专题02 简单几何体（12个题型）（高效培优期末专项训练）数学沪教版高二必修第三册

专题02 简单几何体（12个题型） 考点01 柱体的有关基本计算 考点02 棱柱展开图有关的最值问题 考点03 正方体的截面问题 考点04 柱体的体积与表面积 考点05 棱锥展开图的最值问题 考点06 锥体的截面问题 考点07 锥体的体积与表面积 考点08 多面体的体积与表面积 考点09 球体的体积与表面积的简单计算 考点10 与外接球有关的计算 考点11 与内切球有关的计算 考点12 与球有关的最值问题 考点01 柱体的有关基本计算 1．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 2．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 4．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 5．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 6．长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为 . 7．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为，则动点在正方体底面上的轨迹的长度为 ． 考点02 棱柱展开图有关的最值问题 8．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 9．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为 .    12．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 . 考点03 正方体的截面问题 13．用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 14．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 16．在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 17．在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 考点04 柱体的体积与表面积 18．圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 19．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 20．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱桂挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 . 21．若一个圆柱的体积是，高为1，则这个圆柱的表面积是 . 22．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 23．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 考点05 棱锥展开图的最值问题 24．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 25．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 26．在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 28．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 29．有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 . 30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 考点06 锥体的截面问题 31．已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 32．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为 . 33．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    34．已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 35．如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是 .    36．下列命题中，是真命题的是 .（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 37．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 考点07 锥体的体积与表面积 38．在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 39．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 40．如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为     41．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 42．如图，有一底面半径为1、高为1的圆柱，光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心，当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 43．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为 . 44．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ． 45．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为 ．    46．如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ． 47．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 考点08 多面体的体积与表面积 48．已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 49．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（    ） A． B． C． D． 50．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 51．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 52．若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4，体积为，则该三棱台的高为 ． 53．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是 ． 54．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 55．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 56．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm.       (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 考点09 球体的体积与表面积简单计算 57.若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是 . 58.已知某球体的半径为，当扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的 倍． 59.已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为 60.将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 61.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 62.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 63.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为 cm2． 考点10 与外接球有关的计算 64.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 65.已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为 ． 66.已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 67.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为 ． 68.正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 69.在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 考点11 与内切球有关的计算 70.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 71.有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 72.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 73.某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 74.已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 . 75.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    76.甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 77.如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为 . 78.如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 79.如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 考点12 与球有关的最值问题 80．已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 81．正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为 . 82．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是 ． 83．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 84．设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 85．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（    ）（加工过程中不计损耗） A． B． C．1 D． 86．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 87．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 88．在长方体中， (1)已知P､Q分别为棱AB､的中点（如图1），做出过点，P，Q的平面与长方体的截面.保留作图痕迹，不必说明理由； (2)如图2，已知，，，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体（12个题型） 考点01 柱体的有关基本计算 考点02 棱柱展开图有关的最值问题 考点03 正方体的截面问题 考点04 柱体的体积与表面积 考点05 棱锥展开图的最值问题 考点06 锥体的截面问题 考点07 锥体的体积与表面积 考点08 多面体的体积与表面积 考点09 球体的体积与表面积的简单计算 考点10 与外接球有关的计算 考点11 与内切球有关的计算 考点12 与球有关的最值问题 考点01 柱体的有关基本计算 1．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆半径分别为，，根据三角函数得到，得到答案. 【详解】如图所示：两圆半径分别为，，    在中，，，故. 故选：A 2．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱母线、半径，结合即可得结果. 【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故. 故选：D 3．如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F， 因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又，，所以，所以四边形为菱形， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 4．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 5．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 【答案】/0.75 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，画出图形，数形结合，根据正方形的性质求解即可 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，如图所示： 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 则为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以， 故答案为：. 6．长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解. 【详解】设 又因为，所以 即化简得， 即关于的方程有解， 当时，不符合题意， 当时，所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以侧棱的长的最小值为2， 故答案为:2. 7．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为，则动点在正方体底面上的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】由题设知在底面上的轨迹为半径为的四分之一圆弧，即可求轨迹长度. 【详解】由题设，在正方体底面上的轨迹为半径为的四分之一圆弧， 所以轨迹的长度为. 故答案为： 考点02 棱柱展开图有关的最值问题 8．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解. 【详解】将正三棱柱沿展开两次，得下图： 最短路线即为大矩形的对角线的长，为. 故选：B 9．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 10．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 11．如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为 .    【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，作出平面图形，连接，则线段即为的最小值，再由勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示.    连接（平面图形中），则的长度即为的最小值， 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 12．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】将原问题转化为三点一线即可求解. 【详解】 在 边上取点，使得，由正方体的对称性可知， 过点作平面的垂线得垂足， 连接，则有， ， 显然，当三点共线时最小， 即当是中点的时候，， ，最小值为2； 故答案为：2. 考点03 正方体的截面问题 13．用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 14．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 15．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 16．在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 17．在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    考点04 柱体的体积与表面积 18．圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 19．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 20．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱桂挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 . 【答案】 【分析】用正六棱柱的体积减去圆柱体体积即可得. 【详解】. 故答案为：. 21．若一个圆柱的体积是，高为1，则这个圆柱的表面积是 . 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式求出底面半径，再利用圆柱的表面积公式求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为. 因为圆柱的体积是，所以. 所以圆柱的侧面积为，一个底面的面积为. 所以圆柱的表面积为. 故答案为： 22．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 23．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； 【详解】（1）由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以，， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为矩形，又， 又，平面，所以平面， 所以四棱锥为阳马. （2）由（1）知平面，所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，所以， 在中，，所以， 又，所以在中，， 所以堑堵的体积为：. 考点05 棱锥展开图的最值问题 24．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 25．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 26．在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 27．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 28．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 29．有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 . 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度. 【详解】底面直径是10，则底面圆周长 ， 即圆锥的侧面展开图（如下图所示）中，弧的长度为，    母线，故圆心角， 当绳子是线段时，绳子长度最短， 在Rt中，. 故绳子的最短长度为. 故答案为：. 30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 考点06 锥体的截面问题 31．已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 【答案】 【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可. 【详解】如图（1）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，是边长为1的等边三角形，.这样的截面有4个； 如图（2）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，四边形是边长为1的正方形，，这样的截面有3个. 所以满足条件的截面的面积之和为：. 故答案为： 32．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】首先取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，连接，证明平面即为所求的截面，再证明四边形是矩形，，矩形面积加三角形面积之和即为所求. 【详解】 取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，依次连接， 可知，即，而， 所以共面，所以共面， 因为底面是边长为的正方形， 所以对角线，， 因为P在底面的射影为正方形的中心，可得面， 因为面， 所以， 因为，，所以， 因为、分别为、的中点， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面即为所求截面. 又因为平面平面，平面，所以， 因为为的中点，可得， 所以， ，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 因为，，，所以平面， 因为平面，可得，所以， 所以四边形是矩形， 所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为. 故答案为：. 33．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 34．已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【答案】 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 35．如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是 .    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 36．下列命题中，是真命题的是 .（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【分析】根据长方体、正四面体、正方体、圆锥的性质逐一判断即可. 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 37．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 考点07 锥体的体积与表面积 38．在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 39．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积，即可得解. 【详解】如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面. 由正八面体的性质可知，，则，， 所以体积，表面积， 所以. 故选：A.    40．如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为     【答案】/ 【分析】根据锥体和柱体的体积公式即可求解. 【详解】因为该几何体是由棱长为20cm的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得， 所以. 故答案为： 41．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用台的体积公式计算正四棱台的体积，进而求解. 【详解】由题意有：， 所以正四棱台的体积为：， 所以一石米的体积大约为：， 故选：C 42．如图，有一底面半径为1、高为1的圆柱，光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心，当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据题意射出的光线在圆柱内部“扫过”的区域是两个相同的半圆锥，即扫过的面积是一个底面半径为1，高为的圆锥的侧面积，即可求. 【详解】由题设，光源点沿着上底面圆周运动半周时，射出的光线在圆柱内部“扫过”区域是两个相同的半圆锥， 则射出的光线在圆柱内部“扫过”区域的面积是一个底面半径为1，高为的圆锥的侧面积， 所以圆锥的母线长为，底面周长为，光线在圆柱内部“扫过”区域的面积. 故答案为： 43．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为 . 【答案】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 44．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ． 【答案】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为． 小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为， 所以扇环其面积为； 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为． 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 故答案为： 45．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为 ．    【答案】 【分析】先计算出正四棱柱和正四棱锥的高，利用柱体和锥体体积公式进行求解，相加可得答案. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高均为，画出正四棱锥，对角线相交于点，即， 则正方形对角线长为，故，    故，解得， 故正四棱锥的体积为， 正四棱柱的体积为， 所以该印章摆件的体积为， 其中，故. 故答案为： 46．如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ． 【答案】 【分析】关键点在于构造底面边长和高均为2的直四棱锥，根据祖暅原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该四棱锥的体积，即可求得结果. 【详解】如图，设，边长为，截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形. 易知，连接. 由点在以为圆心，为半径的圆弧上，得. 在中，由勾股定理得， 故所求正方形的面积为. 所以用平行于底面的任意一个平面截八分之一“牟合方盖”， 所得截面面积是，， 所以可以构造底面边长为，高为的直四棱锥，对于直四棱锥， 当用过点的截面截该四棱锥时，截面面积为. 根据祖暅原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该四棱锥的体积， 故所求体积为. 故答案为：. 47．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【详解】（1）由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 考点08 多面体的体积与表面积 48．已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求得正四棱台的高，侧面等腰梯形的高，结合棱台表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：B. 49．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台体的体积公式，以及相似比性质，结合换元思想来求解即可. 【详解】设米斗的上底面边长为，高为，则米斗的下底面边长为， 故，得． 设米的深度为，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为， 则，则， 则， 得，则， 化简得．令， 则，， 即，则， 故选:A． 【点睛】关键点睛：（1）根据正四棱台的结构特征求出半斗米所形成的正四棱台的下底面的边长的表达式；（2）换元，令，将方程化为并配凑为． 50．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：   为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故选：A. 51．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 【答案】/ 【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为的正方形边上，由此可计算出棱长． 【详解】取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知，易知， 设半正多面体的棱长为x，过B，C分别作于M，于N， 则，，解得， 故该半正多面体的所有棱长和为． 故答案为： 52．若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4，体积为，则该三棱台的高为 ． 【答案】 【分析】由台体体积公式即可得出. 【详解】设三棱台高为h，则由台体体积公式可得 ，解得. 故答案为：. 53．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据几何体的表面图形的特点可求答案. 【详解】因为被截正方体的棱长是6dm，所截去八个四面体是相同的， 所以几何体是由边长为 dm的六个正方形和八个正三角形围成的， 所以表面积为. 故答案为： 54．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 【答案】 【分析】补全正方体，该十面体的体积等于棱长为1的正方体的体积去掉四个三棱锥体积再加上四个四棱锥的体积，利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】 如图作出原正方体，与，的交点分别为，，与的交点为， 上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形， 设每个等腰直角三角形的边长为， 则，所以， 所以， 设该十面体的体积为， . 故答案为：. 55．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 56．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm.       (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 考点09 球体的体积与表面积简单计算 57.若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是 . 【答案】 【分析】利用两球表面积之比计算出半径之比，再利用球体的体积公式可计算出答案. 【详解】设两球半径分别为，表面积分别为，体积分别为， 则，即， 因此两球体积之比为. 故答案为：. 58.已知某球体的半径为，当扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的 倍． 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式计算可得结果. 【详解】球的半径为时，球的表面积为， 球的半径扩大为后，球的表面积为， 所以，即表面积变为原来的倍. 故答案为：. 59.已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 60.将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解. 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 61.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 【答案】/ 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 62.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【分析】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可. 【详解】球心的截面图如图， 则，由截面圆的周长为，得， 解得，球的半径是， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 63.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为 cm2． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 故答案为： 考点10 与外接球有关的计算 64.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四棱锥放置于长方体中即可求解． 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同， 所以外接球的半径为，外接球的表面积． 故选：C． 65.已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积． 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为， 所以球的半径为． 故答案为： 66.已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 67.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用平面展开法确定△周长最小时的位置；结合正弦定理求△的外接圆半径；依据“侧棱垂直底面”的三棱锥外接球性质，计算外接球半径并求表面积. 【详解】要使△周长最小，因为定值，需最小化. 将平面展开至与平面共面，如图所示， 连接与，交点为中点，. 三棱锥中，平面. 在△中，，，， 设的外接圆半径为，则， 所以△的外接圆半径. 因平面，三棱锥外接球半径满足：. 故外接球表面积为：. 故答案为： 68.正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意求得的长以及外接球的半径即可得解. 【详解】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为.    故答案为：. 69.在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 考点11 与内切球有关的计算 70.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，利用相似即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 71.有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，， ，，由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体，根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥，分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体，又，，，均与球相切，所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心，作出三棱锥和三棱锥的图，求解即可. 【详解】根据题意，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球， 连接，，，， ，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切， ，，，两两相切，，，，两两相切， 所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥， 分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体， 又，，，均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心， 作出正四面体和的示意图如图所示， 连接，则球的半径为 . 如图，设正四面体的底面的中心为点，连接， 则，正四面体的高， 由图知，到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 则，即，得， 故， 则球的半径为. 故选：A 72.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 73.某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据球的体积公式可得，即可根据圆柱的体积公式求解. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于球的直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ． 故答案为：. 74.已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 . 【答案】/ 【分析】先利用体积公式求解内切球的半径，求得圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，然后作出圆台的轴截面，根据切线关系及勾股定理求得，进而代入圆台的体积公式求解即可. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 75.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 76.甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 【答案】 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 77.如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为 . 【答案】 【分析】根据内切球特征及球的截面的特征可确定所求截面即为等边的内切圆，由此可求得截面面积. 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 78.如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 【答案】 【分析】画出相应图形，根据相切得到，半球面碗的半径为，然后利用勾股定理计算即可得. 【详解】取半球的球心为，三个小球的球心分别为， 则有，取的重心，则可有， 在中，， 则有， 则，解得. 故答案为：. 79.如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 考点12 与球有关的最值问题 80．已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 【答案】 【分析】首先根据题意建立、的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】根据题意作图如下： 设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为. 故答案为：. 81．正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为 . 【答案】 【分析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径；可求出，当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积. 【详解】，，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示）， 其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故， 设的中点为，连接，则且.所以， 当平面时，平面截球O的截面面积最小， 此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为. 故答案为： 82．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 83．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 84．设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解. 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 85．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（    ）（加工过程中不计损耗） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题可先求出圆台的相关数据，再确定四棱台的形状，进而分析余下木料的情况，找出能车削出最大半径球的木料并计算其半径. 【详解】 为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为， 棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则， 所以球在与圆台围成部分可更大， 记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于， 设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切， 设，则，则， 所以，得． 故选：C 86．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 87．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【详解】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 88．在长方体中， (1)已知P､Q分别为棱AB､的中点（如图1），做出过点，P，Q的平面与长方体的截面.保留作图痕迹，不必说明理由； (2)如图2，已知，，，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为 【分析】（1）运用基本事实3：两面有一个公共点，则必有一条过该点的交线，基本事实3是做截面问题的基础； （2）用的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值. 【详解】（1）①延长交DC延长线于点E； ②连接PE与BC交于点F，并延长EP交DA延长线于点G； ③连接交于点H； ④分别连接线段，，PF，FQ，，则五边形及其内部（图中阴影部分）即为所求截面. （2）如图所示， 平面ABMN将长方体分成两部分，MN有可能在平面上或平面上，但是若MN在平面上运动， 两部分几何体都是细长形状，放入的两个小球由于棱长AD限制，易知要使两球半径和的最大，需在平面上运动. 延长与BM交于点P，作于Q点， 设，圆对应的半径为， 根据三角形内切圆的性质， 在中，，，， 则， 又当BP与重合时，取得最大值，由内切圆等面积法求得，则 设圆对应的半径为，同理可得， 又，解得. 故，， 设，则，， 由对勾函数性质易知，函数单减， 则，即最大值为. 故两个球的半径之和的最大值为. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $