专题06 直线与圆的位置关系（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题06 直线与圆的位置关系 【考点01】直线与圆的位置关系的判定 【考点02】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点03】切线的性质与判定的综合运用 【考点04】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点05】三角形的内切圆与内心 知识点1: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点2： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点3：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点4：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点01】直线与圆的位置关系的判定 1．的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 3．在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列正确的是（    ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 4．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【考点02】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 5．如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点P在矩形的内部，与，都相切，且经过点C，与相交于点D．若的半径为5，．则的长是（   ） A．9 B．10 C．7 D．8 8．如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 9．如图，是的切线，B为切点，连接交圆于点D，其延长线交圆于点C，，则的长度是（        ） A．3 B． C．6 D． 10．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 11．如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径，圆O恰好与相切于点D，连接，若平分，，则线段的长是（　　） A．2 B． C． D．3 12．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 【考点03】切线的性质与判定的综合运用 13．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 14．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 15．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作 交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 16．如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 17．如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 18．在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【考点04】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 19．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（    ） A．cm B．7cm C．cm D．8cm 21．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F且，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．14 D．16 22．如图，是四边形的内切圆，若，，则四边形的周长为 ． 23．如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为 ． 24．如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 25．如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与分别相交于D、C两点．设，，则y关于x的函数解析式为 ．    26．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 27．如图，内切于四边形，若，，，则的长度为 ． 、28．如图，，是的两条切线，切点分别是、，，是的切线，交于点，交于点，则的周长是 ． 【考点05】三角形的内切圆与内心 29．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 30．三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 31．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 32．如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 33．如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 36．如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 37．在中，，，是的内切圆，求的半径 ． 38．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 1．如图，点 P 为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D．9 2．如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如图与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则和度数为（    ） A． B． C． D． 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A．B．C．D． 6．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，是的直径，是的切线，C为切点，的延长线交直线于点E，连接．若，，则的长度是（　　）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知的半径为，与相切，连接并延长，交于点，过点作，交于点，连接，若，则弦的长为 ． 11．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 12．如图，是的切线，切点分别为点，若的周长为，，则的半径为 ． 13．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 °． 14．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的半径是 cm． 15．如图，为的直径，为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 16．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 17．如图，是的直径，为圆上不与重合的一点，连接并延长与过点的切线相交于点，延长与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直线与圆的位置关系 【考点01】直线与圆的位置关系的判定 【考点02】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点03】切线的性质与判定的综合运用 【考点04】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点05】三角形的内切圆与内心 知识点1: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点2： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点3：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点4：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点01】直线与圆的位置关系的判定 1．的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3， ，即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C 2．已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，设点到直线的距离为，由题意得出 的半径，即可得解． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点A在直线m上，， ∴， ∵的半径为， ∴ 的半径， ∴直线m与的位置关系为相交或相切， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列正确的是（    ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，点和圆的位置关系，以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，点P到圆心的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，圆心与圆的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：点到原点的距离为：， ∵， ∴原点在外， 点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3， ∵的半径为4， ∴与轴相切，与轴相交． 故选：C． 4．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】相切或相交/相交或相切 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 【详解】解：，， ， 点在直线上，， ∴点O到直线l的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 【考点02】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 5．如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，连接，，先根据切线的性质求出，进而求出，再根据求出，再求出即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：连接， 是的切线，是切点， ， ， ， 是直径， ， ，即， ， ， ， 故选：． 6．如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、圆周角定理及四边形内角和为等知识，连接，如图所示，由切线性质得到，再由圆周角定理得到，最后由四边形内角和为计算即可得到答案，熟记切线性质、圆周角定理及四边形内角和是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ， 在四边形中，，，则由四边形内角和为可得， 故选：D． 7．如图，点P在矩形的内部，与，都相切，且经过点C，与相交于点D．若的半径为5，．则的长是（   ） A．9 B．10 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与、相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，四边形为矩形，四边形为矩形，求得，再根据垂径定理求得，最后根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：设与、相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形，，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，   ∴， ∵，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的判定和性质． 8．如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， 故选：B． 9．如图，是的切线，B为切点，连接交圆于点D，其延长线交圆于点C，，则的长度是（        ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】连接，，证明为等边三角形，可得，可得． 【详解】解：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：和是的两条切线， ，，， ∵， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：A． 11．如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径，圆O恰好与相切于点D，连接，若平分，，则线段的长是（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】连接，由圆的切线定理可得出，由等边对等角可得出，由角平分线的定义可得出，等量代换可得出，进而得出，由平行线的性质可得出，由三角形内角和定理可得出，进而得出，根据等角对等边可得出，最后根据余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了圆的切线定理，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质，余弦的定义等知识，掌握这些性质与定理是解题的关键． 12．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定是解本题的关键． 取上一点为，连接，，，利用圆周角定理得到，再根据切线的性质得出，进而证得，即可解出． 【详解】解：取上一点为，连接，，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 【考点03】切线的性质与判定的综合运用 13．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 14．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：∵，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 15．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作 交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则，，由，，得到，即，解得，从而，由（1）知，得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设⊙O的半径为r，则，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切； （2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为2． 17．如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直线切于点C，得出，证明，得出，即可证明是的切线； （2）延长交于点E，连接．作于点G，根据为的直径，得出．证出四边形为矩形，再证明，得出，证出矩形为正方形．延长交于点M，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理得出．设，则．．在中，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接， 直线切于点C， ， ， ． ， ． ， ， ， 是的切线； （2）解：延长交于点E，连接．作于点G， 为的直径， ． ， 四边形为矩形， ． 是的切线， ， ． ， ， ， 矩形为正方形． 延长交于点M， ， ， ， ． 设，则． ， ， ． 在中，， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，三角形中位线定理，矩形和正方形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 18．在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 即， ． 是的半径， 是的切线； （2）连接，过点作于点，如图， 为的直径， ，． ． ，， ， ， ，． ，， ， ， ， ，． 设，则， ， ． 解得：． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 【考点04】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 19．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 20．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（    ） A．cm B．7cm C．cm D．8cm 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，由题意可知，，以及，再结合的周长是15cm，即可求出的长． 【详解】解：直线切于点E，交于点F，交于点G， ，， 的周长是15cm， ， ，切于点A，B， ， ， ， 的长为cm． 故选：C． 21．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F且，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∴的周长； 故选C． 22．如图，是四边形的内切圆，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】80 【分析】本题考查切线长定理，根据圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等解题即可． 【详解】解：设切点分别为E，F，G，H， 则，，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为： ． 23．如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长． 【详解】解：是的切线，切点分别为A，B， ， 又切于点E， ，， 的周长为12， ， ， ． 故答案为：6． 24．如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于A、C两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 25．如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与分别相交于D、C两点．设，，则y关于x的函数解析式为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，再找出线段间的关系．过点D作于点F，证明四边形为矩形，则，由切线长定理得 ；则．由勾股定理得，则整理得，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点F，    ∵和是它的两条切线， ∴ ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵分别是圆O的切线， ∴； ∴ 由勾股定理得， 即 整理得， ∴ 故答案为； 26．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，，是的切线，， 的周长为： ， 故答案为：． 27．如图，内切于四边形，若，，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理；如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H，根据切线长定理得到，，进而得到，结合已知即可得出的长． 【详解】解：∵内切于四边形， 如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．如图，，是的两条切线，切点分别是、，，是的切线，交于点，交于点，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查切线长定理，与的切点为E，根据切线长定理得到，，，进而根据三角形的周长公式和等量代换求解即可． 【详解】解：设与的切点为E， ∵，是的两条切线，， ∴，，， ∴的周长是 ， 故答案为：20． 【考点05】三角形的内切圆与内心 29．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为r，则， ∴， ∴，解得：， ∴的面积为，内切圆的面积为， ∴小鸟落在花圃上的概率为． 故选A． 30．三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选：C． 31．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内切圆，运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的内切圆的圆心， ∴，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 32．如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 33．如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 34．如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的内切圆的定义与性质．由点是的内心，得，，则，而，据此求解即可得到问题的答案． 【详解】解：点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 35．如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内心，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 由点是的内心，可得，由，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 36．如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解． 【详解】解：连接， ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 37．在中，，，是的内切圆，求的半径 ． 【答案】2 【分析】此题考查三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内切圆的性质是解答本题的关键．根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，分别连接、、、、、， ∵是内切圆，D、E、F为切点， ∴，，D、E、F，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：2． 38．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 1．如图，点 P 为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了切线的性质、勾股定理和30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半， 直接利用切线的性质得出，利用直角三角形得到，求得，进而利用勾股定理得出的长． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，． 故选∶B． 2．如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理，切线的性质定理以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 4．如图与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则和度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的定义可得出，由角的和差关系可得出，由等边等等角可得出，由三角形的外角定义和性质可得出，最后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，等边对等角，三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理，掌握这些性质是解题的关键． 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线． 故选B． 6．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 7．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为， ， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，是的直径，是的切线，C为切点，的延长线交直线于点E，连接．若，，则的长度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，连接，由切线的性质得，则，所以，则，可证明，是等边三角形，则，，，再证明，所以，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则，    ∵与相切于点C，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根据三角形内角和定理即可求得的度数，然后根据内心的定义即可求得然后根据三角形内角和定理即可求解，掌握内心定义是解决本题的关键. 【详解】解： ， ∵点是的内心， ， 故选：． 10．如图，已知的半径为，与相切，连接并延长，交于点，过点作，交于点，连接，若，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，连接，由于是的切线，从而可求出，由垂径定理可得，再由直角三角形的性质即可求出的长度． 【详解】解：连接，设与交于点，如图． 是的切线， ， ， ， ，过圆心， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， 则， 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为20， 故答案为20． 12．如图，是的切线，切点分别为点，若的周长为，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，则，由切线长定理可得，，，即可得，得到，又由切线的性质可得，得到，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∴， ∵为的切线， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 13．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 °． 【答案】70 【分析】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理． 连接、，如图，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴，, ∴， ∴， ∴． 故答案为70． 14．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，特殊角的三角函数值，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接，根据题意，，，，计算即可． 【详解】如图，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接，， 根据题意，，， 故， 解得． 故答案为：． 15．如图，为的直径，为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再得出，则，推出，即可解答； （2）根据勾股定理得出，设的半径长为，则，，通过证明，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   点为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 是的切线； （2）解：，，， ， 设的半径长为，则， ， ∵， ， ，即， 解得：， 的半径长为． 16．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由三角形的中位线得到，， 在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解， 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键． 17．如图，是的直径，为圆上不与重合的一点，连接并延长与过点的切线相交于点，延长与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查与圆有关的概念和性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质． （1）由切线的性质可得，根据圆周角定理可得，进而得出，结合即可得证； （2）由（1）可得∽，得出，求出，则，证明∽，得出，则，即可求出，进而求出半径． 【详解】（1）证明：是切线， ， 是直径， ， ， ， ， ； （2），， ∽， ， ， ， ，， ∽， ， ，即， ， 的半径为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$