专题06 圆与直线相关动点最值与存在性问题（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题06 圆与直线相关动点最值与存在性问题 典例详解 类型一、过动点切线最值问题 类型二、过动点切线线段和差最值问题 类型三、动态切线存在性问题 类型四、切线与角度最值问题 类型五、多动点联动切线问题 压轴专练 类型一、过动点切线最值问题 例1（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， 要使有最小值，则需满足取最小值即可， ∴当时，有最小值5， ∴的最小值为； 故选D． 变式1-1（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式1-2（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质． 连接，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于， ， ∵的半径为1， ， 当与重合时，最小， ∵等边的边长为2， ， ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 变式1-3（24-25九年级上·江苏淮安·月考）如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得 ， ∴要使最小，只需最小 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4． 故答案为：4． 类型二、过动点切线线段和差最值问题 例2（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 变式2-1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，与y轴相切于点，与x轴相交于点，．点Q是x轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】如图，作关于轴对称的点，连接交轴于点，过作轴于，连接，连接，则，，此时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称的点，连接交轴于点，过作轴于，连接，连接，则，， 此时， ∴最小． ∵与y轴相切于点， ∴轴， ∴， ∵点，，轴， ∴四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式2-2（21-22九年级上·陕西商洛·期末）如图，矩形中，，，分别以、为圆心，1为半径画圆，、分别是、上的一动点，是边上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接并延长到点交于点，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，则就是的最小值； ∵矩形中，，，圆、的半径为1， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解决本题的关键． 变式2-3（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，直线垂直的半径于点，是上的一个动点，，垂足为，若的半径为4，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，作直径，连接，得到，由得到，根据函数的性质求解最值即可． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， 的半径为， ， 直线与相切于点， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， 的最大值是， 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，二次函数的最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类型三、动态切线存在性问题 例3（18-19九年级下·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，动点P从B点出发以2个单位/s向A做直线运动，同时动点Q从C点出发以个单位/s向B做直线运动，以PQ为直径作⊙O，设运动时间为t（s），当⊙O与AB相切时t=（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】先求出AB=8，BC=4，如图，当⊙O与AB相切时，PQ⊥AB，则可证△QPB∽△ACB，由比例线段可求出t的值． 【详解】如图， 由题意得， ∵⊙O与AB相切， ∴PQ⊥AB， ∴∠ACB=∠QPB=90°， ∵∠PBQ=∠ABC， ∴△QPB∽△ACB， 故选A． 【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质；以点P和Q运动为主线，画出相应的图形是关键． 变式3-1（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动． （1）若M为线段OB中点，以P为圆心，PM为半径的圆与直线AB相切时，求t的值； （2）若⊙P是以P为圆心、1为半径的圆， ①当点P在线段OA上运动时，直线l与⊙P相交时，求t的取值范围； ②在整个运动过程中，若动点P以每秒m个单位的速度运动，使⊙P与直线l有且只有两次机会相切，求出m满足的条件． 【答案】（1）或；（2）①；②m=或 【分析】（1）分两种情况讨论，当P在OA上时，推出,根据相似三角形的性质，可以求出t的值；当P在BO上时， （2）①分别求出相切时的两种情况下t的值，进而求相交时t的取值范围； ②由①可以判断两次相切只能在圆的左侧和右侧，可以求出m的取值 【详解】（1）如图一，点在OA上时，， ∴∠P1MA=∠P1AM ∴ ∴ 即 ∴t= 如图二，当P2点在OB上时， ∴ ∴ 综上，t=或； （2）①如图当直线l2在⊙P右侧与圆相切时， t+1+t=4，t=； 当直线l1在⊙P右侧与圆相切时， t-1+t=4，t=; 综上：当时，直线l与⊙P相交 ②由①可知，只有两次相切表示只能在圆的左侧和右侧相切； 即tm=4； 当t=时，m=；当t=时，m= 综上，m=或 【点睛】本题考查相似三角形的性质，圆的切线，以及动点问题，综合性较强，解题的关键是对涉及到的知识点掌握熟练并能灵活运用，考虑到动点的所有情况 变式3-2（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，是对角线上的一个动点，以为直径作圆．当的长为多少时，圆与矩形的边相切？ 【答案】当的长为或时，圆与矩形的边相切 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 如图，设以为直径的圆的圆心为，作于点于点．根据勾股定理求出，分与相切、与相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算． 【详解】解：如图，设以为直径的圆的圆心为，作于点于点． 设的半径为，则． 在矩形中，， ． 当时，与相切． ， 即， 解得．此时； 当时，与相切． ， 即， 解得．此时． 综上所述，当的长为或时，圆与矩形的边相切． 类型四、切线与角度最值问题 例4（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知直线，点A，B分别是直线a，b上的定点，，动点C从点A出发沿直线a向左运动，同时，动点D从点B出发沿直线b向右运动，连接交于点E，过点B作的垂线，垂足为点P，连接．若点C的速度是点D的速度的两倍，则当最大时，的值为 ． 【答案】/ 【分析】由“动点与动点同时出发，且点的速度是点的速度的两倍”可得，即，由直线可证得，于是可得，则，，进而可得点为上的定点，由可得，由度的圆周角所对的弦是直径可得点在以为直径的圆上运动，取线段的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在上运动，当与相切时，最大，连接，由切线的性质可得，即，由线段之间的和差关系可得，，然后根据即可求出的值． 【详解】解：动点与动点同时出发，且点的速度是点的速度的两倍， ， 即：， 直线， ， ， ，， 点为上的定点， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在上运动， 当与相切时，最大，连接，则，即， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，相似三角形的判定与性质，度的圆周角所对的弦是直径，切线的性质等知识点，推出点为上的定点以及点在以为直径的圆上运动是解题的关键． 变式4-1（24-25九年级上·广东惠州·期末）综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 【答案】[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]： 【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可； [实践探索]同理可得结论； [迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答． 【详解】[素材] 解：如图1，设交圆于点C，连接， ∵， ∴； [实践探索] 证明：如图2，设交于C， ∵， ∴， ∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时； [迁移应用] 解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接， 由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时， ∵点，点， . ∴， ∴.， ∵ ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线． 变式4-2（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作直径，连接，过、两点的与轴相切于时，最大，由，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过、两点的与轴相切于时，最大， 作直径，连接， 与轴相切于， 直径， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， . ， 的坐标是，的坐标是， ，， ， ， 的横坐标是. 故答案为：. 变式4-3（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，边长为4，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，则＝ ． 【答案】 【分析】先作的外接圆，当最大时，最大，进而转化成求的最大即可；而当与相切时，最大，求出四边形是矩形，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作的外接圆，则圆心O在的中垂线上移动， ∵， ∴当最大时，最大， 当与相切时，最大， ∵M是的中点，， ∴， 连接，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即 ， ∴， 故答案为：． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键是理解当与相切时，最大． 类型五、多动点联动切线问题 例5（21-22九年级上·河北石家庄·期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP． (1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切； (2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围； (3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)当t时，线段DP与⊙Q相切； (2)0＜t或； (3)或5或8． 【分析】（1）过点A作AN⊥BC于点N，则BNcm，由线段DP与⊙Q相切，则∠BDP＝∠BNA＝90°，利用△BDP∽△BNA，得，代入即可求出t的值； （2）分两种情形：出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，得0＜t，当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，当点P与点E重合时，，可解决问题； （3）分AP＝AC，PPC，CA＝CP三种情形，分别画出图形，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm， 过点A作AN⊥BC于点N，如图1， 则BNcm， ∵线段DP与⊙Q相切， ∴PD⊥BD， ∴∠BDP＝∠BNA＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDP∽△BNA， ∴， ∴， 解得t， ∴当t时，线段DP与⊙Q相切； （2）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点， ∴0＜t， ②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点， ∵点P与点E重合时， ∵∠BED＝∠ANB＝90°， ∴DEAN， ∵， ∴BE＝BP＝， ∵BP＋CP＝BC， ∴， 解得：t， ∵当P到点B时，t＝＝8， ∴t＜8， ∴t＜8， 综上，当0＜t或时，⊙Q与线段DP只有一个公共点； （3）①当AP＝CP时，由题意得：CP＝2tcm， 过点A作AN⊥BC于点N，过点P作PM⊥AC于点M，如图2，    ∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC， ∴BN＝NC， ∵AP＝CP，PM⊥AC， ∴CM， ∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMP∽△CNA， ∴， ∴， ∴t； ②当AC＝CP时，如图3， 则2t＝10， ∴t＝5； ③当点P到达点B时，此时CP＝CB， ∴2t＝16， ∴t＝8， 综上，当△APC是等腰三角形时t的值为或5或8． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了动点问题，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 变式5-1（2021·四川绵阳·二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm，BD＝16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN． (1)求BF的长（用含有t的代数式表示，并求出t的取值范围； (2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？ (3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接MF．只要证明MFAD，可得，即，即可求解； （2）当线段EN与⊙M相切时，证明△BEN∽△BOA，可得，即，解方程即可； （3）分EN在⊙M外部和内部两种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． （2）当线段与相切时，EN⊥BE ∵AO⊥BO ∴∠BEN=∠BOA 又∠EBN=∠OBA ∴ ∴， ∴， ∴， ∴时，线段与相切； （3）由（2）可得当时，与线段只有一个公共点． 当F与N重合时，则有，解得， 由图可知，时，与线段只有一个公共点 综上所述，当或时，与线段只有一个公共点． 【点睛】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题． 变式5-2（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，，对角线平分，点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（），连接，以为直径作． (1)求的长； (2)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (3)当t为______时，与的一条边相切． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）过点D作于点M，证明，利用直角三角形的性质及勾股定理求出的长，再证明即可； （2）分和两种情况，分别列方程求解即可； （3）分与相切和与相切两种情况，分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点M， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ； （2）解：当线段被截得的线段长恰好等于的半径时，该线段与半径组成的三角形是等边三角形，此三角形的内角为，分两种情况： 当时，点为圆与的另一交点，连接， 由题意，，， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或1时，线段被截得的线段长恰好等于的半径； （3）当与相切时，，点Q为切点， ， ， ， ， ， ， 解得； 当与相切时，设切点为点E，连结并延长，交于点F，连结， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， 是直径， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得，， ， ，均不合题意，舍去； 综上所述，当t为时，与的一条边相切． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，运用分类讨论思想合理分类并画出相应的图形求解是关键． 变式5-3（2025八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线的判定，直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 1．（2024·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，过点作，则，可证得四边形是矩形，，进而可知是等边三角形，可得，由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，如图， 过点作，则，， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵与射线相切于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，则， ∴，则， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：的值最大为， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，作出图形，利用切线的性质，矩形的判定及性质证得是等边三角形是解决问题的关键． 2．（2019·北京·二模）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= . 【答案】2 【分析】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，根据切线的性质求得OP⊥AB，进而根据已知求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，设PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB==3，从而求得CQ的最小值为2． 【详解】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短， ∴OP⊥AB， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠POA=60°， ∵OP=OQ， ∴△POQ为等边三角形， ∴∠POQ=60°， ∴∠APQ=30°， ∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB==3， ∴CQ=2， ∴CQ的最小值为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 5．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 相离 17 【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论； （2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中，，， ∴,点到距离为， ∵， ∴直线与的位置关系为相离， 故答案为：相离． （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为的中点， ∵线段的中点为， ∴ ， 即在以为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于的对称轴点，则 连接，交于点，则此时取得最小值， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（24-25九年级下·湖南益阳·月考）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接． ∵是⊙的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段OP最短， ∴PQ的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，正方形中，．动点从点出发，在边上以每秒的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒 的速度向终点匀速运动，当、到达终点后停止运动，连接．设运动时间为（秒） (1)当秒时，则的面积_______________．（直接写出答案） (2)以为直径作，在点、的运动过程中，当与或所在直线相切时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作于点，分别表示出，根据，求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分与或所在直线相切时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，是等腰三角形， 依题意，，则，， ∴ 当时，， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点作于点， 当与相切时，，则点与点重合， ∵,，是等腰三角形， ∴，即 解得： 当与相切时，，则是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，切线的性质，列代数式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 8．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于C、B两点，C为中点． (1)求直线解析式； (2)动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作交x轴于点M，若线段的长为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，以为直径作，求t为何值时直线与相切． 【答案】(1)直线解析式为 (2) (3)或时，直线与相切 【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、平行线分线段成比例定理及锐角三角函数的定义等知识，难度适中． （1）先根据直线与x轴、y轴分别交于C、B两点求出两点的坐标，再由点C是的中点求出A点坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）由可知，再由点Q从C出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动可知可用t表示出的长，再由可知，再由即可得出结论； （3）过N点作交直线于H点，根据N为的中点可知，故可得出的长，再根据可知，由可知，所以，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于C、B两点， ∴时，；时，， ∴， ∵C为中点， ∴， 设直线表达式为：， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）如下图： ∵， ∴， ，， ， 动点Q从C出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作交x轴于点M， 当动点Q到达终点B时，，此时点P到达终点A， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； （3）过N点作交直线于H点． ∵N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或． 综上，或时，直线与相切． 9．（2024·陕西商洛·二模） (1)【问题提出】 如图①，，若，则的度数为______； (2)【问题探索】 如图②，在中，，，，点为边上一动点，连接，以为直径的交于点，求线段的最小值． (3)【问题解决】 如图③，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，连接，，，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)线段的最小值为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）不妨设，根据等边对等角，知道，， ，把，，用表示出来，然后在中利用三角形内角和，计算出； （2）根据直径所对的圆周角是，推出，然后根据邻补角得到，从而知道在以为直径的圆上，取的中点，画出，所以当、、三点共线时，最小，然后在中用勾股定理求出，最后求出的长度； （3）当最大时，过、两点的与轴相切，点在的垂直平分线上，首先通过待定系数法求出直线的表达式，通过、两点的中点，以及直线与轴的交点,判断和为等腰直角三角形，从来推出点坐标，然后通过待定系数法求出的垂直平分线的表达式，设的坐标，然后在中利用勾股定理求出的坐标，从而得到点的坐标． 【详解】（1）连接，不妨设，如图所示 ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 是的直径， ， ， 即点在以为直径的圆上， 以为直径作，交于点，当、、三点共线时，最小， 中，，，， ， ， ， 故线段的最小值为； （3）如图，当最大时，过、两点的与轴相切， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 延长交轴于点，当时，， ， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，直线交轴于点，交轴于点， 过点作， ， ， ， 点的坐标为， 直线的解析式为， 设，过点作， ， 在中，， 解得，（舍去）， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和，勾股定理，圆周角定理以及推论，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（25-26九年级上·山东济宁·月考）阅读下列材料，回答问题． 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值． 解决问题： (1)如图①，圆的半径为1，圆外一点到圆心的距离为3，圆上一动点，当共线时，有最小值为___________． (2)如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以为圆心，2为半径作圆，圆上动点到的距离最小值为___________． (3)如图③，，分别是射线上两个动点，是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点运动形成的路径长为___________． (4)如图④，在矩形中，，点是中点，点是上一点，把沿着翻折，点落在点处，的最小值___________ (5)如图⑤，在中，，，，以边中点为圆心，作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)2 (3)，见解析 (4)，见解析 (5)1，见解析 【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时，，在一条直线上； （2）作于点，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出的长度，用的长度减去半径即为圆上动点到的距离最小值； （3）根据点与点之间的距离永远不变说明点的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长即可； （4）先根据为定值，确定点的运动轨迹，然后当三点共线时，最小，利用勾股定理求出的长度，再减去半径即可； （5）过点作，利用相似三角形的性质得出， 的长度，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意可得， 根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，有最小值为，此时在一条直线上（或）； （2）解：如图，作于点， ， ， 由勾股定理得， 当点三点共线时，点到的距离最小， 点到的距离最小值为． （3）解：如图，连接， ∵是中点，， ， ∴是在为圆心，半径为2的圆上， ∴． （4）解：如图，连接， ∵点是中点，， ∴， 根据折叠可得， ∴的在以为圆心，2为半径的圆上． ∵， 当点三点共线时，最小， 的最小值为． （5）解：当点三点共线且时，最小， 如图，过点作，交圆于点，设半圆与的切点是K，连接，则， ∵在中，，，，点为中点， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，涉及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质等知识点，找到动点的运动轨迹是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆与直线相关动点最值与存在性问题 典例详解 类型一、过动点切线最值问题 类型二、过动点切线线段和差最值问题 类型三、动态切线存在性问题 类型四、切线与角度最值问题 类型五、多动点联动切线问题 压轴专练 类型一、过动点切线最值问题 例1（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 变式1-1（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 变式1-2（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 变式1-3（24-25九年级上·江苏淮安·月考）如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 类型二、过动点切线线段和差最值问题 例2（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 变式2-1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，与y轴相切于点，与x轴相交于点，．点Q是x轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 变式2-2（21-22九年级上·陕西商洛·期末）如图，矩形中，，，分别以、为圆心，1为半径画圆，、分别是、上的一动点，是边上的一动点，则的最小值是 ． 变式2-3（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，直线垂直的半径于点，是上的一个动点，，垂足为，若的半径为4，则的最大值为 ． 类型三、动态切线存在性问题 例3（18-19九年级下·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，动点P从B点出发以2个单位/s向A做直线运动，同时动点Q从C点出发以个单位/s向B做直线运动，以PQ为直径作⊙O，设运动时间为t（s），当⊙O与AB相切时t=（　　） A． B．2 C． D．2 变式3-1（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动． （1）若M为线段OB中点，以P为圆心，PM为半径的圆与直线AB相切时，求t的值； （2）若⊙P是以P为圆心、1为半径的圆， ①当点P在线段OA上运动时，直线l与⊙P相交时，求t的取值范围； ②在整个运动过程中，若动点P以每秒m个单位的速度运动，使⊙P与直线l有且只有两次机会相切，求出m满足的条件． 变式3-2（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，是对角线上的一个动点，以为直径作圆．当的长为多少时，圆与矩形的边相切？ 类型四、切线与角度最值问题 例4（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知直线，点A，B分别是直线a，b上的定点，，动点C从点A出发沿直线a向左运动，同时，动点D从点B出发沿直线b向右运动，连接交于点E，过点B作的垂线，垂足为点P，连接．若点C的速度是点D的速度的两倍，则当最大时，的值为 ． 变式4-1（24-25九年级上·广东惠州·期末）综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 变式4-2（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为 ． 变式4-3（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，边长为4，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，则＝ ． 类型五、多动点联动切线问题 例5（21-22九年级上·河北石家庄·期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP． (1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切； (2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围； (3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值． 变式5-1（2021·四川绵阳·二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm，BD＝16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN． (1)求BF的长（用含有t的代数式表示，并求出t的取值范围； (2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？ (3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围． 变式5-2（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，，对角线平分，点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（），连接，以为直径作． (1)求的长； (2)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (3)当t为______时，与的一条边相切． 变式5-3（2025八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 1．（2024·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 2．（2019·北京·二模）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= . 3．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 5．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． 6．（24-25九年级下·湖南益阳·月考）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，正方形中，．动点从点出发，在边上以每秒的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒 的速度向终点匀速运动，当、到达终点后停止运动，连接．设运动时间为（秒） (1)当秒时，则的面积_______________．（直接写出答案） (2)以为直径作，在点、的运动过程中，当与或所在直线相切时，求的值． 8．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于C、B两点，C为中点． (1)求直线解析式； (2)动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作交x轴于点M，若线段的长为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，以为直径作，求t为何值时直线与相切． 9．（2024·陕西商洛·二模） (1)【问题提出】 如图①，，若，则的度数为______； (2)【问题探索】 如图②，在中，，，，点为边上一动点，连接，以为直径的交于点，求线段的最小值． (3)【问题解决】 如图③，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，连接，，，当最大时，求点的坐标． 10．（25-26九年级上·山东济宁·月考）阅读下列材料，回答问题． 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值． 解决问题： (1)如图①，圆的半径为1，圆外一点到圆心的距离为3，圆上一动点，当共线时，有最小值为___________． (2)如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以为圆心，2为半径作圆，圆上动点到的距离最小值为___________． (3)如图③，，分别是射线上两个动点，是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点运动形成的路径长为___________． (4)如图④，在矩形中，，点是中点，点是上一点，把沿着翻折，点落在点处，的最小值___________ (5)如图⑤，在中，，，，以边中点为圆心，作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $