精品解析：吉林省长春市双阳区第一五三中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

长春市第一五三中学2025—2026第一学期八年级数学期末试题 注意事项： 1．本试卷包括三道大题，共24个题，共8页，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可得解． 【详解】解：， ， 的平方根是． 故选：A． 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可． 【详解】解：无理数不能表示为两个整数之比， 不是完全平方数，则是无理数， 而为负分数、0为整数，为有限小数， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 分别利用同底数幂的乘除运算法则以及结合幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则化简求出答案． 【详解】A、不能合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 4. 一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为，再根据三角形内角和定理，顶角等于减去两个底角之和计算即可． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 5. 在英文句“”中，字母“e”出现的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的简单计算，解题的关键是熟练掌握频率计算公式，根据英文句“”中，字母“e”的个数和总的字母个数，进行计算即可． 【详解】解：在英文句“”中，字母“e”出现了2次，共有10个字母， ∴字母“e”出现的频率为． 故选：B． 6. 在中，、、的对边分别是、、，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ） A. 在中， B. 在中， C. 在中， D. 在中，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 通过计算各选项的角度或边关系判断是否能判定直角三角形即可． 【详解】解：选项A：设、、，则，即，而，不能判定直角三角形； 选项B：且，则，即，能判定直角三角形； 选项C：，则，即，满足勾股定理逆定理，能判定直角三角形； 选项D：，，，则，即，满足勾股定理逆定理，能判定直角三角形； 故选：A． 7. 如图，在中，，点在边上，，平分交于点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，且， ∴点为中点， ∴， 故选C． 8. 如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 比较大小：________． 【答案】＜ 【解析】 【分析】把化为，再比较大小可得答案． 【详解】解：＜ ＜ 故答案为：＜． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 10. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假； 【详解】∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°， ∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形 ∴ 逆命题为真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键； 11. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 12. 如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】由勾股定理求出即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 正方形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 如图，在中，、的角平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为，，则的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由角平分线与平行线的性质，证出，得，同理可证，结合周长公式可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：16． 14. 如图，在△中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上；④．其中正确的结论有______(横线上填写序号)． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定、含锐角的直角三角形的性质等知识点，识别角平分线的尺规作图步骤是解决本题的关键． 【详解】解：由尺规作图的步骤(角平分线的画法)，得到是的角平分线，结论①正确； ∵在，，， ∴． 又∵平分， ∴， ∴，结论②正确； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，结论③正确； 在中，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵和的高均为， ∴面积比等于底边长的比，即，结论④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分．） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算、多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可解答； （2）直接运用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 将，代入上式， 得． 18. 如图，，为上一点，，并且 （1）求证：； （2）若，则＝ ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，利用SAS证明是解题的关键．（1）利用SAS证明即可；（2）根据等腰三角形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，根据平角的定义求解即可． 【小问1详解】 解：证明：， ， 即， 在和中， ， (SAS) ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中找一格点B，连接，使线段． （2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且． （3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． （1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可． （2）结合等腰三角形的判定与性质，使边上的高为2即可． （3）使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边即可． 【小问1详解】 解：为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可，如图所示：符合题意的点有4个，点B即为所求． 【小问2详解】 当边上的高为2时，得到如下3个符合题意的三角形，等腰即为所求． 【小问3详解】 当和都是直角边分别为3和4时，得到符合题意的3个三角形，等腰即为所求． 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本这次调查的总人数． （2）请补全条形统计图． （3）求A组人数占本次调查人数的百分比． （4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 【答案】（1）100人 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数， （2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比； （4）再进一步计算B组所占的圆心角度数即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数是：（人） 答：本这次调查的总人数为100人． 【小问2详解】 D组的人数为：（人）． 【小问3详解】 A所占的百分比为：． 答：A组人数占本次调查人数的百分比为． 【小问4详解】 B组所占的圆心角是：． 故答案为：． 21. 《数学课标》要求，自主探究、动手实践与合作交流是学生学习数学的重要方式．为激发学生学习数学的激情，让学生体验数学来源于生活．在数学实践课上，王老师领着同学们来到了农场的实验基地，厂部大门前有如图所示（图中阴影部分）一块地准备种植各色的花卉迎接十一的到来，已知，，，，，请同学们帮忙算出这块地的面积． 【答案】这块地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，先由勾股定理得出，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可，最后用面积和差即可求解，熟练勾股定理及其逆定理是解题的关键. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∵，， ∴这块地的面积， 答：这块地的面积为． 22. 【教材呈现】如图是华师版（）八年级上册数学教材第页的部分内容． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：． 【思考发现】 （1）如图1，的理由是（ ） A． B． C． D． （2）如图2，在中，，平分，，，则的面积为（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【综合应用】 （3）如图3，在中，，平分，于点，点在上，．若，，则的长为 ． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，平分交于点，于点．若，，，． ①求的度数； ②通过计算直接写出的面积为 ． 【答案】（1）C；（2）B；（3）；（4）①，②． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）找出等量关系，确定其判定定理即可； （2）过点作交于点，由（1）得，计算的面积即可； （3）证明得，再证明出，得，结合线段和差，解出的长度，即为的长度； （4）①结合角平分线以及三角形内角和定理，以此计算出，，的度数即可；②过点作交于点，由角平分线的性质，得，由角度等量关系得，代入面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，判定条件为“”， 故选C． （2）解：过点作交于点，如下图所示： ∵平分，，， ∴， ∴， 故选B． （3）解：∵平分，，， ∴， 由（1）中全等关系， 得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． （4）解：①∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的度数为． ②过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 下面是新华师版（2024）八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题． 12．已知，，求的值． 13．已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ∵，． ∴． 又∵． ∴． ∵ ∵． 又∵，， ∴． （1）请你任选第12题的解法之一，解答教材第57页B组的第13题． （2）若，则 ． （3）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）15 （3）22 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，再代入求解即可； （2）由代入求值即可； （3）根据阴影部分面积等于两个底为，高为的三角形面积加上一个边长为的正方形面积，得到阴影部分面积，再化简，根据完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴ 【小问3详解】 解：由题意得，阴影部分面积． 24. 如图，在长方形中（四个内角都是直角，，），，在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点运动的时间为秒（），连接．当点P运动到点D时，．【提示：．】 （1） ； （2）当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；（用含有的代数式表示） （3）连结，当的面积为6时，求的值； （4）如图，作点关于直线的对称点，当点落在边上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）； （3）或 （4）秒，秒 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当点在上和上时，根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点在上和上，再根据面积建立关于的方程求解即可； （4）根据对称的性质，可知，所以可以以为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当P运动到点D时，， 结合勾股定理， ∵，， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点P在上运动时， ， ∴； 当点P在上运动时， ， ∴； 故答案为：；． 【小问3详解】 解：当点P在上运动，的面积为6， 则， 解得； 当点P在上运动，的面积为6， 则， 解得； 故当的面积为时，求的值为或． 【小问4详解】 解：分以下两种情况讨论： 当点落在边上且靠近点时，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∵， 结合勾股定理，， 得， 解得； 当点落在边上且靠近点时，过点作交于点，如下图所示： 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 结合勾股定理， 得， 解得； 故答案为：秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第一五三中学2025—2026第一学期八年级数学期末试题 注意事项： 1．本试卷包括三道大题，共24个题，共8页，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 4. 一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 5. 在英文句“”中，字母“e”出现的频率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，、、的对边分别是、、，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ） A. 在中， B. 在中， C. 在中， D. 在中，，， 7. 如图，在中，，点在边上，，平分交于点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 比较大小：________． 10. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 11. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 12. 如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 13. 如图，在中，、的角平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为，，则的周长是______． 14. 如图，在△中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上；④．其中正确的结论有______(横线上填写序号)． 三、解答题（本大题共10小题，共78分．） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，，为上一点，，并且 （1）求证：； （2）若，则＝ ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中找一格点B，连接，使线段． （2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且． （3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5． 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本这次调查的总人数． （2）请补全条形统计图． （3）求A组人数占本次调查人数的百分比． （4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 21. 《数学课标》要求，自主探究、动手实践与合作交流是学生学习数学的重要方式．为激发学生学习数学的激情，让学生体验数学来源于生活．在数学实践课上，王老师领着同学们来到了农场的实验基地，厂部大门前有如图所示（图中阴影部分）一块地准备种植各色的花卉迎接十一的到来，已知，，，，，请同学们帮忙算出这块地的面积． 22. 【教材呈现】如图是华师版（）八年级上册数学教材第页的部分内容． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：． 【思考发现】 （1）如图1，的理由是（ ） A． B． C． D． （2）如图2，在中，，平分，，，则的面积为（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【综合应用】 （3）如图3，在中，，平分，于点，点在上，．若，，则的长为 ． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，平分交于点，于点．若，，，． ①求的度数； ②通过计算直接写出的面积为 ． 23. 下面是新华师版（2024）八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题． 12．已知，，求的值． 13．已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ∵，． ∴． 又∵． ∴． ∵ ∵． 又∵，， ∴． （1）请你任选第12题的解法之一，解答教材第57页B组的第13题． （2）若，则 ． （3）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b．若，，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在长方形中（四个内角都是直角，，），，在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点运动的时间为秒（），连接．当点P运动到点D时，．【提示：．】 （1） ； （2）当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；（用含有的代数式表示） （3）连结，当的面积为6时，求的值； （4）如图，作点关于直线的对称点，当点落在边上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $