2025-2026学年高中物理必修第一册同步学案（教科版）

微 专 题 专题3)追及和相遇问题 ⊙四川刘斌 基础知识 基础考点 1.追及与相遇问题的概述 考点一：初速度小者追初速度大者 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物 类型 图像 说明 体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不 断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小， ①北=0以前，后面 这时就会涉及追及、相遇和避免碰撞等问题， 匀加速 物体与前面物体间 追匀速 2.分析追及问题的方法技巧可概括为“一 距离增大 个临界条件”、“两个等量关系” ②t=o时，两物体 (1)一个临界条件：速度相等.它往往是物 相距最远，为x0+ 体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界 匀速追 △x(x。为两物体初 条件，也是分析判断问题的切入点； 匀减速 始距离)》 (2)两个等量关系：时间关系和位移关系， ③t=t0以后，后面 通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系 物体与前面物体间 匀加速 是解题的突破口. 距离减小 追匀减 3.追及相遇问题的解题方法： ④能追上且只能相 速 (1)物理法（临界条件法）：抓住“两物体能 遇一次 否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题， 例1.（追者匀速 挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情被追者匀减速)如图1 境图 所示，A、B两物体相距 图1 物体B追赶物体A:开始时，两个物体相距s=7m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以 x0,当a=心，时，若xg>x1+x,则能追上；若xg1=4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时 =xA+xo,则恰好追上；若xB<xA+xo,则不能正以"a=l0m/s向右匀减速运动，加速度a= 追上. -2m/s2,则A追上B所经历的时间是( (2)数学法（二次函数法）：设运动时间为t, A.7s B.8s 根据条件列方程，得到关于二者之间的距离x与 C.9s D.10s 时间t的二次函数关系 解析：由题意知，t=5s时，物体B的速度减 ①若△>0，即有两个解，说明可以相遇为零，位移大小x=a=25m,此时A的位 1 两次； 移x4=v4t=20m,A、B两物体相距△s=s+xB ②若△=0，一个解，说明可以相遇一次； -x4=7m+25m-20m=12m,再经过△= ③若△<0，无解，说明追不上或不能相遇. 当：=一品时，函数有极值，代表两者距离 △s=3s,A追上B,所以A追上B所经历的时间 是5s+3s=8s,故B正确 的最大或最小值 答案：B (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的 例2.（追者匀 运动图像.若用位移一时间图像求解，如果两个加速，被追者匀减 401m 物体的位移一时间图像相交，则说明两物体相速)五人制足球的”】 遇.”-t图像在已知出发点的前提下，可由图像赛场长40m,宽 足球 边线 “面积”判断相距最远、最近及相遇。 20m,如图2所示 图2 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运在比赛中，攻方队员在中线附近突破防守队员， 动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为初速 止运动. 度为“1=6/s的匀减速直线运动，加速度大小N 数理极 为a1=1m/s2.该队员将足球踢出后立即由静 止开始追赶足球，他的运动可视为匀加速直线运 动，最大加速度为a2=1m/s2,能达到的最大速 度为v2=4m/s.该队员至少经过多长时间能追 上足球 解析：设足球从开始做匀减速运动到停下来 的位移为x,则 x1= 合解得=18 足球匀减速运动时间为4，=4=6s 该队员以最大加速度加速至“，所需时间 2= 02=4s 在此过程中的位移x?= 242 之后该队员做匀速直线运动，到足球停止运 动时，其位移为x3=2(41-2)=8m 由于x2+x3<x1,故足球停止运动时，该队 员没有追上足球，然后该队员继续以最大速度匀 速运动追赶足球，由匀速运动公式得 x1-（x2+x3）=243 代入数据解得t3=0.5s 该队员追上足球的时间t=1+3=6.5s. 答案：6.5s 考点二：初速度大者追初速度小者 类型 图像 说明 开始追赶时，两物 体间距离为x,之 后两物体间的距离 匀减速 在减小，当两物体 追匀速 速度相等时，即t= to时刻： ①若△x=x0,则恰 能追上，两物体只 能相遇一次，这也 是避免相撞的临界 匀速追 条件 匀加速 △x ②若△x<x0,则不 f to 12 能追上，此时两物 体最小距离为x, △x ③若△x>x0,则相 匀减速 遇两次，设t1时刻 追匀加 △x1=x0,两物体第 速 一次相遇，则2时 刻两物体第二次相 遇(t2-to=to-t1) 数理极 例3.（追者匀速，被追者匀加速）一步行者 以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共 汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车 以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则 A.人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了 36m B.人不能追上公共汽车，人、车最近距离为 C.人能追上公共汽车，追上车前人共跑了 43 m D.人不能追上公共汽车，且车开动后，人车 距离越来越远 解析：在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了， 汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，当 汽车加速到6.0/s时二者相距最近.汽车加速 到6.0m/s所用时间t=6s,人运动距离为6× 6m=36m,汽车运动距离为18m,二者最近距 离为18m+25m-36m=7m,故AC错误，B正 确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离 先减小后增大，故D错误 答案：B 例4.（追者匀减速，被追者匀速）汽车正在 以10m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在 它的正前方x处有一辆自行车以4m/s的速度做 同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做α =-6/s2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自 行车，则x的大小为 ( A.8.33m B.3 m C.3.33m D.7 m 解析：汽车减速到4m/s所需的时间t= 2.4=1s,此时汽车的位移x=4+a: 自行车的位移x2=2,若汽车恰好碰不上自行 车，则有x2+x=x1,代入数据解得x=3m,故B 正确。 答案：B 考点三：图像法在追及相遇问题中的应用 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进 行定性分析或定量计算. (2)有时将运动图像还原成物体的实际运 动情况更便于理解 2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些 追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作 出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这 样更直观、简捷 3.若为x-图像，注意交点的意义，图像相 交即代表两物体相遇；若为α-t图像，可转化为 v-t图像进行分析. …微专 题 例5.甲、乙两车 m 在同一平直公路的两 条平行车道上同时( =0)并排出发，甲车 做匀速直线运动，乙车 10 做初速度为0的匀加 图3 速直线运动，它们的位移一时间图像如图3所 示，比较两车在0~10s内的运动，以下说法正 确的是 ( A.t=5s时，甲、乙两车速度大小相差最大 B.t=10s时，甲、乙两车速度大小相差最小N C.t=5s时，两车间距达到最大 D.t=10s时，乙车的速度一定是甲车的 2倍 解析：乙车做初速度为0的匀加速直线运 动，根据x=2a,将(10,10)代人可得a 2m/s2,甲车做匀速直线运动，速度为v甲= t 100 10 m/s=10m/s,t=5s时，甲、乙的速度分别 为v甲=10m/s,vz=at=10m/s,由此可知此 时两车速度相等，故A错误；t=10s时，甲、乙的 速度分别为v甲=10m/s,v'乙=al1=20m/s,由 此可知此时两车速度相差△v=v'z-甲 10m/s,乙车的速度是甲车的2倍，故B错误，D 正确；两车同时同地出发，t=5s时两车速度相 等，两车间距达到最大，故C正确 答案：CD 例6.甲、乙两车 在平直的公路上同时 从同一地点同向行驶， 两车的速度v随时间t 的变化关系如图4所 示，其中两阴影部分的 图4 面积相等(S1=S2),则 A.甲、乙两车均做直线运动 B.在0~2时间内，甲、乙两车相遇两次 C.在0~t2时间内，甲的加速度先减小后 增大 D.在0~2时间内（不包括2时刻），甲车一 直在乙车前面 解析：甲、乙两车均做直线运动，故A正确； 从图像可知，在0~2时间内，甲、乙两车图线与 t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等， 所以2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，故B 错误；在0~t2时间内，甲车的v-t图线斜率不 断增大，所以加速度不断增大，故C错误；在0~ 2时间内（不包括2时刻），甲车图线与t轴所包 围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面 积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两 车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲 7 车一直在乙车前面，故D正确 答案：AD 例7.假设高速公路上甲、乙两车在同一车 道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为o =30m/s,距离s。=100m.t=0时刻甲车遇紧 急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系 如图5甲、乙所示.取原运动方向为正方向.下面 说法正确的是 个a/Nms2) 个am"s2) 5 0 0 13 3 9 -5 -10 乙 图5 A.t=3s时两车相距最近 B.t=6s时两车距离最近为10m C.0~9s内两车位移之差为45m D.两车在0~9s内不会相撞 解析：由加速度一时间图像可画出两车的 速度一时间图像，如图6所示 /m) 30 6 9 图6 由图像可知，t=6s时两车同速，此时距离 最近，图中阴影部分面积为0~6s内两车位移 之差，4x=3×30×3m+3×30×(6-3)m =90m,则此时两车相距△s=s。-△x=10m, 故B正确，A错误；0~9s内两车位移之差为△x' 号×30×3m=5m,所以两辆车不会相撞， 故CD正确， 答案：BCD 【总结升华】 追及相遇问题的求解方法 (1)解题思路 分析物体 画运动 找两物体 列位移 运动过程 示意图 位移关系 方程 (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间 关系式、速度关系式和位移关系式： ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖 掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最 多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相 应的临界条件 ③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要 注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要 注意最后对解的讨论分析」 ④紧紧抓住速度相等这个关键点， ⑤做此类选择题时，图像法是最好的选择