专题05 圆锥曲线（22个题型）（高效培优期末专项训练）数学沪教版高二选择性必修第一册

专题05 圆锥曲线（22个题型） 考点01 求圆的方程 考点02 利用圆的方程求参数 考点03 直线与圆位置关系的判断 考点04 由直线与圆的位置关系求参数 考点05 求圆的切线方程 考点06 已知切线求参数 考点07 圆的弦长问题 考点08 圆与圆的位置关系判断 考点09 圆的公共弦问题 考点10 圆与圆的公切线问题 考点11 椭圆、双曲线的标准方程 考点12 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题 考点13 椭圆、双曲线的中点弦问题 考点14 椭圆、双曲线的离心率问题 考点15 抛物线的标准方程 考点16 抛物线的定义与最值 考点17 椭圆、双曲线与抛物线的轨迹方程 考点18 圆锥曲线中的定点问题 考点19 圆锥曲线中的定值问题 考点20 圆锥曲线中的定直线问题 考点21 圆锥曲线中的面积问题 考点22 圆锥曲线中的探究性问题 考点01 求圆的方程 1．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 2．已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 3．已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 4．的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 5．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 考点02 利用圆的方程求参数 6．设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 7．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 8．若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．方程表示圆，则的取值范围为 【答案】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 10．设，若圆的面积为，则 ． 【答案】3 【分析】将圆化成标准方程得出半径为，根据面积建立等式即可求解． 【详解】由题意得圆的标准方程为， 则圆的半径为， 圆的面积为， 解得：， 故答案为：． 11．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 12．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 考点03 直线与圆位置关系的判断 13．已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式确定圆心到直线的距离，进而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为直线 与圆 没有公共点， 即直线 与圆 相离， 所以圆心到直线的距离：. 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 14．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合点与圆的位置、点到直线的距离公式求解判断. 【详解】由点在圆C外，得，则圆心C到直线l的距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l的距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C 15．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【详解】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：C. 16．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 17．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较即可求解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离： ， 所以直线与圆相切， 故选：. 18．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 考点04 由直线与圆的位置关系求参数 19．关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】把问题转化为曲线与有两个交点，画出图象，由数形结合思想即可求解. 【详解】关于的方程有两个不同的实数根， 即曲线与直线有两个交点， 设直线恒过的定点为，则， 作出图象，如图所示，设半圆与轴的交点为，则， 半圆的一条切线为，切点为，   ， 半圆可化为，直线即为， 圆心到直线的距离， 当直线与半圆相切时，则，解得或（舍去），即 要想满足题意，则直线应介于与之间（包括，不包括）， 所以的取值范围为. 故答案为： 20．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案. 【详解】对于曲线，两边平方并化简得， 所以曲线表示以原点为圆心，半径为的圆在轴下方的半圆， 画出图象如下图所示， 依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，即， 令原点到直线的距离，整理得， 解得或. 过和两点的直线的斜率为， 过和两点的直线的斜率为， 结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 21．设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意确定直线过定点，再由直线与圆始终有交点，代入得，再解不等式即可. 【详解】直线，即， 当时，方程恒成立， 所以直线过定点， 又直线与圆始终有交点， 所以定点在圆上或圆内， 则，即，又 所以解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 22．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 23．已知直线与圆. (1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； (2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）圆心到直线的距离为， 若圆上有且仅有两个点到的距离为，所以， 因此，的取值范围为. （2）若，则圆，且，如下图所示： 若直线轴，则直线与圆相离，不合乎题意， 所以直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为， 则. 24．已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将直线方程变形为，即可求定点，根据中点坐标公式求解对称圆的圆心即可得解， （2）根据点在圆外，即可求解. 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为， （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得 考点05 求圆的切线方程 25．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 26．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即，依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 27．已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出圆心和半径，得到关于直线对称点为，从而得到对称圆的方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径进行求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 28．已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先设圆心坐标再根据两点间距离公式得出半径等于点到切线距离计算求参即可；先设圆心坐标再根据垂直直线斜率关系得出参数再应用两点间距离公式得出半径即可； （2）分直线的斜率不存在及直线的斜率存在两种情况再应用点到直线距离分别求解. 【详解】（1）方法1：由题意，设圆心，半径， 圆经过点，， 圆与直线相切， 圆心到直线的距离为， ，化简得：，解得； 则圆心为，半径， 所以圆的方程为. 方法2：由题意，设圆心，半径； 圆与直线相切于点， 则，解得； 则圆心为，， 所以圆的方程为. （2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点， ①若直线的斜率不存在，其方程为， 圆心到直线的距离为，显然符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 则此时直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 考点06 已知切线求参数 29．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 ． 【答案】 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 30．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 31．若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 32．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 33．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，将方程转化为两个半圆，画出其图象，再根据直线恒过，利用数形结合法求解. 【详解】当时，，即； 当时，，即. 如图：    直线恒过，记， 则，， 当与相切时，，解得， 当与相切时，，解得， 结合图象可知，实数的取值范围是. 故答案为： 34．已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【详解】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 考点07 圆的弦长问题 35．若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 【答案】或 【分析】根据弦长和半径先求出圆心到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式求出结果. 【详解】因为直线截圆所得的弦长是8， 而圆的半径为5，那么根据勾股定理，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离为，化简得， 解得或. 故答案为：10或-68 36．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出线段中垂线方程，与给定直线方程联立求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. （2）利用圆的弦长公式求出弦心距，再按斜率存在与否分类求解. 【详解】（1）依题意，点的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段中垂线斜率为1，方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由直线被圆所截得的弦长为，得圆心到直线距离， 显然圆心到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 37．已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，结合两点间距离公式代入化简即可求解； （2）由弦长公式，通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【详解】（1）设， 由， 可得：， 平方可得：， 化简可得， 即， 故曲线的方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 此时弦长为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 则弦长， 化简可得：， 解得：， 直线方程为：， 综上：直线的方程为或. 38．已知点，，： (1)求的外接圆的方程； (2)设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设圆的一般方程，代入三点坐标求解系数得到外接圆方程； （2）利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，建立方程求解实数的值. 【详解】（1）设外接圆的方程为， 将、、分别代入得： ， 解得，，， 因此圆的方程为，即. （2）圆的圆心为，半径. 直线的一般式为，圆心到直线的距离. 由弦长公式，且，可得，即. 于是，解得. 39．已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 40．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 考点08 圆与圆的位置关系判断 41．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 42．圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 43．已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】根据圆心距确定两圆位置关系. 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 44．圆与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】计算两圆的圆心距，再与两圆半径比较即得. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 45．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【答案】内含 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 考点09 圆的公共弦问题 46．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 47．圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 48．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 49．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 50．圆C经过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出线段EF的垂直平分线，联立直线，求出圆心和半径，即得答案； （2）求出以线段PC为直径的圆的标准方程，和圆C方程相减，即可求得直线AB的方程，求出直线AB所过定点N，确定当时，原点O到直线AB的距离最大，根据斜率之间的关系，求得答案. 【详解】（1）由题意知圆C经过点和点， 线段EF的中点坐标为， 则线段EF的垂直平分线方程为，即， 联立，得C，则 圆C的标准方程为； （2）线段PC的中点坐标为， 以线段PC为直径的圆的标准方程为：， 即， 圆C方程化为：， 两式相减得：，即为直线AB的方程， 即; 由，直线AB经过定点， 当时，原点O到直线AB的距离最大， ， ，解得． 考点10 圆与圆的公切线问题 51．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，根据两圆心的距离确定两圆的位置关系，进而可得公切线的条数. 【详解】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 52．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 53．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 54．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 55．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 考点11 椭圆、双曲线的标准方程 56．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 57．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 58．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 59．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出椭圆焦点，再根据双曲线方程可得，得解. 【详解】根据题意，椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线中，解得， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 60．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 61．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 62．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入运算求解即可； （2）设双曲线的标准方程为，代入点、运算求解即可. 【详解】（1）因为，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 考点12 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题 63．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，则， 设，，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值， 且的最大值大于，所以，可以取， 当时，，可得，此时； 当时，由余弦定理可得， 因为，解得，此时； 当时，同理可得. 综上所述，或. 故选：D. 64．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 65．椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 66．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义即可结合三点共线求解. 【详解】由题意可得， 记椭圆右焦点为，则周长 当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.， 故答案为： 67．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 68．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 69．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 70．已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 【答案】3 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接， 则，，，    由双曲线方程为，可得， 又为右支上的一动点，所以， 又， ，所以，所以， 由题意可知， 又， 所以. 故答案为：3 考点13 椭圆、双曲线的中点弦问题 71．已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用点差法计算可得. 【详解】依题意直线的斜率存在，设，， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B 72．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 73．双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【详解】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C 74．过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 75．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 考点14 椭圆、双曲线的离心率问题 76．已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定，再结合列出等式即可求解. 【详解】如图：    设为的中点，两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则， 即可得：， 解得： 所以，则， 平方后得， 即， 解得：或. 由条件， 因为，所以不合题意. 所以. 故选：D 77．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合焦距和周长，即可得离心率. 【详解】设的焦距为，由题意得的周长为， 化简得：， 所以得的离心率为. 故选：C 78．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先设，再结合椭圆定义及射影定理计算得出齐次式计算离心率. 【详解】设椭圆 的左右焦点为，其中， 点在椭圆上，且.过作，满足， 设，则，故，得 ，即， 在 中， PQ 为斜边上的高，由射影定理得： ， ，根据椭圆定义，， 即： ， 因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 79．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 80．已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为 . 【答案】 【分析】首先得到的周长的表达式为，分析出当时，取得最小值，进而得到的关系，即可求出离心率. 【详解】 的周长为. 因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为. 因为直线过点，所以当时，取得最小值. 令，得，则，解得. 故的离心率为. 故答案为： 81．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线定义及余弦定理求得关系进而求出离心率. 【详解】如图，设，则，因为，所以，则. 在中，由余弦定理得， 即，化简可得，故. 故答案为：.    82．双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为 . 【答案】 或. 【分析】本题分两种情况求解：①当在双曲线的两支上时，先由正弦定理在三角形中由正弦定理得到，再由双曲线的定义得到，得到，最后在三角形中由余弦定理化简得到离心率为.②当在双曲线的左支上时，，，类比上一种情况求解得到离心率为 . 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 故答案为： 或. 83．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题目信息求出点，借助向量得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后通过解方程求得离心率. 【详解】，， 在等边中，，， 不妨设点在轴正半轴，所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以，又，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 考点15 抛物线的标准方程 84．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 85．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，，根据抛物线定义和长度关系可得，由可构造方程求得，根据比例关系可求得，即的值，由此可得结果. 【详解】作，，垂足分别为，设与轴交于点， 由抛物线定义知：，， 设，则，，，则， ，又，，， ，，即，抛物线方程为：. 故选：C. 86．抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程确定参数的值，再根据抛物线标准方程的焦点坐标公式求出焦点坐标． 【详解】， ，解得， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线焦点坐标为． 故答案为：． 87．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案． 【详解】根据抛物线的定义可得， 又，所以，得， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 88．顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是 . 【答案】 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 89．顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 考点16 抛物线的定义与最值 90．已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 91．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 92．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 93．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】求出圆心和半径，再利用抛物线的定义及圆的性质求出最小值. 【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 考点17 椭圆、双曲线与抛物线的轨迹方程 94．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 95．设，若，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】 根据两点距离公式可判断在以为焦点的椭圆，即可由椭圆的性质求解方程. 【详解】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于, 所以在以为焦点的椭圆，且，， 故，故椭圆方程为， 故答案为： 96．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 97．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 98．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为， 因为，, 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 故答案为： 99．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 100．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 考点18 圆锥曲线中的定点问题 101．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 102．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)动直线l恒过定点 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出，即可得解； （2）设直线的方程为，联立方程组，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可求出直线的斜率，再分和两种情况讨论即可得解； （3）由（2）可得点的坐标，利用点斜式可得直线的方程，化简即可得到直线所过定点． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 则依题意有，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为， 由消去，得， 解得. 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 当为直角三角形时，只有或， 于是或. 若，由，可得，从而； 若，由，可得，从而. 所以存在，直线的斜率为． （3）由（2）可知，直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 即， 所以动直线l恒过定点． 103．已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为． （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则；    ②当时，设，∴， 则， 解得，则.    （3）①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，    联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 104．已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见详解，定点坐标为； (3)证明见详解，定点坐标为. 【分析】（1）设动圆圆心为，则，由此能导出所求动圆圆心的轨迹的方程． （2）设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理代入整理可得； （3）设，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得，由此能求出直线过定点坐标． 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. （3）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 考点19 圆锥曲线中的定值问题 105．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析；定值为 【分析】（1）根据题意，求得圆的方程为，分类直线的斜率不存在和斜率存在，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，根据直线的斜率之积为，求得，联立方程组，此时方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线，利用斜率公式，列出方程求得，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得，进而得出直线过定点. （3）设直线，联立方程组，求得，同理求得点，求得，即可得证. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，且该圆经过点， 可得，即圆的半径为，所以圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为，圆的半径为，可得圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. （2）解：当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，且， 可得，即， 又因为点在圆上，可得， 联立方程组，此时方程组无解，（舍去）； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由， 整理得， 联立方程组，整理得， 所以， 代入上式，可得， 整理得，所以直线的方程为， 可得直线的方程为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点. （3）解：设直线， 联立方程组，整理得， 所以点的坐标为， 同理可得：点的坐标为， 所以，所以直线的斜率为定值. 106．已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率的定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. （2）解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. （3）证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以.    107．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      108．在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，, 【分析】（1）根据焦半径公式可得，即可代入抛物线方程中求解， （2）根据两点距离公式结合换元法可得，即可分类讨论求解最值， （3）根据向量垂直的坐标运算，代入韦达定理化简可得，即可求解直线 过定点，利用垂直可得. 【详解】（1）由抛物线的性质可知，，准线方程为. 所以，代入抛物线， （2）设 令，，对称轴为， 当，即，当时取最小值，， 当，即，当时取最小值，， （3）设， ，又 ， ， 令直线，联立 ，整理得 ， 且 则 代入（1）式得: 当时， 过定点与重合，不符; 当 时，过定点, 直线 过定点 又 ，故 在以 为直径的圆上， 而 中点为，即为定值. 考点20 圆锥曲线中的定直线问题 109．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程； （2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明. 【详解】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心， 又圆C与直线相切于点，则，解得， 所以，半径，所以圆C的方程为：. （2）设，，直线MN方程为：， 联立得， ，，， 直线OM方程为：，直线BN方程为：， 联立，可得， 所以点G在直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： ①设直线方程，设交点坐标为，； ②联立直线与圆的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算； ③列出韦达定理； ④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式； ⑤代入韦达定理求解. 110．已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 111．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 112．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解； （2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    考点21 圆锥曲线中的面积问题 113．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 114．已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为； (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，，不在直线上，求面积的最大值，并指出面积最大时点的坐标； (3)若直线与椭圆交于A，B两点，记直线的斜率为，且，问的面积是否为定值？如果是，求出该定值：如果不是，请说明理由： 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3) 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设与直线平行的直线方程为，当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值，联立直线与椭圆方程，消元由得的值，找到与距离比较远的直线方程，利用平行线间的距离公式求出高，再求出，即可求解面积和点的坐标； （3）设，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积. 【详解】（1）由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）点和知， 直线的斜率为，则方程为：，即， 设与直线平行的直线方程为， 当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为， 此时的面积取得最大值． 将代入椭圆方程， 消去整理得， 则，解得或4． 所以直线方程为或， 与距离比较远的直线方程是， 两平行线之间的距离， 又，所以的面积的最大值是． 方程即，解得，即的纵坐标为， 将代入直线得，所以的坐标为， 所以面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）设，，联立直线和，    可得， 可得，， ， 由可得， 由弦长公式可得 ，而点到直线l的距离为， 所以， 综上可知，的面积为定值. 115．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 116．如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值， 【分析】（1）根据抛物线定义可直接求出，可得抛物线的标准方程； （2）联立直线和抛物线方程并利用焦点弦公式可求得，可得圆的面积为； （3）依题意分别求得的坐标，得出的表达式并利用基本不等式可求得结果，可得此时点的坐标. 【详解】（1）依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 （3）设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 考点22 圆锥曲线中的探究性问题 117．椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析 (2) (3)为定值 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； （3）设，其中，，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可. 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为； （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值. 118．已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在符合题意. 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定点坐标，设点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标. （3）先确定直线的方程，联立与双曲线得韦达定理，联立与得点坐标，计算和并化简对比，得出常数的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 119．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (3)若，证明：当时，为锐角三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助向量数量积计算可得，再利用离心率即可得解； （2）利用韦达定理结合斜率公式计算即可得； （3）借助锐角三角形定义结合向量数量积计算可得为锐角三角形时的范围，再判断所给范围是否符合要求即可得. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以，即， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）直线，， 由，得， 则， 所以， 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以， 所以； （3）直线的方向向量为，所以由锐角三角形知， ①，②，③， 由、， 由①得： ，则④； 由②③得，， 即， 进而化简得： ， 即，解得⑤， 由，， 故当时，同时满足④⑤， 所以此时为锐角三角形. 120．已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系，即可求得答案； （2）联立直线与，结合韦达定理及向量的数量积运算，求解即可； （3）由题意可得，从而得对无穷多的成立，由或，求解即可. 【详解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； （2）由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； （3）设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线（22个题型） 考点01 求圆的方程 考点02 利用圆的方程求参数 考点03 直线与圆位置关系的判断 考点04 由直线与圆的位置关系求参数 考点05 求圆的切线方程 考点06 已知切线求参数 考点07 圆的弦长问题 考点08 圆与圆的位置关系判断 考点09 圆的公共弦问题 考点10 圆与圆的公切线问题 考点11 椭圆、双曲线的标准方程 考点12 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题 考点13 椭圆、双曲线的中点弦问题 考点14 椭圆、双曲线的离心率问题 考点15 抛物线的标准方程 考点16 抛物线的定义与最值 考点17 椭圆、双曲线与抛物线的轨迹方程 考点18 圆锥曲线中的定点问题 考点19 圆锥曲线中的定值问题 考点20 圆锥曲线中的定直线问题 考点21 圆锥曲线中的面积问题 考点22 圆锥曲线中的探究性问题 考点01 求圆的方程 1．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 3．已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 5．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考点02 利用圆的方程求参数 6．设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 7．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 9．方程表示圆，则的取值范围为 10．设，若圆的面积为，则 ． 11．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 12．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点03 直线与圆位置关系的判断 13．已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 14．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 16．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 17．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 18．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 考点04 由直线与圆的位置关系求参数 19．关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围 . 20．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 21．设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是 . 22．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 23．已知直线与圆. (1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； (2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 24．已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 考点05 求圆的切线方程 25．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 26．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 27．已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 28．已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 考点06 已知切线求参数 29．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 ． 30．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 31．若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 32．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 34．已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 考点07 圆的弦长问题 35．若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 36．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 37．已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 38．已知点，，： (1)求的外接圆的方程； (2)设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 39．已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 40．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 考点08 圆与圆的位置关系判断 41．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 42．圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 43．已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 44．圆与圆的位置关系为 ． 45．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 考点09 圆的公共弦问题 46．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 47．圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 48．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 49．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 50．圆C经过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值． 考点10 圆与圆的公切线问题 51．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 53．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 54．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 55．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 考点11 椭圆、双曲线的标准方程 56．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 57．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 58．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 59．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为 . 60．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 61．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 62．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 考点12 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题 63．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 64．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 65．椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 66．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 67．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 68．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 69．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 70．已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 考点13 椭圆、双曲线的中点弦问题 71．已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 72．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 73．双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 74．过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 75．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点14 椭圆、双曲线的离心率问题 76．已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 77．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 78．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 79．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 80．已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为 . 81．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为 .   82．双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为 . 83．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 考点15 抛物线的标准方程 84．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 85．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 86．抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 87．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 88．顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是 . 89．顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 考点16 抛物线的定义与最值 90．已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 91．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 92．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 93．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 考点17 椭圆、双曲线与抛物线的轨迹方程 94．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 95．设，若，则点的轨迹方程为 . 96．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 97．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 98．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 99．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 100．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 考点18 圆锥曲线中的定点问题 101．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 102．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 103．已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 104．已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 考点19 圆锥曲线中的定值问题 105．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 106．已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 107．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 108．在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 考点20 圆锥曲线中的定直线问题 109．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 110．已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 111．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 112．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 考点21 圆锥曲线中的面积问题 113．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 114．已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为； (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，，不在直线上，求面积的最大值，并指出面积最大时点的坐标； (3)若直线与椭圆交于A，B两点，记直线的斜率为，且，问的面积是否为定值？如果是，求出该定值：如果不是，请说明理由： 115．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 116．如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 考点22 圆锥曲线中的探究性问题 117．椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 118．已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 119．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (3)若，证明：当时，为锐角三角形． 120．已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $