第1章 有理数 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

数理极 专题复习 第1章 有理数 ◎湖南李瑞康 知识回顾 (5)倒数： 的两个有理 数互为倒数 1.有理数的相关概念 ① 没有倒数.通常用a(a≠0)与 (1) 0的数叫作正数 、0 表示一对倒数 的数叫作负数.0既不是 数也不是 ②相反数等于它本身的数是 倒 数，它是数与 数的分界.数等于它本身的数是 ;绝对值等于它本 (2)数轴：规定了 一和身的数是 的直线叫作数轴.任何一个有理数都可 (6)有理数的大小比较 以用数轴上的一个」 来表示，而且原点左 ①利用数轴比较大小：数轴上两个点表示 边的点表示的数是 数，原点右边的点表的数，右边的总比左边的大.于是：正数大于0,0 示的数是 数，原点本身表示的数是 大于负数， 数大于一切 数 ②两个负数比较大小，绝对值大的 (3)相反数：如果两个数只有 不同 那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两 2.有理数的运算 个数互为相反数.特别地，0的相反数是 (1)有理数的运算法则 从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原 ①加法法则：同号两数相加，取 的 点的两侧，并且与原点的距离 符号，并把 相加.绝对值不相等的异号 ①通常用a与」 _表示一对相反数. 两数相加，取 的加数的符号，并用 ②a与b互为相反数台 =0. 减去 .互为相反数 ③互为相反数的两数的绝对值 的两个数相加得 个数同 相 即l-a1=1al. 加，仍得这个数 ④1a|=|b1台a=b或a=-b(a与b互 ②减法法则：减去一个数，等于」 这 为相反数). 个数的 ,即a-b=a+ (4)绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值 ③乘法法则：两数相乘，同号得 就是表示这个数的点与原点的 异号得 ,并把 相乘.任何数与 ra (a>0) 0相乘，都得 ·几个不是0的数相乘，负 Ia={0(a=0) 因数的个数是 时，积是正数；负因数的 -a(a<0) 个数是 时，积是负数， 考点解密 冬考点2：正、负数 例2下列各数中，属于正整数的是( 考点1：具有相反意义的量 A.3 B.2.1 c.0 D.-2 例1中国是最早使用正负数表示具有相 解：选A 反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章 ●专项练习 算术》中就引入了负数.若在粮谷计算中，益实 3.下列各数中，是负分数的是 一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减 A.-7 少7斗)记为 B A.-1斗 B.+1斗 C.-1.5 D.0 C.-7斗 D.+7斗 4.把下列各数填入相应的括号内： 解：题中将增加记为正，则减少就记为负，所 +65,-230.5,0--3.21,13,-3， 以减少7斗应记为-7斗. 故选C. -(-5》.1,-3.6 ●专项练习 整数： : 1.学校要组建一批身高175cm左右的仪仗 分数： : 队，且将身高177cm记为+2，若某同学的身高 非负数： 记为-1，则这名同学的身高是 ( 考点3：数轴 A.173 cm B.174 cm 例3如图1，数轴上点4表示的数是2025， C.175 cm D.176 cm OA=OB,则点B表示的数是 2.若超市购进80件纯净水记作“+80件”， 2 则“-20件”表示的实际意义是 ( 0 2025 A.售出20件纯净水 图1 A.2025 B.-2025 B.售出60件纯净水 C.购进20件纯净水 C.2025 D.-2025 D.售出-20件纯净水 解：因为OA=0B,点A表示的数是2025 3 ④除法法则：除以一个不等于0的数，等于 乘这个数的 两个有理数相除，同号得 ,异号得 ,并把 相除 0除以任何一个不等于0的数，都得 ⑤乘方的意义：求n(n为正整数)个相同因 数a的 的运算叫作乘方，乘方的结果叫 作 .在a”中，a叫作 ,n叫作 ,a”读作 或 负数的 次幂是负数，负数的偶次幂是 ；正数的任何次幂都是 ;0的 任何正整数次幂都是 (2)有理数的运算律 ①加法交换律：a+b= ②加法结合律：(a+b)+c= ③乘法交换律：ab= ④乘法结合律：(ab)c= ⑤分配律：a(b+c)= (3)有理数的运算顺序 ①先 再 最后 ②同级运算，从 到 进行； ③如果有括号，先做括号内的运算 3.科学记数法 般地，一个绝对值大于10的数都可记成±a ×10的形式，其中a ,n是 ,这种记数方法叫作科学记数法，它是表 示大数的一种方法 4.近似数 个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个 近以数精确到哪一位. 所以点B表示的数为-2025. 故选B 。专项练习 5.如图2，数轴上点A表示的数是，将点A 沿数轴向左移动2个单位长度至点B,则点B表 示的数是 ( 0 2 3 4 图2 1 A. 2 B.-2 2 D 6.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如 图3所示，则下列结论正确的是 ( 0 b 图3 A.a+b>O B.a-b>0 C.ab >O D. b <0 7.根据图4给出的数轴(BM=BN),解答下 列问题： MBN -6-5-4-3-2-1012345 图4 (1)点A表示有理数 ,点B表示有 4 理数 (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示 的数是 (3)若将数轴折叠，使得点A与表示-3的 点重合，则点B与表示数 的点重合 ?考点4：相反数、绝对值和倒数 例4-1-17的相反数是 ( B- c 2 解：1-12= 17-12 的相反数是 1即2 故选C. 例5 的倒数是 A. B 3 3 5 C.、 3 5 5 D. 3 解：因为×号=1， 所以了的倒数是子 故选A. ●专项练习 8-子 的绝对值是 A. B. 2-3 C.- 3 3 D.- 2 9.若m,n互为倒数，且满足m+mn=3,则 m的值为 4 B. 2 C.2 D.4 10.化简：-[-(-3)]= 11.数轴上表示数a和a+4的点到原点的 距离相等，则a的值为 考点5：有理数的大小比较 例6某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四 个城市的气温分别是-20℃，-10℃，0℃， 2℃，其中气温最低的城市是 ( A.哈尔滨 B.北京 C.杭州 D.金华 解：由题可知-20<-10<0<2，所以气温 最低的城市是哈尔滨. 故选A. ●专项练习 12.下列各式正确的是 A.-3<-4 B.-2>1-5I C.0>1-0.0011 D.1- ；> 10 …专题复习 13.比较大小（填“>”“<”或“=”）： (1)- 5 7 13 13 (2)- -(-5.25); (3)- 4 14.在数轴上表示下列各数，并用“<”将它 们连接起来： -（+2.0.-(-15)1,-1-31,-2 冬考点6：乘方的意义 例7下列各选项中，与(-3)2的值相等的 是 ( A.-32 B.32 C.(-2)3 D.23 解：因为(-3)2=9，-32=-9,32=9， (-2)3=-8,23=8, 所以与(-3)2的值相等的是32. 故选B. ●专项练习 15.(-名)’的底数是 ,指数是 ,计算结果是 16.下列计算：①(-1)3=1；②-12=1； 8-(-1)2=1;④02=0：⑤(-3) 2 2 6其 中正确的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成 4个并死去1个，2个小时后分裂成6个并死去 1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律， 6小时后存活的细胞有 个，n个小时后存 活的细胞有 个（用含n的代数式表示） 考点7：有理数的运算 例8计算：(-1)×(-4)+22÷(7-5) 解：原式=4+4÷2 =4+2 =6. 专项练习 18.在一个峡谷中，A地的海拔为-11m,B 地比A地高15m,C地比B地低7m,则C地的海 拔为 19.若等式-2☐0-2=-2成立，则“口” 内的运算符号是 ( A.+ B.- C.× D.÷ 20.定义一种新运算“☒”，规定：a⑧b=a2- 1b1,则(-2)⑧(-1)的运算结果为 A.-5 B.-3 C.5 D.3 21.计算： (1)(-4)×0×375+(-4)3÷8: (2)(-2-(6+8-0.75)×-241: 数理极 (3)(-5)-(-5)×0÷0×(-50: (4) 3×(-5)+(-3x9-员×8 22.小星在一根直立的细竹竿上作了刻度标 记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上下爬 行.约定向上记为正，小星观察并记录如下： +15cm,-2cm,+5cm,-1cm,+3cm, -9cm,+7cm,-6cm,+4cm,-5cm. (1)记录中的“-9cm”表示的意义为 (2)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多 远？在虫眼的上方还是下方？ (3)若蚂蚁平均每秒爬行1.5cm,求小星同 学观察期间蚂蚁爬行的总时间， ?考点8：科学记数法 例9 著名的数学家苏步青被誉为“数学大 王”.为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球 约218000000km的行星命名为“苏步青星”.数 据218000000用科学记数法表示为 A.0.218×10 B.2.18×108 C.2.18×10 D.218×106 解：218000000=2.18×108 故选B. 。专项练习 23.光速约为3×108米/秒，用科学记数法 表示的这个数的原数是 24.贵安樱花园位于红枫湖畔，享有“贵州 最佳樱花观赏区”的美誉，总占地面积约 1600万平方米.数据1600万用科学记数法可 表示为 ( A.16×106 B.1.6×10 C.1.6×108 D.0.16×108 冬考点9：近似数 例9 湘雅路过江隧道工程是长沙市“十八 横十六纵”三十四条主干路之一，总投资约 53.28亿元.其中数据53.28亿精确到( ) A.十万位 B.百万位 C.百分位 D.亿位 解：因为53.28亿=5328000000，其末位 数字在百万位，所以53.28亿精确到百万位 故选B. ●专项练习 25.下列说法正确的是 A.近以数3.6与3.60的精确度相同 B.近以数3.61万精确到百分位 C.近似数1.3×104精确到十分位 D.数2.9954精确到百分位为3.00 26.用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)3.0688≈ (精确到0.1)； (2)2.5956≈ (精确到百分位)； (3)467.82≈ (精确到个位)； (4)1.354×105≈ (精确到万位)； (5)2.715万≈ (精确到百位). (专项练习答案参见第15~18版，后同) (本章检测卷见第7~8版)数理极 第18期1,2版参考答案 5.1数据的收集 基础训练1.D;2.B;3.2000名学生的体重 4.方案三的调查方案能较好地获得该校学生家庭 的教育消费情况 方案一的调查方案的不足之处：所抽取的对象数量 太少； 方案二的调查方案的不足之处：所抽取的样本的代 表性不够好 5.2数据的整理 基础训练1.B;2.C;3.A;4.16. 5.(1)“幼儿园”对应的扇形圆心角的度数为：360° ×36%=129.6°；“小学”对应的扇形圆心角的度数为： 360°×32%=115.2°；“中学”对应的扇形圆心角的度数 为：360°×22%=79.2°；“特殊教育学校”对应的扇形圆 心角的度数为：360°×4%=14.4°；“高等院校”对应的 扇形圆心角的度数为：360°×6%=21.6°. (2)图略. (3)该市幼儿园和小学较多，分别占学校总数的 36%,32%. 6.(1)200,144°； (2)喜爱项目B的学生人数为：200×20%=40，喜 爱项目A的学生人数为：200-40-30-50=80，补图 略。 7.(1)50,30,6: (2)喜欢“纯电”的人数为：50×54%=27，喜欢“混 动”的人数为：50×30%=15，补图略 (3)扇形统计图中，“混动”类所在扇形的圆心角的 度数为：360°×30%=108°. 5.3用统计图描述数据 基础训练1.B;2.乙 3.(1)用折线统计图比较合适，图略； (2)球队1虽然开始成绩不佳，但是渐入佳境，得分 稳步提升：球队2虽然开始成绩不错，但是有逐步下降的 趋势，预测下场比赛球队1的成绩会明显优于球队2. 4.(1)a=1000-68-510-177=245. (2)①扇形； ②宣传活动前，抽取的中学生中选择“C.偶尔”的 人数占比最大，其在扇形统计图中所对应扇形圆心角的 度数为：360°×510 1000 =183.6. (3)宣传活动前选择“D.从不”的中学生所占百分 177 比为：1000 ×100%=17.7%,宣传活动后选择“D.从 不”的中学生所占百分比为： 178 896+702+224+178 100%=8.9%,宣传活动前后，选择“D.从不”的百分比 从17.7%下降到8.9%，因此开展此次宣传活动使学生 的安全意识有所提高（答案不惟一，合理即可）. 5.4从图表中的数据获取信息 基础训练 1.A;2.C;3.B. 4.(1)甲、乙两幅统计图所表示的数据相同.甲图给 人的感觉是小明的数学成绩提高较快，乙图给人的感觉 是小明的数学成绩较平稳 (2)若小明要向他的父母说明他的数学成绩在努力 后的情况，他将向父母展示甲图，理由是：两幅图横轴上 同一个单位长度表示的意义相同，而纵轴上同一个单位 长度表示的意义不同，甲图被纵向拉高了，看上去成绩 提高的幅度比乙图的大 第18期3,4版参考答案 题号 8 10 答案 B A B 二、11.折线：12.二；13.20%； 参考答案 14.40;15.2.7分 三、16.(1)总体：这批电风扇的使用寿命：样本：从 中抽取的20台电风扇的使用寿命. (2)总体：该校七年级学生每周用于做课外作业的 时间；样本：从中抽取的50名学生每周用于做课外作业 的时间. 17.(1)这块菜地的总面积是：450÷10%= 4500(平方米). (2)油菜的种植面积是：4500×(1-25%-10%- 30%)=1575(平方米). 18.(1)由题意，得六个班的总人数为：15×6=90. 所以三班的获奖人数为：90-14-16-17-15-15= 13,补图略。 (2)二班的参赛人数为：16÷32%=50.因为6个班 每班的参赛人数相同，所以全年级的参赛人数为：6×50 =300. 19.(1)100; (2)适合用扇形统计图， “经常阅读”对应的扇形圆心角的度数为： 品 360°=36°； 高 “有时阅读”对应的扇形圆心角的度数为： 360°=90°： “有了解但没阅读过”对应的扇形圆心角的度数为： 30 100 ×360°=108°； “没听说过也没阅读过”对应的扇形圆心角的度数 为：35×360°=1269 画图略 (3)答案不惟一，合理眼即可. 20.(1)本次调查的总人数为：(30+20)÷(1-40% -10%)=100,“打球”选顶的人数为：100×40%=40， “舞蹈”选项的人数为：100×10%=10，补图略. (2)“书法”选项所对应的扇形圆心角的度数为： 360°× 20 100 =72° 21.(1)30; (2)第三个月A,B两款洗碗机的销量为：400×25% =100(台).从折线统计图可知，第三个月A款洗碗机的 销量为50台.所以第三个月B款洗碗机的销量为：100 - 50=50(台).第四个月B款洗碗机的销量为：400×30% -40=80(台).补图略 (3)该商场应选择B款洗碗机进行经销.理由如下： B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量 有下降趋势. 复习专号参考答案 《有理数》专项练习 1.B2.A;3.C. 4.整数：{0,13，-32，-1}； 分数：+65，-2分，05，-1-3.21，-( 5) -3.6}; 非负数：+6.5,0.5,0,13，-(-57). 5.A;6.D: 7.(1)1,-2.5,(2)5或-3，(3)0.5； 8.B;9.C;10.-3;11.-2 12.D;13.(1)>,(2)<,(3)< 14.数轴表示略. -1-31<-(+2)<-7<0 <1 (-1.5). 15.-1 16.A;17.65,(2+1);18.-3m; 19.C;20.D. 15 21.(1)-8;(2)-3;(3)-30;(4)-7. 22.(1)向下爬行9cm; (2)15+(-2)+5+(-1)+3+(-9)+7+(-6) +4+(-5)=11(cm). 答：观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼11cm,在虫 眼的上方. (3)(1+151+l-21+1+51+1-11+l+31+1-9I ++71+1-61+l+41+1-51)÷1.5=38(s). 答：小星同学观察期间蚂蚁爬行的总时间是38s. 23.300000000;24.B; 25.D: 26.（1)3.1,(2)2.60,(3)468,(4)1.35×10, (5)2.72×104 《有理数》复习检测卷 题号 2 6 8 9 10 答案 D B B 二、11.0.74,0.74；12.不合格； 13.(1)<,(2)>;14.-2;15.-11或1. 三、16()正数：子，-(-1号).(-1)m: 负数：-3，-086，--151，二2： 负分数-a6, (2)数轴表示略.1-3.51>27 -子)>0> +(-1)>-1.8>-3. 17.(1)3;(2)26. 18.(1)7:(2)5,-5; (3)因为点C表示的数为4，AB=6,BC=2,所以c =4,b=4-2=2,a=2-6=-4.所以p=a+b-c =-4+2-4=-6. 19.(1)-2+5+(-1)+1+(-6)+(-2)= -5(千米) 答：小李在出发地西边5km的位置， (2)(I-21+l+51+1-11+l+1I+1-61+1-21) ×0.2=3.4(升) 答：出租车共耗油3.4升. (3)因为6位乘客中只有2位超过了3km,所以6× 8+[(5-3)+(6-3)]×2=58(元). 答：小李这天上午共获得58元车费. 20.(1)T(2,-1)=2×(-1)2-3×2×(-1)+ (-1)=7 (2)T(k+1,2)=(k+1)×2-3(k+1)×2+2 =4k+4-6k-6+2=-2k. (3)由T(x+2,-2)=8,得(x+2)×(-2)2-3(x +2)×(-2)+(-2)=8. 整理，得4x+8+6x+12-2=8. 解得x=-1. 21.(1)a1=1-1= 1 2 a 1 1 3. 2 3 (2) 6 (3)因为数组(a,b,c)确定为(-1,2，-3)， 所以第1次变换后a,=1-上=1 =2 1= 1-6=1-士 ,c =1-1 =子即 4 变换后得到的数组为(2，-1 第2次变换后a2=1- =1 1 7,6=1