专题07圆与直线综合题（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题07 圆与直线综合题 典例详解 类型一、切线与图形几何变化综合 类型二、多知识点融合压轴题 类型三、切线的实际应用题 类型四、切线与反比例函数综合 类型五、切线与一次函数综合 类型六、切线与二次函数综合 压轴专练 类型一、切线与图形几何变化综合 例1（24-25九年级上·河北石家庄·月考）如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故答案为：． 变式1-1（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为． (1)在图1中，劣弧的长为________； (2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示． ①求x的值； ②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和； (3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②MN的最小值和最大值之和为 (3)半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是 【分析】（1）本题主要考查利用扇形弧长公式计算劣弧长度，找到劣弧所对的圆心角是解决问题的关键，在利用公式求解． （2）本题主要考查利用切线的性质求x的值，其次利用点到直线距离求MN的最小值，由于M，N两点都是自由点，故可以直接算出MN的最大值，即当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大 （3）本题主要考查圆完全在三角形内部时的临界状态，即圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：如下图，连接； ∵，； ∴； ∴劣弧 ． （2）①连接PO， ∵边AC与半圆O相切； ∴； ∵，； ∴； ∴； ②如下图，当时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小； ∵； ∴； ∵； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得， ∴； 如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，；∴MN的最小值和最大值之和为． （3）解：x的取值范围是； 如图3，半圆O与BC相切，连接OP， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据勾股定理可得，解得. ∵； ∴； ∴半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是. 变式1-2（2023·河北石家庄·一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．    (1)若的边经过点D，则平移的距离______； (2)如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数； (3)当的边与半圆E相切时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平移性质和正切函数求解即可； （2）在图2中，连接、、，由弧长公式求得，进而得到是等边三角形，证得，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意，分当的边与半圆E相切和的边与半圆E相切两种情况，分别画出图形，利用切线性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图1，    由平移性质得， ∵，， ∴， ∴平移距离， 故答案为：； （2）解：连接、、，如图2所示，    则半圆E的半径， 设， ∵截半圆E的的长为， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴. ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：根据题意，分两种情况： 当的边与半圆E相切时，如图3， 设切点为P，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴平移的距离； 当的边与半圆E相切时，如图4， 设切点为P，连接并延长交l于N，则， ∵，， ∴，又， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移的距离， 综上，平移的距离x的值为或．    【点睛】本题考查平移性质、切线性质、解直角三角形、弧长公式、角平分线的性质、三角形和四边形的内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 变式1-3（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）将直角三角尺（）的顶点A放在量角器（半圆O）上，已知，，，量角器（半圆O）的直径为8． 操作  现从与半圆O相切于点A（图1）的位置开始，将三角尺（）绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O相交于点E，F，连接（图2），当边落到上时停止（图3）． （1）在旋转过程中，判断弦的长是否会发生变化？说明理由； 思考  取的中点为M． （2）从三角尺（）旋转开始到结束，求点M运动的路径长； 探究  当旋转结束时，点F与D重合，如图3． （3）直接指出边与半圆O的位置关系（不说理由），并求此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 【答案】（1）的长度不会变化，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接，如图，作于点G，根据圆周角定理可得，再解直角三角形求出即可判断； （2）求出的长，从而得到M的轨迹，点D从开始到结束的度数变化，再根据弧长公式求解； （3）作于点N，如图，通过计算证明即可求出边BC与半圆O的位置关系；根据与半圆O重叠部分的面积即可求出此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 【详解】解：（1）连接，如图，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度不会变化； （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵，M为的中点， 则∴， ∴， 即在三角尺旋转过程中，点M始终在以O为圆心，2为半径的圆上运动， 当E、A重合时，如图， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵与圆相切， ∴， ∴， ∴． 当D、F重合时，如图， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M旋转的角度是， ∵， ∴点M的运动路径长是； （3）与半圆O相切； 作于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与半圆O相切； 连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O重叠部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直线和圆相切，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质以及弧长公式和扇形面积的计算等知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 类型二、多知识点融合压轴题 例2（2021九年级·全国·专题练习）已知∠B为△ABC的内角，且sinB与cosB恰好为方程mx2－mx＋p－4＝0的两根，以AB为直径的⊙O交AC于 D，取BC的中点E，经过A、B、E的⊙O′交直线DE于F，如图，连接AF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）求证：AD2＝AF• AB； （3）若⊙O的半径R＝p，且 AD：CD＝2：3，求弦EF的长及tan∠ ABF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF=，tan∠ABF=． 【分析】（1）由sinB与cosB恰好为方程mx2-mx+p-4=0的两根，sinB+cosB=1，而sin2B+cos2B=1，可得cosB=0，则∠B=90°；连接OD、OE，证明△BOE≌△DOE即可得∠OBE=∠ODE=90°； （2）连接BD，由四边形A、B、E、F四点共圆，且∠ABE=90，得到∠ABE=∠AFE=90°，然后证明△AFD∽△ADB，从而有AF：AD=AD：AB， （3）由sinB•cosB==0，得p=4，即R=4，设AD=2x，则CD=3x，AC=5x，根据CD•CA=CB2，而CB2=AC2-AB2，得x=，CB=4，DE=CB=2，又有AD2=AF•AB，即可求出AF，再由勾股定理得到DF，由此得到EF．连接AE，则tan∠ABF=tan∠AEF=AF：EF． 【详解】（1）证明：∵sinB与cosB是方程mx2-mx+p-4=0的两根， ∴sinB+cosB=1， ∴sin2B+2sinBcosB+cos2B=1， 又sin2B+cos2B=1， 故：sinBcosB=0， 由于∠B为三角形内角， ∴∠B≠0， ∴sinB≠0， 从而cosB=0，则∠B=90°； 连接OD、OE．如图， ∵O、E分别为AB、BC的中点， ∴OE为△ABC的中位线， 则OE∥AC， ∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE， 由于：OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∴∠BOE=∠DOE， 在△BOE与△DOE中： ， ∴△BOE≌△DOE， ∴∠OBE=∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：连接BD． ∵四边形A、B、E、F四点共圆，且∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠AFE=90°， 由EF为⊙O的切线， ∴∠ABD=∠ADF， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°=∠AFE， ∴△AFD∽△ADB， 从而有AF：AD=AD：AB， ∴AD2=AF•AB； （3）解：由于∠B=90°， ∴sinB=1，cosB=0， ∴sinB•cosB==0， ∵m≠0，p-4=0， ∴p=4，即R=4， 设AD=2x，则CD=3x，AC=5x， 由（2）知，∠ADB=∠CDB =∠ABC=90°， ∴△CBD∽△CAB， ∴， ∴CD•CA=CB2，而CB2=AC2-AB2， ∴3x•5x=(5x)2-82， ∴15x2=25x2-64， 解得：x=， ∴CB=4， ∴DE=CB=2， 且AD=2x=， 又有AD2=AF•AB， ∴AF=(2÷8=，则DF=， ∴EF=DE+DF=， 连接AE， 则由圆周角性质可知： tan∠ABF=tan∠AEF==． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定方法，三角函数，三角形相似的判定和性质．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 变式2-1（2021·辽宁抚顺·三模）如图，已知中，，，．点是边上的一点，且，是的外接圆． （1）求证：； （2）判断与直线的位置关系，并说明理由； （3）请直接写出的半径． 【答案】（1）见解析；（2）相切，理由见解析；（3）2.5 【分析】（1）根据题意直接通过证明△ACP∽△BCA，可得∠PAC=∠ABC； （2）由题意先作直径AD，交⊙O于点D，连接PD，由圆周角定理可求∠PDA=∠PAC=∠ABC，可证AD⊥AC，即可得⊙O与直线AC的位置关系； （3）根据题意利用锐角三角函数可求CP，PD的长，由勾股定理可求AP的长，AD的长，进而可得⊙O的半径． 【详解】解：（1）证明：中， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）与直线相切． 理由：作直径，交于点，连接；如图所示． ∵为的直径， ∴， ∴ ∵，又由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵为的直径， ∴与直线相切． （3）∵ ∴CP=1， ∴ ∵∠PDA=∠PAC ∴ ∴ ∴ ∴的半径为2.5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形以及证明△ACP∽△BCA是解答本题的关键． 变式2-2（2021·黑龙江大庆·一模）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB=6． 【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案； （3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO=90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴= ， ∴∠DOP=∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠PDO=∠PCO=90°， ∵D在⊙O上， ∴PD是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠PDO=90°， ∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠A=∠PDB， ∵∠BPD=∠BPD， ∴△PDB∽△PAD， ∴， ∴； （3）解：∵DC⊥AB， ∴∠ADB=∠DMB=90°， ∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°， ∴∠A=∠CDB， ∵， ∴， ∵△PDB∽△PAD， ∴ ∵PD=4， ∴PB=2，PA=8， ∴AB=8-2=6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目质量好，有一定的难度． 变式2-3（19-20九年级上·山东淄博·期末）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6． （1）求证：∠COD＝∠BAC； （2）求⊙O的半径OC； （3）求证：CF是⊙O的切线． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由AG是⊙O的切线得到∠GAF＝90°，再由AG∥BC得出AE⊥BC，符合垂径定理，得出∠BAC＝2∠EAC，由圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE，于是可证； （2）由题意可得＝，设OE＝x，则OC＝3x，根据勾股定理列方程x2+32＝9x2，解出即可； （3）由题意可证明，再证△COE∽△FOC，于是可得∠OCF＝∠DEC＝90°，故可证CF是⊙O的切线． 【详解】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径， ∴∠GAF＝90°， ∵AG∥BC， ∴AE⊥BC， ∴， ∴∠BAC＝2∠EAC， ∵∠COE＝2∠CAE， ∴∠COD＝∠BAC； （2）∵∠COD＝∠BAC， ∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝， ∴设OE＝x，OC＝3x， ∵BC＝6， ∴CE＝3， ∵CE⊥AD， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴x2+32＝9x2， ∴x＝（负值舍去）， ∴OC＝3x＝， ∴⊙O的半径OC为； （3）∵DF＝2OD， ∴OF＝3OD＝3OC， ∴， ∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOC， ∴∠OCF＝∠DEC＝90°， ∴CF是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了三角函数在圆中的应用，涉及的知识点有：三角函数的定义、切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 类型三、切线的实际应用题 例3（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 【答案】(1) (2) (3)电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系． （1）由题意得，，求出； （2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到． （3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【详解】（1）解：由题意，， ， 故答案为：； （2）解： 与相切时， ， ， ， ； （3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 变式3-1（25-26九年级上·广东广州·月考）某户外拓展基地有一个三角形攀岩架，其中，，．是斜边上的可移动锚点，工作人员以点为圆心，的长为半径固定了一个圆形安全防护圈（），防护圈与边交于点（点不与点重合）． (1)如图1，当圆形防护圈恰好与边（攀岩架的垂直侧边）相切时，求这个防护圈的半径．（结果保留根号） (2)如图2，当锚点移动至的位置时，工作人员在点与点之间拉设了一根安全绳，请你判断这根安全绳与圆形防护圈是否相切，并说明理由． 【答案】(1)这个防护圈的半径 (2)相切，理由见详解 【分析】本题主要考查切线的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）设与相切于点E，连接，由题意易得，，然后可设，则有，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设与相切于点E，连接，如图所示： ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 解得：， 答：这个防护圈的半径． （2）解：相切，理由如下： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． 变式3-2（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． (1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． (2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 【答案】(1)小明的猜想正确，证明见解析 (2)车轮的半径为米 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：小明的猜想正确． 连接，如图 与相切， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）设车轮的半径为r，则 ， 米， ． 解得． 答：车轮的半径为米． 变式3-3（2025九年级·全国·专题练习）【经验感知】如图①，为球门，直线l是足球场的底线，直线，垂足为C．若，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．请用尺规，作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的（不写作法，保留作图痕迹）． 【理解应用】如图②，矩形是足球场的部分示意图，其中宽，球门，且．P，Q分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点P处带球，沿方向跑动．球员戊在上何处才能使射门角（）最大？请直接写出此时的长度． 【答案】【经验感知】见解析 【理解应用】当经过A，B两点的圆与相切于点S时，球员戊在上的S处射门时射门角（）最大，此时的长度为 【分析】【经验感知】依据圆的切线性质和线段垂直平分线的性质作图；作线段的垂直平分线；设直线 与直线的垂足为，连接，作的垂直平分线，与的垂直平分线交于点；以为圆心，为半径作圆，即为所求的． 【理解应用】构造过、且与相切的圆，结合矩形性质和勾股定理求解． 【详解】解：【经验感知】如图①，即为所求． 【理解应用】 作出经过，两点的圆，当经过，两点的圆与相切于点时，球员戊在上的处射门时射门角（）最大，如图②，延长交于点． ， 为等腰直角三角形， ． ，且， ． 由题意，得与相切于点．连接并延长交于点，连接， ． ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、线段垂直平分线性质，解题关键是理解“过两点且与直线相切的圆的圆心位置特征”，并利用该特征结合几何图形的性质进行求解． 变式3-4（2024·河北·模拟预测）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，，连接，，连接交于点K，在与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆O的直径，． (1)若． ①求填充物部分(弓形)的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点E落在桌面上时，求支架顶端点A到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点E落在桌面上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离． 【答案】(1)①，的长为；②支架顶端点A到桌面的距离为 (2)此时点F比②中点F的位置升高的距离为 【分析】（1）①由题意易得为等边三角形，则有，然后可得，进而根据三角函数及弧长公式可进行求解；②过点A作于点G，过点O作于点H，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）过点F分别作，垂足分别为Q，T，由题意易得四边形是矩形，设，则有，根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，的长为； ②如图，过点A作于点G，过点O作于点H， 由题意可知：半圆O与相切于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴支架顶端点A到桌面的距离为； （2）解：如图，过点F分别作，垂足分别为Q，T， 由题意可知：半圆O与相切于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 解得：， ∴点F到的距离为， 在（1）②中，， ∴点F到的距离为， ∵， ∴此时点F比②中点F的位置升高的距离为． 【点睛】本题主要考查切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质与判定、三角函数及矩形的性质与判定，熟练掌握切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质与判定、三角函数及矩形的性质与判定是解题的关键． 类型四、切线与反比例函数综合 例4（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据半径为1的与轴相切，得到点A的横坐标为1，设，点， 根据点关于点的对称点也在此函数图象上，得到，得到点C的坐标，再代入反比例函数的解析式解答即可． 【详解】解：由半径为1的与轴相切， 故点A的横坐标为1， 又点在函数的图象上， 设， 设点，根据点关于点的对称点也在此函数图象上， 故， 解得， 故点， 故， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，待定系数法求解析式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 变式4-1（2025·河南驻马店·三模）如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长； (3)直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与圆的综合应用，切线的性质，熟练掌握切线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，得到轴，进而求出点坐标，求出半径的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长； （3）由题意，当为的直径时，的面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴； （2）连接， ∵与y轴相切于点， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，， ∵交于点D， ∴， ∴； （3）作轴，由（2）可知，的半径为， 则：， ∴， ∴当轴，且最大时，最大， ∴当为的直径时，此时轴，且的值最大为， ∵， ∴面积的最大值． 变式4-2（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】（1）运用等边三角形的性质得，运用勾股定理算，结合切线的性质得点P的坐标为，再代入求出反比例函数的表达式为； （2）先证明四边形是矩形，得，则点D的横坐标为，结合点M的坐标为，得，即点D的坐标为，根据，即可作答． （3）因为与反比例函数的图象交于点E，F，故设点的坐标为，由（1）得点P的坐标为，运用两点的距离公式，列式，得点的坐标为，因为，即三点共线，结合直径所对的圆周角是90度，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，记交于点N ∵轴，轴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 即点D的横坐标为， 由（1）得， ∴点M的坐标为， 则， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上； （3）解：∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴设点的坐标为， 由（1）得点P的坐标为， ∴， 即， ∴解得（另一个小于，故舍去） ∴点的坐标为， ∵由（1）得，且， ∴的坐标为 ∵点P的坐标为， ∵， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，难度较大，综合形较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型五、切线与一次函数综合 例5（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、一次函数与几何综合、勾股定理等知识点． 根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：A． 变式5-1（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段长度的最小值为图形的“雅近值”，记为，特别地，若图形有公共点，规定． (1)如图1，的半径为2， ①点，，则______； ②已知直线，求直线与的雅近值． (2)如图2，C为轴正半轴上的一点，的半径为1，直线与轴交于点D，与轴交于点E． ①若，，线段与的“雅近值”，请直接写出圆心C的纵坐标的取值范围； ②若，圆心C的纵坐标，直线与的“雅近值”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①3；② (2)①的取值范围为；② 【分析】（1）①连接，过点作轴于点，运用“雅近值”的定义即可求得答案；②过点作于点，设直线与轴交于，与轴交于，利用面积法求出，即可求得答案； （2）①过点C作于，如图2，易求出点、的坐标，从而可得到、，然后运用三角函数可求出，然后分三种情况（：点在点E的下边，：点与点E重合，：点在点E的上边）讨论，就可解决问题；②如图3，、与轴交于、，连接，过点作于，于，设，则，由即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图，连接，过点作轴于点， ， ， 的半径为2， ； 故答案为：3； ②如图，过点作于点， 设直线与轴交于，与轴交于， 令，则， 解得：， ， 令，得， ， 在中，，，， ， ， ， ； （2）解：①如图，过点作于， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， 解得：， ， 令，得， ， ，， ， ， 当点在点E下边时， ， ， ， ， 线段与的“雅近值”， ， ； 当点与点E重合时，， 此时； 当点在点E的上边时，， 线段与的“雅近值”， 可得 ； 综上所述：； ②如图，、与轴交于、，连接，过点作于，于， 由题意得，，， 在中，， 直线与的“雅近值”， 直线与有公共点， 当直线与相切时，， 设，则， ∵， ，， ， ， ∴， ， 在中，， ，， ， ， ∴， 解得：， ， ，即点为， 即， 设，则， ∵， ，， ， ， ∴， ，， ， ， 解得：， ， 即， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题为圆的综合题，属于新定义型，主要考查了直线上点的坐标特征、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 变式5-2（24-25九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴重合，，，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)写出点坐标； (2)点从点出发，以每秒个长度单位的速度向点运动，点 从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动，设它们运动的时间为．过点作直线的垂线，交折线于点，过点的直线记作． 当时， ．（用含的代数式表示）； 当的面积为时，求的值； 当直线与以为直径的圆相切时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) ； 为秒或秒； 的值为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）如图，过点作于点，先证是等腰直角三角形，得，，进而得，结合点的坐标为，点的坐标为，得，从而得点的坐标为； （2）由点的坐标为，点的坐标为，得，从而得，又点的坐标为，得，进而根据时间、路程和速度的关系即可得解；过作交于点，连接，当与重合时，证是等腰直角三角形，得，此时，从而得当时，点在线段上，当时，点在线段上，进而根据这两种情况讨论求解即可得解；先证明直线与直线重合或平行，进而分从向运动，经过点时，从向运动，经过点，从向运动，经过点，从向运动，经过点时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴点的坐标为， 故答案为∶； （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵点 从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动， ∴当时，；当时，， 故答案为：； 过作交于点，连接， 当与重合时， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴此时， ∴当时，点在线段上，当时，点在线段上， 当，点在线段上时， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴即， 解得或， 当时，，（秒）， 当时，，（秒），不符合题意，应舍去， 当，点在线段上时， 由（）得点的坐标为， ∵， ∴的边上的高为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴即， 解得， ∴（秒）， 综上，为秒或秒； ③设直线为， 把点，点代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∵过点的直线记作 ∴直线与直线重合或平行， 如图，当从向运动，经过点时， ∵， ∴以为直径的圆与直线相切点， ∵把点代入得，解得， ∴， ∴， ∴ 秒， 如图，当从向运动，经过点时，此时， ∴，， ∴，， ∴以为直径的圆与直线相切于点，， ∴， ∴（秒）， 如图，当从向运动，经过点时，同理可得，以为直径的圆与直线相切于点，， ∴， ∴（秒）， 如图，当从向运动，经过点时，同理可得，以为直径的圆与直线相切于点，令直线于轴交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴（秒）， 综上可得当直线与以为直径的圆相切时，的值为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了切线的判定及性质，等腰三角形形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数的图像及性质，平行四边形的判定及性质，一元二次方程的应用，熟练掌握切线的判定及性质，等腰三角形形的性质，平行四边形的判定及性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 类型六、切线与二次函数综合 例6（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)当时，S有最大，最大为值为 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，切线的性质． （1）根据抛物线的对称性求出，得到，，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）由轴得到点Q的横坐标为t，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，得到点，进而得到解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）可知直线的解析式为，设，则，得到，分与x轴相切、与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得， ∴，， 将，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图2， ∵轴，点P的横坐标为t， ∴点Q的横坐标为t，点， 对于抛物线， 令，则有， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． ∴点， ∴， ∴当时，PQ最大， ∴； （3）解：由（2）可知直线的解析式为， ∵点P是直线一动点， ∴可设， 又∵轴，点Q在抛物线上， ∴， ∴， 当与x轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即 当时，可有，即； 当与y轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即， 当时，可有，即； 综上所述，与x轴相切时，点P的坐标为或或或． 变式6-1（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为_____，_______； (2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，圆的切线的性质，垂径定理以及勾股定理等知识，准确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点坐标确定抛物线的对称轴，设圆心，根据圆与轴相切得圆的半径为5，在中由勾股定理得，可得，得，把代入计算可得； （2）根据抛物线的对称性得，可得，由点在D点右边知，，过点作，交的延长线于点，则，，可求出，，得出，把代入得，故可得点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3）连接，作点关于的对称点，作直线，则平分，可得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求解方程组，可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵圆与x轴交于、两点， ∴圆心在直线上， 设圆心，连接，设对称轴与x轴交于点，如图， ∵轴，与轴相切， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴圆的半径为5，即， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为， 把代入得：． 故答案为：；； （2）解：根据抛物线的对称性得，得． ∵点在点的右侧，如图， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ∴点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3）解：连接，作点关于的对称点，作直线交抛物线于点P，则平分， ∴， 设的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴的解析式为； 联立方程组， 解得或， ∴点的坐标为． 变式6-2（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 1．（16-17九年级下·四川成都·月考）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】试题解析：抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点 ，解得 ∴y= ∴抛物线的对称轴为直线x=1，D点坐标为（1，4）， 所以直线CD为y=x+3 所以直线CD与x轴交点坐标为（-3，0） 所以三角形DEM是等腰直角三角形， 所以∠MDP=45° 设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图， 则DP=4-a，又∠HDP=45°， ∴HP=AP=， Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：()2＝a2+4， 解得： ∴P1（1，-4+2），P2（1，-4-2） 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和切线的性质；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会应用相似比建立线段之间的关系． 2．（2020·湖北·中考真题）如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E． （1）求证：平分； （2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析 【分析】(1)连接OC，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC∥AD，得到∠DAC=∠ACO，再由OC=OA得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC即可证明； (2) 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由AE=2DE结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO和△ECO均为等边三角形即可求解． 【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示： ∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°， ∴∠D+∠OCD=180°， ∴OC∥AD， ∴∠DAC=∠ACO， 又OC=OA， ∴∠ACO=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴ AC平分∠DAB． (2) 四边形EAOC为菱形，理由如下： 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示， 由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°， 又∠AEC+∠DEC=180°， ∴∠DEC=∠B， 又∠B+∠CAB=90°， ∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠CAB=∠DCE， 又∠CAB=∠CAE， ∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D， ∴△DCE∽△DAC， 设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x， ∴，∴， ∴， 在Rt△ACD中，， ∴∠DAC=30°， ∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE， ∴△OAE为等边三角形， 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°， ∴△EOC为等边三角形， ∴EA=AO=OE=EC=CO， 即EA=AO=OC=CE， ∴四边形EAOC为菱形． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图1，在正方形中，，点与点重合，以点为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交的延长线于点，点是的三等分点（点在点的左侧）．将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点的对应点为点． (1)如图2，在旋转过程中，当经过点时． ①求的度数； ②求图中阴影部分的面积； (2)在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，请直接写出点到切点的距离． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①连接，可知，再求出即可；②作，根据即可求解； （2）分类讨论当半圆与、、相切的三种情况，画出对应的几何图，根据切线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： ∵点是的三等分点， ∴， ， ， ， ， 即 ②观察可知： 作，如图所示：   ， ， ， ， ， ∴ （2）解：①当半圆与相切时，如图所示： 设切点为点，连接并延长，交与点，连接，    ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ②当半圆与相切时，如图所示： 设切点为点，连接，过点作，    ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ③当半圆与相切时，如图所示：    综上所述：点到切点的距离为或或 【点睛】本题以正方形和圆作为几何背景，考查了旋转这一类动态问题．涉及了勾股定理、切线的性质定理、矩形的判定与性质等知识点．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 4．（24-25九年级下·河南开封·月考）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中，为方便取用，扇架两端的支架高度要小于手柄长度的，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点， ． (1)求扇架两端支架的取值范围； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，理解切线的性质，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算公式是解决问题的关键． （1）连接，，过点作于点，依题意得：，，，在同一条直线上，，，，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得扇架两端支架的取值范围； （2）先在中，利用锐角三角函数求出，进而再分别求出，，进而即可得出阴影部分面积． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： 依题意得：，，，在同一条直线上， ∵扇面的半径为， ∴， ∵直线与扇面相切于点，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（）， ∴扇架两端支架的取值范围为：； （2）过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， ∴做装饰部分的面积为：． 5．（2025·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，恰为的直径．过点O作的切线与的延长线交于点 D．已知点A的坐标为． (1)求的值； (2)若点 D 恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何综合，正确作出辅助线求得点的坐标，是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可解答； （2）连接，过点D作轴于点E,利用角度转换得到，再利用相似三角形的判定和性质可得点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：由得， ∵的半径为， ， 在中，根据勾股定理得， ， （2）解：如图，连接，过点D作轴于点E, ， 与相切交于点O, ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ，， 点D的坐标为， ， ∴经过点D的反比例函数的解析式为． 6．（2024·山东淄博·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数的图象交于A、D两点，连接，． (1)求b的值； (2)求二次函数的关系式； (3)在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 （1）根据二次函数，则其对称轴为直线，根据抛物线对称轴和，即可求得点A、B的坐标分别为：、，将代入，即可求解； （2）从而得抛物线的表达式为：，再由直线的表达式为，可得，过点B作于点H，根据，故设，则，则，则，则，则，过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T，则为等腰直角三角形，则，则点，将点D的坐标代入抛物线表达式得：，求得：，即可求解； （3）设点，分两种情况：当点在轴右侧时，先求得，再根据，即，所以，求解即可；当点在轴左侧时，同理可解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ∵， ∴设点A、B的坐标分别为：、，则，解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 将代入，得， 解得：； （2）点A、B的坐标分别为：、，则抛物线的表达式为：， 如下图，设直线交y轴负半轴于E，过点B作于点H， ∵直线的表达式为， 令，则， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，故设，则，则， 则，则，则， 过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T， 则为等腰直角三角形，则，则点， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：，即； 则抛物线的表达式为：； （3）解：存在， 理由：设点， 当点P在y轴右侧时，如下图①， 当以P为圆心的圆与直线和x轴都相切， 则点P为的角平分线和抛物线的交点， 由（1）知：， 而直线m和x轴的夹角为， 如上图②，设为等腰直角三角形，，则， 设，则， 则， 设与x轴相切于T，连接， ∴， ∴ ∴ ∵点P在第四象限， ∴，， 则， ∵ ∴， ∴ ∴ 解得：，（舍去） 当点P在y轴左侧时，则点P所在的直线（n）和m垂直， 同理可解得：，（舍去）， 综上， P点横坐标为． 7．（2025·广东清远·二模）在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． (1)如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)①四边形是正方形，理由见解析  ②是定值 (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形和圆的基本知识； （1）①先证明四边形是矩形，又，故四边形是正方形； ②设点的坐标为，则，即a为定值，求出直线l的解析式，即可求出，的长，然后代入计算解题即可； （2）证明为等边三角形，再求点的坐标，进而求出点、、的坐标，依次求出二次函数、直线、直线的表达式，联立直线和二次函数的解析式求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）①解：四边形是正方形，证明如下： ∵分别与两坐标轴相切， ， ， 又∵， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； ②解：设点的坐标为， ∴，即a为定值， 设直线l的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，，令，则， ∴，， ∴为定值； （2）解：连接， 过点作于， ∵四边形为菱形， (半径)， 为等边三角形， 在中， ， ∴代入 解之得：(负值舍去)， 则 ∵四边形是矩形， ∴ ， ； 设二次函数解析式为：过点， 解得， ∴二次函数解析式为：； 设直线的解析式为： 据题意得：，解得： ， ∴直线的解析式为 过点作直线，则可得直线的解析式为， 解方程组： 解得 或 ， 过点作直线，则可设直线的解析式为：， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 解方程组： ，解得 或 ， 综上可知，满足条件的的坐标有四个，分别为． 8．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，为轴上一点，点坐标为，且，点是的内心，过点的反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求的值； (2)若与直线相切于点，求线段的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角函数，一次函数与反比例函数综合． （1）由三角函数得到，，，设的半径为r，根据等面积法求出，即可得解； （2）求出直线的解析式，联立得，则，由勾股定理得，过M作轴，连接，则，即可得解． 【详解】（1）∵点坐标为，， ∴，，， 设的半径为r， ∴， 解得 ∴； （2）由（1）可知：， 设直线的解析式为， 将代入可得 ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， ∴ 过M作轴，连接， ∴ ∴ 9．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，的半径为，正三角形的顶点的坐标为，顶点在上运动，顶点C在边的上方． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在直线与相切的位置关系？若存在，请求出点的坐标； (3)设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值． 【答案】(1)或 (2)存在，或 (3)， 的最大值为，的最小值为 【分析】（1）根据点A在y轴的左侧或者右侧进行分类讨论．当点A在y轴左侧时，作，垂足为D，由题意可得等边的边长为，根据等边三角形的性质和勾股定理计算出、和，从而得到点C的坐标；当点A在y轴右侧时，用同样的方法计算即可． （2）假设存在，根据点A在x轴上方或者下方进行分类讨论．当点在轴上方时，连接，作轴，垂足为E，取线段的中点M，连接，根据和的长，以及切线的性质，推算出．由于是等边三角形，则，进一步得到，用含角的直角三角形的性质和勾股定理算出点C坐标；当点在轴下方时，用同样的方法算出点C坐标． （3）连接，作轴，垂足为F，作，垂足为G．由轴，可得点F的坐标，进而表示出和，利用勾股定理算出和．运用等边三角形的性质，用含x的代数式表示出，结合x的取值范围和一次函数的增减性算出的最大值和最小值． 【详解】（1）解：①当点A在y轴左侧，如图，作，垂足为D， ∵的半径为， ∴点A坐标为，， ∵点的坐标为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点C坐标为； ②当点A在y轴右侧，如图， 与①同理，计算得，点C坐标为； 综上所述，点C坐标为或； （2）解： 假设存在， ①当点在轴上方时，如图，连接，作轴，垂足为E，取线段的中点M，连接， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在直角中，，， 由勾股定理得，， ∵点M是线段的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点C坐标为； ②当点在轴下方时，如图， 同理①可得，是等边三角形， ∴此时点C和点M重合， ∴点C坐标为； 综上所述，假设成立，点C坐标为或． （3）解：如图，连接，作轴，垂足为F，作，垂足为G， ∵点的横坐标为， 又∵轴，垂足为F， ∴点的坐标为， ∴，， 在直角中，， 在直角中，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴的面积， ∵， ∴，这是一个一次函数，且比例系数， ∴随着的增大而减小， ∵点在上运动， ∴， 当时，取最大值为， 当时，取最小值为． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的性质，切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理和一次函数的性质，审题仔细并添加正确的辅助线是解题关键． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质和平行线的判定可得，由此可知，然后根据等腰三角形进行角的等量代换； （2）利用三角函数的定义，在和中建立边长的关系，即可求解线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 在中， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数的应用，证明角相等时，连接切点与圆心是圆的切线问题中常用的辅助线的作法；边长的计算中，利用三角函数将角的关系转化为边的比例关系，体现了几何问题中“数”与“形”的相互转化． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆与直线综合题 典例详解 类型一、切线与图形几何变化综合 类型二、多知识点融合压轴题 类型三、切线的实际应用题 类型四、切线与反比例函数综合 类型五、切线与一次函数综合 类型六、切线与二次函数综合 压轴专练 类型一、切线与图形几何变化综合 例1（24-25九年级上·河北石家庄·月考）如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是 ． 变式1-1（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为． (1)在图1中，劣弧的长为________； (2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示． ①求x的值； ②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和； (3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 变式1-2（2023·河北石家庄·一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．    (1)若的边经过点D，则平移的距离______； (2)如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数； (3)当的边与半圆E相切时，直接写出x的值． 变式1-3（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）将直角三角尺（）的顶点A放在量角器（半圆O）上，已知，，，量角器（半圆O）的直径为8． 操作  现从与半圆O相切于点A（图1）的位置开始，将三角尺（）绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O相交于点E，F，连接（图2），当边落到上时停止（图3）． （1）在旋转过程中，判断弦的长是否会发生变化？说明理由； 思考  取的中点为M． （2）从三角尺（）旋转开始到结束，求点M运动的路径长； 探究  当旋转结束时，点F与D重合，如图3． （3）直接指出边与半圆O的位置关系（不说理由），并求此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 类型二、多知识点融合压轴题 例2（2021九年级·全国·专题练习）已知∠B为△ABC的内角，且sinB与cosB恰好为方程mx2－mx＋p－4＝0的两根，以AB为直径的⊙O交AC于 D，取BC的中点E，经过A、B、E的⊙O′交直线DE于F，如图，连接AF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）求证：AD2＝AF• AB； （3）若⊙O的半径R＝p，且 AD：CD＝2：3，求弦EF的长及tan∠ ABF． 变式2-1（2021·辽宁抚顺·三模）如图，已知中，，，．点是边上的一点，且，是的外接圆． （1）求证：； （2）判断与直线的位置关系，并说明理由； （3）请直接写出的半径． 变式2-2（2021·黑龙江大庆·一模）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 变式2-3（19-20九年级上·山东淄博·期末）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6． （1）求证：∠COD＝∠BAC； （2）求⊙O的半径OC； （3）求证：CF是⊙O的切线． 类型三、切线的实际应用题 例3（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 变式3-1（25-26九年级上·广东广州·月考）某户外拓展基地有一个三角形攀岩架，其中，，．是斜边上的可移动锚点，工作人员以点为圆心，的长为半径固定了一个圆形安全防护圈（），防护圈与边交于点（点不与点重合）． (1)如图1，当圆形防护圈恰好与边（攀岩架的垂直侧边）相切时，求这个防护圈的半径．（结果保留根号） (2)如图2，当锚点移动至的位置时，工作人员在点与点之间拉设了一根安全绳，请你判断这根安全绳与圆形防护圈是否相切，并说明理由． 变式3-2（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． (1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． (2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 变式3-3（2025九年级·全国·专题练习）【经验感知】如图①，为球门，直线l是足球场的底线，直线，垂足为C．若，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．请用尺规，作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的（不写作法，保留作图痕迹）． 【理解应用】如图②，矩形是足球场的部分示意图，其中宽，球门，且．P，Q分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点P处带球，沿方向跑动．球员戊在上何处才能使射门角（）最大？请直接写出此时的长度． 变式3-4（2024·河北·模拟预测）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，，连接，，连接交于点K，在与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆O的直径，． (1)若． ①求填充物部分(弓形)的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点E落在桌面上时，求支架顶端点A到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点E落在桌面上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离． 类型四、切线与反比例函数综合 例4（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-1（2025·河南驻马店·三模）如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长； (3)直接写出面积的最大值． 变式4-2（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 类型五、切线与一次函数综合 例5（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-1（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段长度的最小值为图形的“雅近值”，记为，特别地，若图形有公共点，规定． (1)如图1，的半径为2， ①点，，则______； ②已知直线，求直线与的雅近值． (2)如图2，C为轴正半轴上的一点，的半径为1，直线与轴交于点D，与轴交于点E． ①若，，线段与的“雅近值”，请直接写出圆心C的纵坐标的取值范围； ②若，圆心C的纵坐标，直线与的“雅近值”，直接写出的取值范围． 变式5-2（24-25九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴重合，，，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)写出点坐标； (2)点从点出发，以每秒个长度单位的速度向点运动，点 从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动，设它们运动的时间为．过点作直线的垂线，交折线于点，过点的直线记作． 当时， ．（用含的代数式表示）； 当的面积为时，求的值； 当直线与以为直径的圆相切时，直接写出的值． 类型六、切线与二次函数综合 例6（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 变式6-1（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为_____，_______； (2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 变式6-2（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 1．（16-17九年级下·四川成都·月考）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为 ． 2．（2020·湖北·中考真题）如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E． （1）求证：平分； （2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由． 3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图1，在正方形中，，点与点重合，以点为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交的延长线于点，点是的三等分点（点在点的左侧）．将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点的对应点为点． (1)如图2，在旋转过程中，当经过点时． ①求的度数； ②求图中阴影部分的面积； (2)在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，请直接写出点到切点的距离． 4．（24-25九年级下·河南开封·月考）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中，为方便取用，扇架两端的支架高度要小于手柄长度的，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点， ． (1)求扇架两端支架的取值范围； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 5．（2025·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，恰为的直径．过点O作的切线与的延长线交于点 D．已知点A的坐标为． (1)求的值； (2)若点 D 恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 6．（2024·山东淄博·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数的图象交于A、D两点，连接，． (1)求b的值； (2)求二次函数的关系式； (3)在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·广东清远·二模）在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． (1)如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 8．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，为轴上一点，点坐标为，且，点是的内心，过点的反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求的值； (2)若与直线相切于点，求线段的长． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，的半径为，正三角形的顶点的坐标为，顶点在上运动，顶点C在边的上方． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在直线与相切的位置关系？若存在，请求出点的坐标； (3)设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，则的长为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $