专题05 圆的切线与多边形综合（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题05 圆的切线与多边形综合 典例详解 类型一、切线与等腰（边）三角形综合 类型二、切线与菱形综合 类型三、切线与矩形综合 类型四、切线与正方形综合 类型五、切线与普通四边形综合 类型六、三角形内切圆问题 类型七、切线与相似三角形综合 压轴专练 类型一、切线与等腰（边）三角形综合 例1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接和，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得，再利用三角形的中位线性质可得，结合切线的性质得到，利用四边形的内角和定理和等腰三角形的判定与性质可证得结论； （2）过点作于点，根据垂径定理可得D为中点，设的半径为r，利用勾股定理可列方程求解． 【详解】（1）证明：①连接和， 为的直径， ， ， ， 又， ， 为的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：过点作于点，则D为中点， 设的半径为r，则,， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得，即， 解得 （舍去）或， 的半径为2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、三角形的中位线性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 变式1-1（2025九年级上·山东·专题练习）在中，，点O是斜边边上一点，以O为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点D，连接，若，的半径为4，则的长度为 ． 【答案】 【分析】由切线的性质得，则，所以，则，由，得，所以，因为，所以，则，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与边相切于点D，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，求得是解题的关键． 变式1-2（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，即，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，即，结合易得，可证明，进而证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图， 是的切线， ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，设，则， 在中，， 即 解得或（舍去）， ∴． 变式1-3（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练利用切线的性质，进行角度的转换是解题的关键． （1）连接，可得，根据，可得； （2）求得，即可求得，，根据勾股定理求得，根据三角函数可得，即可解答． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 如图，连接， ，为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，即为等腰三角形； （2）解：的半径为3， ， ， ，， ， ， 为直径， ， 根据三角函数可得， 即， ． 类型二、切线与菱形综合 例2（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)① 见解析；② 见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，平分，根据得到，推出，由可得，推出，结合平分，可得，即可求解； （2）① 点作于点，连接、，由 与相切于点和 与边相切，切点为点，可推出，，，根据平分，可得，推出，即可证明；②连接并延长交直线于点，由① 得 ：为的切线，结合，均为的切线，可得，，，设，，，，，，则，得到，即，根据菱形的性质和题意可得：为的中位线，且，得到，，推出，根据等腰三角形的额判定与性质可推出，得到与点重合，即可证明． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，如图， 四边形是菱形， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ，即， ， 故答案为：； （2）① 如图，过点作于点，连接、， 与边相切，切点为点， ， 又 平分， ， 与相切于点， ，， ， 又 ，， 平分； ② 由① 得 ：为的切线， ，均为的切线， ，，， 设，，，，，， 则， 解得：， ， 连接并延长交直线的延长线于点， ，， ， 为的中点， 为的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ，，三点共线． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线． 变式2-1（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，与，分别交于点，，连接，． (1)证明：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式的计算，解决本题的关键是添加适当辅助线利用切线性质得到平行线，并熟练掌握扇形面积公式． （1）根据圆的切线的性质可得，即可得，再由等边对角即可证明． （2）添加辅助线，证明四边形为菱形，再证明为边三角形，继而可得，由此求解圆的半径，再由三角形面积以及扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵圆与相切于， ∴，即． 又∵，可得， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． （2）解：连接，过点作交于点，如图， 由（1）知，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即圆的半径， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 变式2-2（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，切线长定理，垂径定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）切线得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系求出，解，即可； （2）证明四边形是菱形，得到，垂径定理结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． （2）∵与切于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵与切于点M，与相切于点A， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、切线与矩形综合 例3（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，，根据圆的性质可知，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用平行线的性质可知、，等量代换可证结论成立； 连接，，，，，设与交于点，连接，根据切线的性质可证，因为为弦切角，可证，根据圆周角定理可证，利用勾股定理可以求出圆的半径为，在中利用勾股定理求出，，在矩形中可以求出，在中，可以求出. 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ， ． 四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作于点， ，， ． ，， ， ． ， ． ． 即平分； （3）解：如下图所示，连接，，，，，设与交于点，连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， 为弦切角， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由可知平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即圆的半径为， ， ， ， 过点作于点， 则四边形为矩形． ，． ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相等的角，利用角之间的关系找边之间的关系． 变式3-1（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 【答案】(1)；相交 (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理计算的长即可求出半径；过点作直线于，交于，求出的长与半径比较大小即可得出答案； （2）先求出、的长，然后用勾股定理求得，再根据，求的取值范围即可； （3）过点作于，如图2所示，先证，得，由此即可解出的值． 【详解】（1）解：当时，，， ，， ， 的半径 ； 过点作直线于，交于，如图1所示， 矩形中，， 是矩形， ，， ， ， ， ， 与边的位置关系：相交； 故答案为：，相交； （2）解：如图1所示，连接， 则，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，取最小值； 当时，取最大值； ； 故答案为：； （3）解：过点作于，如图2所示， ， ； 在中， ，， ， ， ，， 与线段相切， ， ， 解得，． 【点睛】此题是矩形与圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、定点与圆上动点距离的最小值问题等知识，熟练掌握相关的性质与定理是解答此题的关键． 变式3-2（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，①圆心M运动路径长的取值范围是 ；②当与直线相切时，求t的值． (3)连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 【答案】(1)；相离 (2)①0到之间（取不了等号）；② (3) 【分析】（1）过点作于，交于，由题意易得，，，然后可得的半径为，进而问题可求解； （2）①连接，交于一点O，由题意易得，则有，然后可得，进而可得圆心M的轨迹为线段，则问题可求解； ②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，则，然后表示出，再根据，列出方程进而问题可求解； （3）过作，交的延长线于点，连接，先证得，得到，，然后利用勾股定理，列出方程进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，， ∵，， ， ， ∴的半径为， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ， 是的中位线， ， ， ， ∴与直线的位置关系是相离； 故答案为：；相离． （2）解：①如图，连接，交于点O， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，所以圆心M的轨迹为线段， ∴， 由勾股定理，可得：， ， ∵， ∴圆心运动路径长的取值范围是0到之间（取不了等号）； 故答案为：0到之间（取不了等号）； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于，则，， 则， ∴， ∴， 同理可得：是的中位线， ∴， ， ∴， 解得， 的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ， ， ， ， 解得（舍去），， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，考查了矩形的性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 类型四、切线与正方形综合 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为，点、同时以相同的速度从点分别向点、点匀速运动，是的外接圆． (1)在运动过程中，当时，的半径长等于 ，此时与边的位置关系是 ； (2)当 时，与边相切； (3)如图，连接，交于点，连接、，猜想、、三者之间的数量关系，并进行证明； (4)当点是中点时， ． 【答案】(1)，相离 (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）结合正方形性质求得，再由外接圆性质即可得的半径长；作分别交、于点、，由平行线分线段成比例定理推得，比较与的半径可知与边的位置关系； （2）作分别交、于、，参考（1）题可得，，，理解与边相切即为，代入即可得解； （3）如图，过作于，作于，证明四边形为正方形，，可得，再进一步证明即可． （4）如图，连接，延长交于，证明，可得，，重合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：依题得：， 正方形中，， ， 是的外接圆， ， 即的半径长等于； 作分别交、于点、， ∵， ∴， ， ， ， 此时与边的位置关系是相离 故答案为：；相离 （2）解：作分别交、于、， 由（1）可知，， 同理可得，，， 要使与边相切， 则， 即， 解得． （3）解：如图，过作于，作于， ∵为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：如图，连接，延长交于， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，直线与圆的位置关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式4-1（25-26九年级上·福建福州·月考）【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作：（1）选取矩形的一个顶点A，作的平分线，交于点E，在线段上任取一点O，过点O作，垂足为G；以点O为圆心、长为半径作，则必与两边同时相切，切点分别为G，F两点，如图①． （2）沿着线段向下拖动圆心O，逐渐变大，当足够大时，与矩形另外的边相交，如图②，设与边交于点H，与边交于点I，连接，则为的一条弦，当点O落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图③，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （2）如图④，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长． （3）如图⑤，在矩形中，，则矩形内最大半圆的直径______．（直接写出答案）    【答案】（1）图见解析；（2）；（3）10 【分析】 本题考查了矩形的性质，直线和圆的位置关系，切线的判定，尺规作图，圆周角定理，正确尺规作图是解题的关键． （1）作角平分线，交于O，以O为圆心作，与相切于点E，即可得到最大半圆； （2）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ，先证四边形为正方形，在中，由列方程求解即可； （3）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ，需证，令的半径为，则，在中，根据勾股定理，列方程求出即可求出直径． 【详解】解：（1）如图，半圆为所求作的半圆；    （2）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ， ∴M、O、G三点共线，    设正方形内最大半圆的半径为， ∵四边形是正方形， ∴， 由作图可知：， ∴四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴, ∵， ∴， 在中，， 即， 解得，； （3）如图，矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，， 作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， 四边形是矩形， ， 令的半径为，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得（不合题意，舍去）， ；    变式4-2（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐，这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． 如图1，O是正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点E，与相交于点F． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为，求的半径； (3)如图2，在（2）的条件下，若点M是半径上的一个动点，过点M作交于点N，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又 ， 与相切． （2）解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ， ， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． （3）方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又 ， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又 ， ， ． 变式4-3（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在边长为1的正方形中，以点为圆心，为半径作圆，是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点作弧的切线，交于点，点是切点，过点作，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)设与的面积比，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图连接，根据切线的性质可以得到，而，由此得到，所以，又根据已知条件可以证明△△，由此得到，进一步得到，从而证明，即△是等腰三角形； （2）设，可以用分别表示，，根据切线长定理知道，由此得到，而在△中，，可以得到，由此可以把也用表示，又根据已知条件容易证明△△，根据相似三角形的性质得到，而，这样就求出关于的函数关系式． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， ， ，，， △△， ， ， ，即△是等腰三角形． （2）， ，， ， ， 在△中，， ，整理得，， ，， ， 又， ， △△， ， ， ． 类型五、切线与普通四边形综合 例5（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)正方形；互补；圆的切线垂直于过切点的半径； (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题考查了正多边形与圆，双心四边形的定义，切线的性质，解直角三角形； （1）根据正方形的特点可得一定是双心四边形的是正方形，双心四边形的对角互补；根据题意可得的依据圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）根据定义画出四边形的外接圆与内切圆圆心，连接，作的角平分线交于点，以为直径作，过点作于点，以为半径作，则分别为四边形的外接圆与内切圆圆心，进而解直角三角形，即可求解； （3）利用利用等弧对等弦的性质和双心四边形两组对边之和相等的性质解答即可；连接，利用圆周角定理得到为的直径，利用全等三角形的判定与性质得到四边形的内切圆的圆心P在上，设与切于点M，与切于点N，连接，，利用圆的切线的性质定理，正方形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，则． 【详解】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形； 对角：双心四边形的对角互补； 的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径； 的依据：； 故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径；； （2）证明：连接． 与分别相切于点， ， ， ， ． ， 同理，． ， 即； ∴双心四边形两组对边之和相等； （3）解：以点C为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则四边形为所画的双心四边形，如图， 其外接圆与内切圆圆心之间的距离为，理由： 连接，如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的内切圆的圆心P在上， 设与切于点M，与切于点N，连接， 则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练运用是解题的关键． 变式5-1（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 变式5-2（20-21九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，与交于点．点在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求长； （3）若交于点，连接．求证：为的切线． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）先证∠ABC=∠ADF，再用SAS判定与全等，由全等三角形对应边相等，可证； （2）通过证∠ACD=∠ADE证，据相似三角形对应边之比相等，列出比例式，然后代入数字可解得； （3）先证，再证，得，再由证得，得到∠ADG=∠ACD=∠ABD，最后得，证得，从而得到为的切线． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于 ∴ ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴． （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）证明：∵ ∴ ∴ 由（2）得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴为的切线． 【点睛】此题综合考查与圆与关的证明、长度计算、切线证明等，是比较复杂的关于圆知识的综合考题． 类型六、三角形内切圆问题 例6（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 变式6-1（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 【答案】(1) (2)的半径为 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得，设，则有，进而求解即可； （2）连接，过点A作于点H，由题意易得，设，则，然后根据勾股定理可得，进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：，，的半径为，然后可得，则有，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴， 设，且， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，过点A作于点H，如图所示： 由题意得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：，，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴与围成的劣弧的弧长为． 变式6-2（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为 【答案】9 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 变式6-3（24-25九年级上·云南红河·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 类型七、切线与相似三角形综合 例7（25-26九年级上·重庆·月考）如图，四边形为平行四边形，边与相切于点B，点D在上，分别与交于点E、G、F，点E是弧的中点，若，则 ， ． 【答案】 6 【分析】连接，设与交于点H，根据垂径定理可得，再结合切线的性质可得，可证明，即可求出的长；连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则，证明，可得，根据圆周角定理可得，在和中，根据勾股定理可得，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）； 如图，连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6； 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 变式7-1（2025九年级上·重庆·专题练习）如图，以为直径的与的边相切于点D，与交于点，与交于点，连接，，，．其中与交于点，与交于点．已知平分，，，则 ， ． 【答案】 ； 【分析】连接，过点作的垂线，垂足为点，根据切线的性质和题意可得，，根据勾股定理求得，，结合角平分线的性质可证，，，利用三角形相似的性质可得，进而证明，，，利用勾股定理求得，再利用三角形相似的性质可得，，根据即可求解． 【详解】解：连接，过点作的垂线，垂足为点，如图： ∵与的边相切于点D，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式7-2（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，是的弦，，垂足为点，． (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在弧上，过点作的切线，交延长线上于点，连接，，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，∶∶4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由， ，推出垂直平分，所以，，可证，根据全等三角形的性质可得，即可得到结论． （2）连接，，设，根据得到， ，可得到以及的度数，同理因为是的切线， 得到，进而求出的度数．然后根据， 得到的度数，得到，即可得到结论． （3）延长交于点，连接，，，作．根据角的等量代换得到．进而证明，由∶∶4得到，设，则，，利用相似三角形的性质求得，的长度， 利用三角函数求得， ，的长度，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，，． ，是的弦，， ， 垂直平分， ，． ， ， ， 又， ， 是的直径． （2）解：连接，． 设， ， ． ， ， ． 是的切线， ， ． ， ， ， ． （3）解：延长交于点，连接，，，作． ，， ， 是的直径， 三点共线， ，． ， ． ， ，， ， ． ， ， ． ∶∶4， ，， ， ． 设，则，， ， ，， ． ， ，． ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，中垂线的性质，全等三角形，直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 变式7-3（25-26九年级上·福建福州·月考）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识． （1）连接OC，证明，，由即可得到结论； （2）连接OC，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接， 由（1）知：，， 是的直径， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， 是的中点， ，， ， 由（2）知：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 1．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据圆的基本性质可得，，结合等腰三角形的性质，可证明； （2）根据直角三角形的性质，可以求出．利用勾股定理，可以算出的长，通过面积法，可以算出．再一次使用勾股定理，可以得到； （3）利用同弧所对的圆周角相等，将转化为，根据正切函数的定义求出数值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是 的直径， ∴，， ∵， ∴点D是中点， ∴； （2）解：∵是 的直径， ∴， ∵， ∴点D是直角斜边上的中点， ∴，， 在直角中，， ， ∴，解得，， 在直角中，； （3）解：∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握好圆的基本性质是解题关键． 2．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，根据60°角构造等边三角形从而将线段进行转化是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得， ∴； ②连接，延长至点F，使得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 3．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵ ， ， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积． （2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？ 【答案】（1）平行四边形的面积为；（2）①；②政府的预算一定够用，理由见解析． 【分析】1）过点作于点，由题意可知，，根据解直角三角形求出，即可求解； （2）①在中，，在中，求出 ，在中，求出，再根据三角形面积公式即可求解； ②设种植牧丹园的总费用为元，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，由题意可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的面积为； （2）①如图，连接，过点作， ∵，     ∴的半径为， ∴ 由题可知点和点，点和点分别关于对称， ∴，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴在中，， ， ∵， ∴， ， ，， ， ∵点和点，点和点分别关于对称， ∴， ， ∴； ②设种植牧丹园的总费用为元， 由①可知， ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 综上，， ∴政府的预算一定够用． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)下列说法正确的有_____________．（填序号） ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为，则有． (2)如图1，已知四边形内接于．四条边长满足：． ①该四边形是“____________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接，求证：是的直径． (3)如图2，已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点连接交于点．若的半径为1，连接，当时，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)①外接型单圆；②见解析 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①假设四边形中有内切圆，则，这与已知矛盾，从而可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）连接，先证明；过O作于M，于N，连接；可得，，从而可证明四边形是矩形，得，由勾股定理有，，则，由已知即得，由此求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等； ①∵当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即，故③正确； 故答案为：②③； （2）解：①若四边形中有内切圆，则， 这与矛盾， ∴四边形中无内切圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 即均为半圆， ∴是的直径； （3）解：如图，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴， ∴， ∴； 同理：； ∵四边形有外接圆， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过O作于M，于N，连接； 由垂径定理知：，； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理有，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了多边形的外接圆与内切圆，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，多边形内角和，特殊四边形的性质等知识，掌握这些知识，构造适当辅助线是解题的关键． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 依题意，是的内切圆，切点分别为、、， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴ 设的半径为， ∴ ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵是的内切圆，切点分别为、、， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：；． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证； (2)求证； (3)若，则的长为_____． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，根据切线的性质得，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得证； （2）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，通过角的等量代换，相似三角形的判定即可得证； （3）根据题意求出，证明，求出．进而求出，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点， ∵是的切线， 即， 即， ； （2）证明：∵四边形是的内接四边形， 在和中，， ； （3）解：连接，并延长交于点，交于M，交于N， 由题意得． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出 的长． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴． 故答案为：4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆的切线与多边形综合 典例详解 类型一、切线与等腰（边）三角形综合 类型二、切线与菱形综合 类型三、切线与矩形综合 类型四、切线与正方形综合 类型五、切线与普通四边形综合 类型六、三角形内切圆问题 类型七、切线与相似三角形综合 压轴专练 类型一、切线与等腰（边）三角形综合 例1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 变式1-1（2025九年级上·山东·专题练习）在中，，点O是斜边边上一点，以O为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点D，连接，若，的半径为4，则的长度为 ． 变式1-2（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式1-3（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 类型二、切线与菱形综合 例2（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． 变式2-1（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，与，分别交于点，，连接，． (1)证明：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 变式2-2（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 类型三、切线与矩形综合 例3（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 变式3-1（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 变式3-2（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，①圆心M运动路径长的取值范围是 ；②当与直线相切时，求t的值． (3)连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 类型四、切线与正方形综合 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为，点、同时以相同的速度从点分别向点、点匀速运动，是的外接圆． (1)在运动过程中，当时，的半径长等于 ，此时与边的位置关系是 ； (2)当 时，与边相切； (3)如图，连接，交于点，连接、，猜想、、三者之间的数量关系，并进行证明； (4)当点是中点时， ． 变式4-1（25-26九年级上·福建福州·月考）【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作：（1）选取矩形的一个顶点A，作的平分线，交于点E，在线段上任取一点O，过点O作，垂足为G；以点O为圆心、长为半径作，则必与两边同时相切，切点分别为G，F两点，如图①． （2）沿着线段向下拖动圆心O，逐渐变大，当足够大时，与矩形另外的边相交，如图②，设与边交于点H，与边交于点I，连接，则为的一条弦，当点O落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图③，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （2）如图④，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长． （3）如图⑤，在矩形中，，则矩形内最大半圆的直径______．（直接写出答案）    变式4-2（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐，这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． 如图1，O是正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点E，与相交于点F． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为，求的半径； (3)如图2，在（2）的条件下，若点M是半径上的一个动点，过点M作交于点N，当时，求的长． 变式4-3（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在边长为1的正方形中，以点为圆心，为半径作圆，是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点作弧的切线，交于点，点是切点，过点作，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)设与的面积比，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 类型五、切线与普通四边形综合 例5（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 变式5-1（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 变式5-2（20-21九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，与交于点．点在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求长； （3）若交于点，连接．求证：为的切线． 类型六、三角形内切圆问题 例6（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 变式6-1（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 变式6-2（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为 变式6-3（24-25九年级上·云南红河·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 类型七、切线与相似三角形综合 例7（25-26九年级上·重庆·月考）如图，四边形为平行四边形，边与相切于点B，点D在上，分别与交于点E、G、F，点E是弧的中点，若，则 ， ． 变式7-1（2025九年级上·重庆·专题练习）如图，以为直径的与的边相切于点D，与交于点，与交于点，连接，，，．其中与交于点，与交于点．已知平分，，，则 ， ． 变式7-2（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，是的弦，，垂足为点，． (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在弧上，过点作的切线，交延长线上于点，连接，，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，∶∶4，求的值． 变式7-3（25-26九年级上·福建福州·月考）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 1．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的值． 2．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 3．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 4．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积． （2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？ 6．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)下列说法正确的有_____________．（填序号） ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为，则有． (2)如图1，已知四边形内接于．四条边长满足：． ①该四边形是“____________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接，求证：是的直径． (3)如图2，已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点连接交于点．若的半径为1，连接，当时，求的取值范围． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证； (2)求证； (3)若，则的长为_____． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $