重难点01 空间角及空间距离的向量求法7考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

重难点01 空间角及空间距离的向量求法 7大高频考点概览 考点01异面直线夹角的向量求法 考点02线面角的向量求法 考点03已知线面角求其他量 考点04面面角的向量求法 考点05已知面面角求其他量 考点06点到平面距离的向量求法 考点07点到直线距离的向量求法 地 城 考点01 异面直线夹角的向量求法 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（    ） A． B．1或 C．12 D．1或12 【答案】B 【分析】设，求出，的向量表示，再求出这两个向量夹角的余弦值，进而可得直线与所成角的余弦值，由题意可得列方程，可得的值． 【详解】长方体中， 底面ABCD是边长为2的正方形， 设，直线与所成角的余弦值为， 因为，， 由题意可得， 所以， ，， 所以，， 所以， 整理可得， 可得或，解得或 所以或 故选： 2．（24-25高二上·广东东莞·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，为的中心，侧棱，，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件有，，利用空间向量的线性运算可得，，再利用数量积的运算，求得，即可求解. 【详解】由题知，在平行六面体中，底面是边长为的正方形， 侧棱，， 设， 所以，， 又，， 所以， 则， 所以，即与所成角为， 故选：A. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系应用数量积为0证明垂直关系； （2）根据空间直角坐标系，分别求出和，然后利用异面直线向量的夹角求法即可求解. 【详解】（1） 由题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体棱长为2，则， 则，所以， 所以，所以. （2） ，， 设异面直线与所成角为， 故. 所以. 4．（22-23高二上·广东佛山·期末）在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以，，为空间向量的基底表示，结合向量数量积公式可得模长，进而可得夹角. 【详解】以，，为空间向量的基底表示， 即， 则， 又，且， 即，， 则，， 所以， 即， 解得， 则异面直线与的夹角余弦值为， 即异面直线与的夹角为， 故选：B. 5．（24-25高二上·广东·期末）在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由条件求得，设直线与直线所成角为，利用空间向量夹角公式求出，通过换元，将其化成，利用的范围和不等式性质即可求得. 【详解】 如图，设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系. 则， 设点，则， 由可得：，解得， 则，， 设直线与直线所成角为，则， 于是 ， 设，因，故， 则即，因，则，则， 即，因，则得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解异面直线的夹角的方法主要有： 平移法：将异面直线中的一条或两条利用平移使其相交，通过解三角形求得； 坐标法：通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式求解. 6．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点为的中点，点是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，直线AH与直线BE所成角为，换元后求出，从而得到的最大值，得到取最小值时的正切值. 【详解】连接，因为底面是边长为1的菱形，且， 所以，故为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥，， 则⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，设，， 故， 设直线与直线所成角为， 则， 令，则， 当，即，时，取得最大值， 最大值为，此时，为最小值， 由于在上单调递增，故此时为最小值， 又在上单调递增，故所成角的正切值的最小值为. 故答案为： 地 城 考点02 线面角的向量求法 7．（24-25高二下·广东湛江·期末）如图，已知四棱锥，底面，圆为底面的外接圆，是直径，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得出线线垂直，利用圆的性质得出线线垂直，进而得出线面垂直，进而证明面面垂直； （2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，结合已知条件得出相关点坐标和向量坐标，求出平面法向量，利用直线所在向量与平面法向量夹角的余弦值得出线面角的正弦值． 【详解】（1）底面，底面， ， 又圆为底面的外接圆，是直径， ， ，平面，， 平面， 平面， 平面平面． （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 由，得， ， ，，， 设平面的一个法向量为， ，， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成的角的正弦值为． 8．（24-25高二下·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由及E是的中点，可得.根据面面垂直的性质定理可得，平面.结合线面垂直的性质得，.利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，可知平面，进而，.由平面，可得，.故以D为坐标原点，，，分别为，，轴空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）（1）∵，E是的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴. 又，，平面，∴平面. （2）∵平面，，∴平面. ∵，平面，∴，. ∵平面，，平面，∴，. 故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. ∵，∴， 即直线与平面所成角的大小为. 9．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）过点在平面内作于，连接， 在直三棱柱中，平面，平面，故， 在平面内，因为，，故， 因为为的中点，故为的中点，所以， 因为，，为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 由题意可知，为的中点，所以， 故为的中点，又因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．（24-25高二下·广东佛山·期末）如图，在长方体中，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）求出、的坐标，由即可证明； （2）设平面的法向量为，由则，求出法向量为的坐标，再由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，，， ，∴，， ∴， ∴. （2）设平面的法向量为， ， ，， 又，， 则， ∴，取，则， ∴平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为 ∴， 即直线与平面所成角的正弦值为. 11．（24-25高三下·广东广州·期末）如图四棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且，，点在棱上. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，由条件易得，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1）证明：底面底面. 取的中点，连接， 点共线，从而得， 又都在平面内，平面， 平面平面平面. （2）解：取中点，连接，则， 底面两两垂直. 以为原点如图建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，则 ， 直线与平面所成角的正弦值为. 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由面面垂直证明线面垂直，可得，再证明，则可得平面，从而可证明； （2）分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的一个法向量，即可利用空间向量夹角公式求解. 【详解】（1）取中点，连接 平面平面，平面平面平面 平面 平面    ，即 又平面平面 平面 （2）连接，设，连接 平面平面，平面平面 ，易知 取中点，连接，则两两互相垂直. 分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系    则 ， ， 设平面的一个法向量 则即令，则 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的.正弦值为 13．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱上的一点. (1)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值； (2)若平面平面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标， 求出关键点坐标和平面的法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可； （2）设，表示出，再求出平面的法向量和平面的法向量，根据平面平面，构造方程解得即可. 【详解】（1）以为原点，、、分别为，，轴， 建立空间直角坐标，如图所示 则，，，，， 若点为上的中点，则，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则， 又，则， 所以与平面所成角的正弦值为. （2）设， 则， 设平面法向量为，由得， 令，则， 又，设平面的法向量为， 由得，令，则， 因为平面平面，所以， 即有，解得，所以. 14．（24-25高二上·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得平面,进而得到结论. (2) 因为底面，,所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法即可解得结果. 【详解】（1）证明：，，所以， 因为底面，所以， 因为平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， （2）解：因为底面，，所以，分别以所在直线为轴，轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 可得：，，，， 所以，， 因为点E在CD上，且， 所以，所以， 设为平面的一个法向量， 则，，即，， ， 令，则，，， 设直线BE与平面所成的角为， ， 直线BE与平面所成角的正弦值为. 15．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图，正四棱锥的底面边长和高均为分别是和的中点．    (1)证明：； (2)若点满足，且点在平面内，求的值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】小问1：空间体建系简单，可建系列方程，应用空间向量数量积运算求解，或者应用线面垂直来证明，寻找的平行线即可证得； 小问2：点在面内，则面内的不共线向量和法向量垂直，可计算求，或者借助共面定理，或者先寻找，几何分析求解均可； 小问3：应用空间向量计算求解，或者先分析寻找确定角，再计算求值. 【详解】（1）法1：连接交于，连接，    由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系， 则 则，则，所以． 法2：连交于，连，    依题意得，，则， 由面，面，则，即有， 由于是平面内两相交直线， 因此面，又面，故； （2）法1：由（1）得， 因此， 设平面的法向量，由，得， 令，则，所以， 由于点在平面内，则，则， 即，解得. 法2：由，得 ， 由题得四点共面得， 法3：由（1）得， 由，则， 由于四点共面，则存在唯一实数，使得， 即， 则，解得， 法4：由面面，    连交于，则面且为中点， 在三角形中，连延长交，则交点即是点， 取中点，连， 易得为三角形中位线，为三角形中位线， 则为线段上靠近三等分点，即； （3）法1：， 由（2）可得平面的法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法2：由（1）知面，面， 所以面面，面面， 过于，面，则面， 连接，则为直线与面所成角，    由于，则． 又． 于是直线与平面所成角的正弦值为. 16．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值； （3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值. 【详解】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知， 且，，即， 则四边形为菱形， 所以，故翻折后， 因为，且都在平面内， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，平面， 则平面平面， 如图，在平面中过点作， 又平面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以为等边三角形，， 则，，，， 设平面与平面夹角为， 法向量分别为，， 则，取得； ，取得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知在平面上且， 可设， 则，，， 设平面法向量为， 则， 取得， 设与平面夹角为， 则， 令，则， 当且仅当，即时成立， 所以直线与平面夹角正弦值的最大值为． 地 城 考点03 已知线面角求其他量 17．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 18．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的三等分点 【分析】（1）根据线面垂直的性质，得线线垂直，进而结合线面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】（1）证明：连接，则四边形为平行四边形， 由于平面，故平面，平面, 故,结合为的中点，故为等腰三角形， 可得，，所以，即， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以，易知， 且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以， 又，所以平面. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，.    设，，所以， 又， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高二上·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． (1)若．求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在，0或, 【分析】（1）根据平面，由线面垂直的性质得线线垂直，即可根据平面得，结合线面垂直的判定即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解； （3）求解平面法向量，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为底面是正方形，所以， 平面 所以平面， 又因为平面，则有， 在中，，是的中点，故有， 因为，平面，所以平面， 平面，则， 又因为，EF，平面，且， 所以平面． （2）以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，． 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为． （3）由（2）知，，，， ，，，， 假设存在这样的点F则有， ， 设平面的法向量，则即 令，得，，所以平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以的值为0或， 故有的值为0或． 20．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理得，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）做交于点，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法求出可得答案， 【详解】（1），，． 由余弦定理得 ， 所以，故， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）做交于点，所以四边形是长方形， 因为，，所以， 因为，所以， 由（1）知，互相垂直，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 解得，所以， 所以线段的长为． 地 城 考点04 面面角的向量求法 21．（24-25高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 22．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法证明即可. （2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，设平面的法向量， 则，取，得， 又，所以，即，所以平面； （2）设平面的法向量，， 则，取，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 23．（24-25高二下·广东揭阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）由即可求出，再建系得出平面与平面的法向量，最后结合二面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）底面是等腰梯形，， ，． 所以，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，且，且平面，所以平面； （2）因为平面平面，且平面平面，且，且平面，所以平面； 底面是等腰梯形，，，所以， 所以，所以， 又因为三棱锥的体积为， 所以，所以， 如图建系， 设平面的法向量为， 设平面的法向量，， 所以令，则， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以 24．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据菱形的性质可得线性垂直，利用线面垂直的判定和性质，可得答案； （2）由线段成比例可得线线平行，利用线面平行的判定，可得答案； （3）由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接，， 因为且， 所以四边形为菱形，故， 又因为，所以四边形为平行四边形， 故有，所以， 因为，、平面，，故平面， 因为平面，所以． （2）证明：如图，连接交于点O，连接． 因为，且， 所以，所以O为的三等分点， 又因为，所以M为的三等分点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （3）由题意知，，， 因为，平面，与相交，所以平面． 以菱形的对角线交点为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，由于， 则，，，，， 由知． 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件及面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而可求解. 【详解】（1）连接，交于点，连接，， 在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点， 又，是等边三角形， ，， 又，，平面，平面， 平面，， ，又是的中点，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面； （2）在边长为2的菱形中，，， 以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设，， ，解得， 又折叠过程中，，，解得， ， ，， 由（1）知平而， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则，，， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 26．（24-25高二下·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，E为PD的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接. 因为底面是矩形，所以是的中点， 又E为PD的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面ABCD，平面，所以， 又底面为矩形，所以，AB，AP两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，则，，，，，，. 设平面的法向量为， 则，令得. 易知知是平面的一个法向量， 所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 27．（2025·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）因为底面为矩形，，所以， 设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 地 城 考点05 已知面面角求其他量 28．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. (1)证明：平面平面PAD； (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值； (3)若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 （2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 （3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 29．（24-25高三上·广东·期末）如图，已知平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，或者理由线面垂直得，，从而为平面与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）（方法一）因为平面，所以，又因为平面.所以如图，以点为坐标原点，分别以，过点且平行的直线，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，得， 令，则平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则 ， 解得，即的长为1. （方法二）取中点，在中，过点作交于点，连接 因为平面平面，所以， 因为为中点，所以， 又平面平面， 所以平面. 因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面 又因为平面，所以， 又因为，所以为平面与平面的夹角. 在中，为中点，因为， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 即，所以，所以， 在中，， 在和中，， 所以，即的长为1. 30．（23-24高二下·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． (1)证明：平面． (2)若平面与平面的夹角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证； （2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解. 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，如图， 因为O为BD的中点，E为PD的中点， 所以． 又平面AEC，平面AEC， 所以平面AEC． （2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，． 又，所以PA，AD，AB两两互相垂直， 故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示， 设，则，，，，, 所以，． 显然为平面DAE的一个法向量． 设平面ACE的一个法向量为， 则，即 令，得， 因为平面DAE与平面AEC的夹角为， 所以， 解得或（舍去），即· 31．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点,连接,由线面垂直可证得面,进而可得，再利用线面垂直即可证得结果； （2）由（1）可知，平面，且，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标运算即可求解. 【详解】（1）取中点,连接, 因为，则，,且, 又面，所以面,面,则, 又因为,平面，所以平面. （2）由（1）可知，平面，且，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，,,,, ,,, 所以,,, 设平面的一个法向量， 则令，可得，所以， 设平面的一个法向量为， 则,令，可得， 所以， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以,解得：或， 因为，所以. 32．（23-24高二上·广东广州·期末）五面体的底面是一个边长为4的正方形，，，，二面角的大小为. (1)求证：； (2)设点P为棱上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）由题意，,则为二面角的平面角，即，在中，利用余弦定理求得，然后由勾股定理证得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，求出平面的法向量，利用向量夹角公式结合已知条件列出方程求解即可. 【详解】（1）∵底面是一个边长为4的正方形，∴, ∵，∴, ∴为二面角的平面角，∴ ∵，，∴, 在中，， ∴，从而， ∴，∴. （2）∵,,,平面, ∴平面, 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面与平面的夹角为， 若与重合，平面即为平面，其法向量为， ∴，不合题意； 当与不重合时，设， ∴，∴， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， ， 整理得，即，解得或， ∴或. 地 城 考点06 点到直线距离的向量求法 33．（25-26高二上·广东·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 34．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 35．（24-25高二上·广东广州·期末）空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·广东江门·期末）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立以为原点，以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，根据点到直线AE的距离为计算即可解决. 【详解】由题知，棱长为2的正方体中，为线段的中点， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向空建立空间直角坐标系 ，所以, 所以, 所以点到直线的距离为, 故选：B 37．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 地 城 考点07 点到平面距离的向量求法 38．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用直四棱柱的性质得到，结合，结合线面垂直的判定定理得到平面，再运用线面垂直的性质证明所求结论即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出每个平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面， 又底面，故， 又面， 得到平面，又平面，则. （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 如图，建立空间直角坐标系， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 由点到平面的距离公式得点到平面的距离为. （3）由（2）知， 设平面的法向量为， 则令，得，所以， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，而，则， 由同角三角函数的基本关系得， 故平面与平面夹角的正弦值为. 39．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在直四棱柱中，，，点E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线AE到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点F，连接EF，BF，先证四边形ABFE是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）以点D为坐标原点，分别为轴建立坐标系，由平面，可得直线AE到平面的距离等价于点A到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求点A到平面的距离即可． 【详解】（1）连接，交于点F，连接EF，BF，则F是的中点， 因为点E为棱的中点，所以，， 又，， 所以，，即四边形ABFE是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）由直棱柱的性质可知：，， 因为，所以两两互相垂直， 故以点D为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为则， 令，得， 由知平面， 所以直线AE到平面的距离等价于点A到平面的距离，即 40．（24-25高二上·广东茂名·期末）在四棱锥中，底面是正方形，若，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：过点在平面内作于点，连接，推导出平面，可知二面角的平面角为，计算出其余弦值，即可为所求； 解法二：以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）解法一：利用等体积法可求得点到平面的距离； 解法二：利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）取的中点为，连接、. 因为，为的中点，则， 而，，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）解法一：由（1）知平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 过点在平面内作于点，连接， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以，则为二面角的平面角， 因为，则， 所以， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为； 解法二：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，则，， 设平面的法向量， 则，取，则， 而平面的一个法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. （3）解法一：设到平面的距离为， 因为，则，所以， 在中，由（2）得，则， 所以，因此点到平面的距离为. 解法二：由（2）知平面的一个法向量为，， 则点到平面距离为. 41．（23-24高二上·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，，E是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明； （2）利用点到平面距离的公式进行计算即可. 【详解】（1）如图，以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为E是PC的中点，则， 因为，得， 所以，，， 设平面DEF的法向量为， 则， 令则，，所以， 所以， 所以，且平面DEF， 所以平面DEF． （2）因为，所以， ， 所以点A到平面DEF的距离为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 空间角及空间距离的向量求法 7大高频考点概览 考点01异面直线夹角的向量求法 考点02线面角的向量求法 考点03已知线面角求其他量 考点04面面角的向量求法 考点05已知面面角求其他量 考点06点到平面距离的向量求法 考点07点到直线距离的向量求法 地 城 考点01 异面直线夹角的向量求法 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（    ） A． B．1或 C．12 D．1或12 2．（24-25高二上·广东东莞·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，为的中心，侧棱，，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 4．（22-23高二上·广东佛山·期末）在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东·期末）在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点为的中点，点是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为 . 地 城 考点02 线面角的向量求法 7．（24-25高二下·广东湛江·期末）如图，已知四棱锥，底面，圆为底面的外接圆，是直径，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 8．（24-25高二下·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 9．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．（24-25高二下·广东佛山·期末）如图，在长方体中，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．（24-25高三下·广东广州·期末）如图四棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且，，点在棱上. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱上的一点. (1)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值； (2)若平面平面，求的值. 14．（24-25高二上·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图，正四棱锥的底面边长和高均为分别是和的中点．    (1)证明：； (2)若点满足，且点在平面内，求的值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 地 城 考点03 已知线面角求其他量 17．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 18．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 19．（24-25高二上·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． (1)若．求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 地 城 考点04 面面角的向量求法 21．（24-25高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 22．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 23．（24-25高二下·广东揭阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 24．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 25．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 26．（24-25高二下·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，E为PD的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 27．（2025·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 地 城 考点05 已知面面角求其他量 28．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. (1)证明：平面平面PAD； (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值； (3)若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 29．（24-25高三上·广东·期末）如图，已知平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长. 30．（23-24高二下·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． (1)证明：平面． (2)若平面与平面的夹角为，求的长． 31．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 32．（23-24高二上·广东广州·期末）五面体的底面是一个边长为4的正方形，，，，二面角的大小为. (1)求证：； (2)设点P为棱上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 地 城 考点06 点到直线距离的向量求法 33．（25-26高二上·广东·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·广东广州·期末）空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． 36．（24-25高二上·广东江门·期末）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为 . 地 城 考点07 点到平面距离的向量求法 38．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 39．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在直四棱柱中，，，点E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线AE到平面的距离. 40．（24-25高二上·广东茂名·期末）在四棱锥中，底面是正方形，若，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 41．（23-24高二上·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，，E是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $