专题01 统计与概率综合的五大热点题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题01 统计与概率综合的五大热点题型 题型一：利用频率估计概率 1 题型二：样本数字特征与概率的综合 3 题型三：统计图表与古典概型的综合 6 题型四：统计图表与互斥事件的综合 13 题型五：统计与相互独立事件的概率的综合 19 题型一：利用频率估计概率 1．（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 3．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 题型二：样本数字特征与概率的综合 5．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 6．（2025高一·全国·专题练习）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 7．（25-26高一上·辽宁鞍山·月考）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 8．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C．，且 D．随机事件，若，且，则为互斥事件 9．（25-26高一上·江西·期末）（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 题型三：统计图表与古典概型的综合 10．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 11．（25-26高一上·四川成都·开学考试）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对高一年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下.    (1)在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； (2)高一年级有1200名学生，估计学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； (3)在本次学期末抽样调查中，有2名男生和1名女生的“一周参与劳动时间”都是5小时，现从他们中随机选取2人代表参加学校组织的“劳动光荣”演讲比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率. 12．（25-26高二上·四川·月考）12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 13．（25-26高二上·广东珠海·月考）为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： (1)分别求出频率分布直方图中的； (2)求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； (3)若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率． 14．（25-26高二上·上海青浦·月考）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求这2件都是航天级芯片的概率． 15．（25-26高一上·辽宁锦州·月考）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 题型四：统计图表与互斥事件的综合 16．（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 17．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； (3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 18．（24-25高一上·江西·期末）为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 19．（24-25高二上·广东珠海·月考）第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 题型五：统计与相互独立事件的概率的综合 20．（25-26高二上·山东·月考）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 21．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 22．（24-25高一下·广东深圳·期末）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 23．（24-25高一下·北京朝阳·期末）某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下： (1)估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数） (2)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内的概率； (3)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案： 方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的书籍； 方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 统计与概率综合的五大热点题型 题型一：利用频率估计概率 1 题型二：样本数字特征与概率的综合 3 题型三：统计图表与古典概型的综合 6 题型四：统计图表与互斥事件的综合 13 题型五：统计与相互独立事件的概率的综合 19 题型一：利用频率估计概率 1．（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 3．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【详解】设事件为 “甲获胜”， 20组随机数，其中事件发生了18次， .故选：A. 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 【答案】0.44/ 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 题型二：样本数字特征与概率的综合 5．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 6．（2025高一·全国·专题练习）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误. 故选：AC. 7．（25-26高一上·辽宁鞍山·月考）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 【答案】AB 【详解】选项A：由题意某个个体被抽到的概率是，故A正确； 选项B：因为样本数据，，……，方差为4， 所以数据，，……，的方差为，故B正确； 选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 选项D：，所以第75百分位数是，故D错误. 故选：AB 8．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C．，且 D．随机事件，若，且，则为互斥事件 【答案】ACD 【详解】不妨设，根据极差定义， 由，极差为， 根据方差定义，新的数据的方差是，故A正确； 数据排序后为， 上四分位数为第百分位数，，则取第个数， 即上四分位数为，故B错误； 由可得， ，所以C正确； 由， 结合可知， 可得，解得， 根据互斥事件的定义，为互斥事件，故D正确。 故选：ACD 9．（25-26高一上·江西·期末）（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC. 题型三：统计图表与古典概型的综合 10．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400 (2) (3) 【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 11．（25-26高一上·四川成都·开学考试）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对高一年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下.    (1)在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； (2)高一年级有1200名学生，估计学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； (3)在本次学期末抽样调查中，有2名男生和1名女生的“一周参与劳动时间”都是5小时，现从他们中随机选取2人代表参加学校组织的“劳动光荣”演讲比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1)；条形图见解析 (2) (3) 【详解】（1）学期初随机抽取50名学生，组人数为人； 补全条形图如下：    （2）由学期末调查数据扇形图可知，劳动时间不低于的为组和组， 其中组占比，组占比， 则劳动时间不低于的人数占比为， 高一年级有1200名学生，则学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于的人数估计为人； （3）记名男生为男1，男2，名女生为女， 从3人中随机选取2人，所有可能结果为：（男1，男2），（男1，女），（男2，女），共3种， 其中恰好是1名男生和1名女生的结果有2种：（男1，女），（男2，女）， 所以选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为. 12．（25-26高二上·四川·月考）12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 【答案】(1) (2)分 (3). 【详解】（1）由图可得，得. （2）估计这名群众的分数的平均数为分. （3）由题意得抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 则该试验的样本空间为，共个样本点， 事件“这名群众的分数均在内”包含的样本点为， 所以这名群众的分数均在内的概率为. 13．（25-26高二上·广东珠海·月考）为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： (1)分别求出频率分布直方图中的； (2)求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； (3)若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1），得， ，得. （2）大理旅游满意度评分的平均数为： （分） （3）由分层抽样知，满意度在的两组中分别抽取人，人， 不妨设满意度在中抽取的3人为，满意度在中抽取的2人为， 从这5人中随机抽取2人所得基本事件为：，共10个， 其中选取的2人满意度分别在和内的基本事件为：，共6个， 所以. 14．（25-26高二上·上海青浦·月考）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求这2件都是航天级芯片的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . （3）由甲型芯片的频率分布直方图可知指标在和的频率相同， 根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 由乙型芯片的频率分布直方图可知指标在和的频率之比为， 所以根据分层抽样得，来自乙型芯片指标在和的分别为3件和1件，分别记为和， 从中任取2件，样本空间可记为：， 共15个， 记事件：这2件都是航天级芯片，则共1个， 所以. 15．（25-26高一上·辽宁锦州·月考）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 【答案】(1)，84分 (2) (3)78，9.4 【详解】（1）由频率分布直方图易知，，解得， 由图知，的频率为．的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以估计获奖学生的最低分数线为84分． （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，在内抽取1人，记为， 从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为： 则， 记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则， 由古典概型概率公式，可得． （3）样本数据在内的人数为，在内的人数为， 所以， ． 题型四：统计图表与互斥事件的综合 16．（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 17．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； (3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 【答案】(1)，分； (2)； (3)平均数为81，方差为27. 【详解】（1）由直方图知，可得， 由题设及图知，优胜成绩的分数线在内，设为，则，所以分； （2）由（1）知，5人中来自分别为2人、3人， 若抽取的两人都来自，概率为， 所以两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率为； （3）由题设，区间内的学生人数分别为人、人， 所以[70,90)内的学生成绩的平均数为分， 由[70,80)内的学生成绩方差为6，则， 所以， 由[80,90)内的学生成绩方差为1，则， 所以， 而[70,90)内的学生成绩的方差为， 由 ， 由 ， 综上，. 18．（24-25高一上·江西·期末）为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 【答案】(1)作图见解析 (2)65.71 (3)0.035 【详解】（1）评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的. 其频率分布直方图如图所示. （2）因为评分低于60分的频率为，评分低于80分的频率为，所以评分的70%分位数在内. 设70%分位数为x，则，解得， 即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71. （3）设事件A为“第一人评100分”，事件B为“第二人评100分”，事件C为“第三人评100分”，则A，B，C之间相互独立，且. 设事件D为“至少有一人评100分”，则， 则， 整理得. 故p的最大值为0.035. 19．（24-25高二上·广东珠海·月考）第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 题型五：统计与相互独立事件的概率的综合 20．（25-26高二上·山东·月考）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的， 所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为； （2）将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作；由题意得，， 所以，，，，， 所以. 21．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】(1)平均数为19，中位数为20 (2)24 (3)，，A，B不相互独立. 【详解】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 22．（24-25高一下·广东深圳·期末）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 【答案】(1)；； (2)（i）（ii）无关，理由见解析. 【详解】（1）由，又，解得：，， 甲解锁试卷在分钟时正好位于中间， 所以甲在分钟内解开锁的频率为：. （2）由题可知乙在分钟内解开锁的频率为：， 设甲开锁成功为事件，则，乙开锁成功为事件，则， （i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况， 所以其概率为：. （ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，,共6种情况， 则甲先开锁乙后开锁进入下一关的概率为: ； 假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况， 则乙先开锁甲后开锁进入下一关的概率为： ， 因，所以与他们的出场顺序无关. 23．（24-25高一下·北京朝阳·期末）某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下： (1)估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数） (2)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内的概率； (3)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案： 方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的书籍； 方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低. 【答案】(1)36.7 (2)0.24 (3)方案一所需费用较低． 【详解】（1）由图数据可知，学生平均每天阅读时间的各区间的频率依次为；0.1，0.14，0.26，0.3，0.2， 因此第70百分位数必在区间内，设该数为， 则有， 解得． （2）不妨设随机抽取的两人分别为甲、乙 设“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件， “甲平均每天课外阅读时间在内”为事件， “乙平均每天课外阅读时间在内”为事件， “乙平均每天课外阅读时间在内”为事件， “两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内”为事件． 由课外阅读时间在内的频率为0.5，在内的频率为0.24． 故与可估计为0.5，与可估计为0.24． 则 由互斥，及相互独立，相互独立， 可得 所以可估计为． （3）由题意可知，样本中“阅读积极分子”的频率为， 故总体中“阅读积极分子”的人数可估计为， 则“阅读待提高者”人数可估计为800． 方案一：奖励费用为元. 方案二：奖励费用为元. 所以方案一所需费用较低. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $