第二章 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）数学浙教版九年级下册

该初中数学讲义以“直线与圆的位置关系”为核心，通过表格系统梳理位置关系判定、切线性质与判定、切线长定理等核心知识点，清晰呈现d与r关系、公共点个数等关键要素，构建完整知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义按“培优-拔尖”分层设计题型，涵盖基础判断（如直线与圆位置关系）、综合应用（如圆与函数结合）及创新题型（如隐圆问题），通过变式训练培养推理能力与空间观念，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有力支持。

第二章 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版】 【培优篇】 2 【题型1 直线和圆的位置关系】 2 【题型2 切线的判定与性质】 7 【题型3 切线长定理】 16 【题型4 三角形的内切圆和内心】 20 【拔尖篇】 26 【题型5 圆与函数】 26 【题型6 圆与格点作图】 34 【题型7 圆中的最值】 39 【题型8 圆中的定值】 44 【题型9 隐圆问题】 54 【题型10 圆中的多结论问题】 62 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点3 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点4 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【培优篇】 【题型1 直线和圆的位置关系】 【例1】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 【变式1-1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 【变式1-2】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式1-3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 【题型2 切线的判定与性质】 【例2】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2-1】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式2-2】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 【变式2-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，，根据圆的性质可知，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用平行线的性质可知、，等量代换可证结论成立； 连接，，，，，设与交于点，连接，根据切线的性质可证，因为为弦切角，可证，根据圆周角定理可证，利用勾股定理可以求出圆的半径为，在中利用勾股定理求出，，在矩形中可以求出，在中，可以求出. 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ， ． 四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作于点， ，， ． ，， ， ． ， ． ． 即平分； （3）解：如下图所示，连接，，，，，设与交于点，连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， 为弦切角， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由可知平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即圆的半径为， ， ， ， 过点作于点， 则四边形为矩形． ，． ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相等的角，利用角之间的关系找边之间的关系． 【题型3 切线长定理】 【例3】如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中 ， ， ， 故选：A． 【变式3-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 【变式3-3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 【题型4 三角形的内切圆和内心】 【例4】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【拔尖篇】 【题型5 圆与函数】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，且为直径，得到，，求得，即可得到，即可求得点的坐标 （2）连接，则，用勾股定理分别求得，，，求得，即可求得直线的解析式 【详解】（1）∵，且为直径， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为 （2）由（1）知点的坐标为，则， ∴设直线的解析式为：，则点F的坐标为：， 在中，， 设的半径为r，连接，则， 点A的坐标为，则， 在中，，即， 解得：， ∴ 在中，， 由得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【点睛】本题考查了圆与函数(圆的综合问题)和几何问题(一次函数的实际应用)，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键. 【变式5-1】如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 【变式5-2】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点对于圆C上任一点P，都有为常数 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连OA、OQ，根据切线的性质得方程，求解即可得到答案； （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，；当P为圆O与x轴右交点时，，通过解方程得N的坐标，设，则，然后根据比值即可确定问题的答案． 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）连OA、OQ， 是的切线， ， ，， 又， ， ， 整理得：． （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，； 当P为圆O与x轴右交点时，，依题意，， 解得，（舍去），或， 下面证明点对于圆O上任一点P，都有为一常数． 设，则， ， 从而为常数． 【点睛】本题为圆的综合题目，能够根据圆的性质、切线的性质及勾股定理得到方程，从而求解可得问题的答案，是中考压轴题目． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可； （2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【题型6 圆与格点作图】 【例6】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【变式6-1】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 【变式6-2】（2025·天津·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点M在边上，点N在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 如图，根据题意，切点为M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 【详解】解：（1）AG； （2）如图，点M，N，P即为所求． 方法：如图，根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 故答案为：（1）（2）根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【详解】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 【题型7 圆中的最值】 【例7】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式7-2】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线性质等知识．先根据中垂线的性质得到点B为的中垂线与的交点，再结合图形，当点A在的延长线上时，有最大值，当的中垂线与相切于点B时，最小，进而结合勾股定理和正方形的判定与性质、圆的切线性质分别求得的最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴点B在的中垂线上， ∵点A、B在上， ∴点B为的中垂线与的交点， 如图，当点A在的延长线上时，存在点B，此时有最大值，最大值为； 如图，当的中垂线与相切于点B时，最小，设中垂线交于C，连接，，过O作于D， 则，又， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，, ∴， 解得，则的最小值为， 故答案为：7，． 【题型8 圆中的定值】 【例8】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值4 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【详解】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式8-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D两点，过C作的切线，过A作于F，交于N，当的半径从小变大时，的长度（   ） A．不变 B．逐渐变大 C．不规则变化 D．逐渐趋近一个定值 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，坐标与图形性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点作于，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，则， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 则当的半径从小变大时，的长度不变， 故选：A． 【变式8-2】如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得 ，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的定义，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 【变式8-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，的半径为2，A、B是上的两点，，C是的中点． (1)_______________度；并求阴影部分的面积； (2)若点P在上，且是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置； (3)如图2，弦的端点在优弧上滑动（不与A、B重合），且，连接、分别交、于点E、F．当弦的端点在优弧上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出四边形面积的取值范围； (4)如图3，过点A作射线，交于点G，D是平面内的一个动点，且，Q为的中点．直接写出线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】(1)120； (2)见解析 (3)不变，定值 (4)1 【分析】（1）连接，过点作，根据等弧所对的圆周角相等，证明和是等边三角形，进而得出，，即可求出的度数，再利用扇形面积公式求解即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角，延长交于点，延长交于点，即可作图； （3）连接，过点O作，连接、，利用垂径定理得到，则，再根据圆周角定理得到，由（1）知，为等边三角形，面积为，证明，得到，则四边形的面积的面积，即可求解； （4）连接、，根据直角确定是直径，进而得出为的中位线，则，再根据三角形的三边关系可知，即，可求出线段长度的最大值与最小值的差． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， C是的中点， ， ， ， ， ， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， 阴影部分的面积为； （2）解：如图，点与点即为所求； （3）解：不变，定值为，理由如下： 如图，连接，过点O作，连接、， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，为等边三角形，面积为， ，． ，， ． C是弧的中点， ， ． 在和中， ， ， ， 四边形的面积的面积， 四边形的面积为定值； （4）解：如图，连接、， ， 是直径， G、O、B共线，． 又为的中点， 为的中位线， ， ，即， 线段长度的最大值与最小值的差为1． 【点睛】本题靠考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形面积，垂径定理，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，掌握圆的相关知识点是解题关键． 【题型9 隐圆问题】 【例9】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】连接，，如图， ，且为中点，   ，  ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ，   ，  在中，，， ， ，  由勾股定理得  ，   ，   ，故选A． 【变式9-1】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】连接，，如图， ，且为中点，   ，  ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ，   ，  在中，，， ， ，  由勾股定理得  ，   ，   ，故选A． 【变式9-2】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式9-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为 【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论； （2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果； （3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：，证明如下： ，AB中点为D， ， 为的中点，， ， ， ； （2）解：如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′=AB=6， OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3； （3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶ 以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE， 由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大， ∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°， 又OC⊥AB于T， ∴TC=AT=BT=AB=3， ∵OC=OT+CT=OT+3， ∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大， ∴△AOB的面积最大， ∴∠BOT=∠AOB=22.5°， ∵OE= BE ， ∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ， 综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为 ． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型． 【题型10 圆中的多结论问题】 【例10】如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM=ND′=4，根据OA=OE，ON⊥AD′，可得AN=EN=2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM=60°，∠BOM=60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB=90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB=90°，∠D′AO=60°，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N， ∵D′C'与⊙O相切于点M， ∴OM⊥C′D′， ∴四边形OMD′N是矩形， ∴OM=ND′， ∵AB=8，AB是⊙O的直径， ∴OM=ND′=4， 在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′=AD=6， ∴AN=AD′-ND′=6-4=2， ∵OA=OE，ON⊥AD′， ∴AN=EN=2， ∴AE=4，故①正确； ∵AE=AO=OE=4， ∴△OAE是等边三角形， ∴∠AOE=∠OEA=60°， ∴∠OED′=120°， ∵∠D′=∠OMD′=90°， ∴∠EOM=60°， ∴∠BOM=60°， ∴，故②正确； 如图，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵∠EAO=60°，∠D′AB′=90°， ∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=4， ∴AF=，故③正确； ∵∠DAB=90°，∠D′AO=60°， ∠DAD′=30°，故④正确． 综上所述：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形． 【变式10-1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 【变式10-2】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义： ①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .    【答案】①③/③① 【分析】①设等边三角形的边长为，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明是奇异三角形，只需证即可；④由③可得是奇异三角形，所以，当是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ， ，， 若是奇异三角形，一定有， ， ，得． ， ， ， 故②错误； 在中，， 是的直径， ， 在中，； 在中，． 是半圆的中点， ， ，   ， 又 ，， ． 是奇异三角形， 故③正确； 由③可得是奇异三角形， ． 当是直角三角形时， 由②可得或， （）当时， ，即， ， ， ∴． （）当时， ，即， ， ， ， 的度数为或， 故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理；圆周角定理及推论；直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 【变式10-3】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以，当ΔACE是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为a， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 若是奇异三角形，一定有， ∴， ∴，得． ∵， ∴， ∴， 故②错误； 在中，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在中，； 在中，． ∵D是半圆的中点， ∴， ∴AD=BD，   ∴， 又∵，， ∴． ∴ΔACE是奇异三角形， 故③正确； 由③可得ΔACE是奇异三角形， ∴． 当ΔACE是直角三角形时， 由②可得或， （Ⅰ）当时， ，即， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）当时， ，即， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°， ∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了：1．命题；2．勾股定理；3．圆周角定理及推论；4．直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版】 【培优篇】 2 【题型1 直线和圆的位置关系】 2 【题型2 切线的判定与性质】 4 【题型3 切线长定理】 5 【题型4 三角形的内切圆和内心】 6 【拔尖篇】 7 【题型5 圆与函数】 7 【题型6 圆与格点作图】 9 【题型7 圆中的最值】 11 【题型8 圆中的定值】 12 【题型9 隐圆问题】 14 【题型10 圆中的多结论问题】 15 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点3 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点4 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【培优篇】 【题型1 直线和圆的位置关系】 【例1】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【变式1-3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型2 切线的判定与性质】 【例2】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【变式2-2】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式2-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【题型3 切线长定理】 【例3】如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【变式3-3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【题型4 三角形的内切圆和内心】 【例4】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【拔尖篇】 【题型5 圆与函数】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【变式5-1】如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【变式5-2】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【题型6 圆与格点作图】 【例6】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【变式6-1】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【变式6-2】（2025·天津·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点M在边上，点N在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【题型7 圆中的最值】 【例7】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式7-1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是 ，最小值是 ． 【题型8 圆中的定值】 【例8】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【变式8-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D两点，过C作的切线，过A作于F，交于N，当的半径从小变大时，的长度（   ） A．不变 B．逐渐变大 C．不规则变化 D．逐渐趋近一个定值 【变式8-2】如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【变式8-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，的半径为2，A、B是上的两点，，C是的中点． (1)_______________度；并求阴影部分的面积； (2)若点P在上，且是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置； (3)如图2，弦的端点在优弧上滑动（不与A、B重合），且，连接、分别交、于点E、F．当弦的端点在优弧上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出四边形面积的取值范围； (4)如图3，过点A作射线，交于点G，D是平面内的一个动点，且，Q为的中点．直接写出线段长度的最大值与最小值的差． 【题型9 隐圆问题】 【例9】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【变式9-1】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【变式9-2】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【变式9-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【题型10 圆中的多结论问题】 【例10】如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【变式10-1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【变式10-2】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义： ①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .    【变式10-3】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $