专题5.1 导数的概念及其意义（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题5.1 导数的概念及其意义 教学目标 1. 了解导数的概念的实际背景． 2. 理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3. 了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 4. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 教学重难点 1. 重点 （1）会求函数在某一点附近的平均变化率. （2）.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. （3）了解导函数的概念，理解导数的几何意义 2. 难点 （1）会求简单函数的导函数. （2）根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 知识点01：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 【即学即练】 1．某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2、导数的定义 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 3、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 【即学即练】 1．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 2．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 知识点03：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 知识点04：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练】 1．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 平均变化率与瞬时变化率 【典例1】已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【变式1-1】若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【变式1-3】一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 题型02 导数定义的简单计算 【典例2】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【变式2-2】若是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】已知函数在处的导数，则 ． 题型03 导数几何意义 【典例3】曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【变式3-3】已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-4】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用导数几何意义求切线方程 【典例4】若函数的图象在处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 【变式4-4】已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 1．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 3．火车开出车站一段时间内，速度（单位：）与行驶时间（单位：）的关系是，问火车开出2时的加速度是（    ） A． B． C． D． 4．一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 5．下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 6．某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 10．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 12．已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 三、解答题 13．若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 14．求曲线在点处的切线方程． 15．已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 16．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 导数的概念及其意义 教学目标 1. 了解导数的概念的实际背景． 2. 理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3. 了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 4. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 教学重难点 1. 重点 （1）会求函数在某一点附近的平均变化率. （2）.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. （3）了解导函数的概念，理解导数的几何意义 2. 难点 （1）会求简单函数的导函数. （2）根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 知识点01：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 【即学即练】 1．某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2、导数的定义 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 3、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 【即学即练】 1．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知， . 故选：D. 知识点03：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 知识点04：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练】 1．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 题型01 平均变化率与瞬时变化率 【典例1】已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】函数的平均变化率为. 故选：B. 【变式1-1】若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义列方程求解即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：B. 【变式1-2】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 【变式1-3】一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 题型02 导数定义的简单计算 【典例2】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 【变式2-1】已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 【变式2-2】若是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由导数的定义可得. 【详解】． 故选：A． 【变式2-3】已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 题型03 导数几何意义 【典例3】曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，再根据斜率求出对应的倾斜角. 【详解】因为，所以， 设切线的倾斜角为， 所以，所以． 故选：A 【变式3-1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 【变式3-2】曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 【变式3-3】已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义，借助图形判断得解. 【详解】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B    【变式3-4】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 题型04 利用导数几何意义求切线方程 【典例4】若函数的图象在处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义，求出在处的切线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，所以在处的切线方程为， 又切线过点，所以，解得， 故选：A. 【变式4-1】若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知函数求导，利用导数的几何意义得出切点处的斜率，再结合切点运用点斜式求出切线方程． 【详解】，求导得， 在处的斜率， 则在的切线方程为，即，故B正确． 故选：B． 【变式4-2】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性和导数正负的关系，可判断，，，再根据在该点处切线倾斜角的大小，可比较，即可得出最终答案. 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 【变式4-3】已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 【变式4-4】已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 1．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 3．火车开出车站一段时间内，速度（单位：）与行驶时间（单位：）的关系是，问火车开出2时的加速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的物理意义求解即可. 【详解】由，则， 则，即火车开出2时的加速度是. 故选：B 4．一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】D 【分析】根据瞬时速度是位移函数的导数对原函数求导，代入求值即可. 【详解】因为，所以（瞬时速度是位移函数的导数）. 当时，. 故选：D. 5．下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，物理意义，定义，即可判断选项. 【详解】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确； B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误； D.已知函数在上可导，若， 即，所以，故D错误. 故选：A 6．某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 8．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 9．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 10．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 11．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 二、填空题 12．已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】假设切点，然后利用导数求得斜率表示出切线方程代点计算即可. 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 三、解答题 13．若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 【答案】， 【分析】设P为，由导数的几何意义即可求解； 【详解】设切点P的坐标为， 因为 ， 所以，解得， 所以，故点P的坐标为， 切线方程为，即． 14．求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据导数的定义，结合直线的点斜式方程、一般方程进行求解即可. 【详解】因为点在曲线上，过点的切线的斜率为 故所求切线方程为，即． 15．已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)4 (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义，求割线的斜率的极限，得到切线的斜率； （2）根据切线的斜率进而求得切线的方程. 【详解】（1） 曲线在点处的切线的斜率为4. （2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4， 切线方程是，即. 16．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $