第15章 轴对称图形与等腰三角形 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

数理极 知识回顾 1.轴对称及基本性质 (1)轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线 的部分能够完全重合，那么这个图形叫 作 图形，这条直线叫作 (2)两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这 条直线（成轴）对称，这条直线就是 折 叠后重合的两点叫作 点 (3)轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是 ②如果两个图形关于某条直线成轴对称， 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 线；成轴对称的两个图形中，对应点的 连线被对称轴垂直平分. ③已知点P(x,y),则点P关于x轴对称的 点的坐标是 ,点P关于y轴对称的点的 坐标是 2.线段的垂直平分线 (1)概念 经过线段 并且 这条线段 的直线叫作这条线段的垂直平分线 (2)性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离 (3)判定 到线段两个端点距离相等的点在线段的 上 3.角的平分线 (1)性质：角平分线上的点到角两边的距离 (2)判定：角的内部到角两边距离相等的点 在这个角的 4.等腰三角形 (1)概念 两条边 的三角形叫作等腰三角形， 相等的两边叫作 剩余的一边叫作 两腰的夹角叫作 ,腰与底边 的夹角叫作 (2)性质 ①等腰三角形的两底角 (简称 对」 ”) 2 等腰三角形的顶角 底边上的 和底边上的 重合（简称 ”).等腰三角形是轴对称图形，它的 对称轴是 (3)判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简 称“ 对 ”). 5.等边三角形 (1)概念 三条边都相等的三角形叫作 三角 形 (2)性质 ①等边三角形的三条边 ,三个内 角 ,每一个内角都等于 ②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有 等腰三角形所有的性质，所以它也是 对 称图形，共有 条对称轴. (3)判定 ①三个角都 的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的 三角形是等边 三角形 6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的 等于斜边的 专题复习 29 第⑤章轴对称图形与等腰三角形 ©山西李腾辉 考点解密 40,a),则飞机D的坐标为 A.(40,-a) B.(-40,a) 考点1：轴对称图形 C.(-40,-a) D.(a,-40) 例1下列交通标志图形中不是轴对称图 6.平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称 形的是 点为P(m-n,m+n),点P关于y轴的对称点 为P,(n-1,2n+2),则m+n的值为( ) A.0 B.-2C.2 D.8 冬考点4：画轴对称图形 解：D 例4如图6，在平面直 ●专项练习 角坐标系中，形如英文字母 1.如图1，画出下列图形的所有对称轴 “V”的图形三个端点的坐标 2 分别是A(2,3),B(1,0),3-2-9237 C(0,3). -2 (1)画出“V”字图形向左 -3 图1 平移2个单位长度后的图形： 图6 冬考点2：轴对称图形的性质 (2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图 例2如图2，△ABC与 形； △DEF关于直线I对称，且∠A =78°，∠F=48°. (3)所得图形与原图形结合起来，你能从中 (1)若点B到直线l的距离 看出什么英文字母（任意答一个即可）？ 为5，则B,E两点间的距离为 解：(1)如图7. (2)求∠E的度数 解：(1)10. (2)因为△ABC与△DEF关于直线l对称 1 ∠A=78°， -3-2-10B123x -3-2-10m23x 所以∠D=∠A=78, 所以∠E=180°-∠D-∠F=54°， -2 3 -3D ●专项练习 -4- -4 2.如图3，AD是△ABC的对称轴，点E,F是 图7 图8 AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2,则图 (2)如图8 中阴影部分的面积为 (3)图7是“W”,图8是“X” A.10 cm2 B.15 cm2 ·专项练习 C.20 cm2 D.25 cm2 7.如图9，把下列图形补成关于直线1对称 的图形. 3.如图4，△ABC为等边三角形，点B关于 AC的对称点为点F,连接AF,CF,点D在BC上， 图9 点E在CF上，且BD=CE.求证：AD=AE. 8.如图10，在平面直角坐标系中，已知A(0 考点3：关于x轴和y轴对称的点的坐标 1),B(2,0),C(4,3). 例3在平面直角坐标系中，点A(2,3)关 (1)画出△ABC关于x轴对称的图形 于y轴对称的点的坐标是 △A,B,C1; A.(-2,-3) B.(-2,3) (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的 C.(2,-3) D.(-3,-2)》 解：B. 坐标为 ●专项练习 (3)已知P为x轴上一点，且△ABP的面积 4.在平面直角坐标系中，点A与点A,关于x 为1，求点P的坐标 轴对称，点A与点A2关于y轴对称.已知点A,(1, 2),则点A,的坐标是 A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2) 102345 5.如图5是战机在空中 展示的轴对称队形.以飞机 B C B,C所在直线为x轴，队形的 对称轴为y轴，建立平面直角 图10 坐标系.若飞机E的坐标为 图5 (下转第30版) 30 (上接第29版) 考点5：线段的垂直平分线 例5如图11，以△ABC 的顶点C为圆心，CA为半径 作圆弧交AB于点D,边BC的 垂直平分线恰好过点D,交 B D BC于点E.若BD=6,AD 图11 4,则△ACD的周长是 解：由作图可知CA=CD. 因为ED垂直平分BC,所以CD=BD=6. 所以△ACD的周长为：CD+CA+AD=16. 故填16. ●专项练习 9.如图12，在 △ABC中，AB,AC边 G 的垂直平分线分别 交BC于点D,E,垂 B D E 足分别为点F,G.若 图12 △ADE的周长为8，则边BC的长度是 考点6：角的平分线 例6 如图13，在 Rt△ABC中，∠C=90°，利 用尺规在BA,BC上分别截 取BM=BN;分别以点M,A H M N为圆心，以大于N的 图13 长为半径作圆弧，两弧在∠CBA内部交于点E, 作射线BE交AC于点F.若CF=2,点H为AB上 的一动点，则FH的最小值是 解：当FH⊥AB时，FH的值最小.由作图可 知BF平分∠ABC. 因为FC⊥CB,FH⊥AB, 所以FH的最小值为2. 故填2. ●专项练习 10.如图14，有三条道路围成Rt△ABC,其中 ∠C=90°，一个人从C处出发沿着CB行走了 200m到达D处，此时他到直线AB的距离DE也 是200m.若∠B=20°，则∠CAD= E E D D 图14 图15 11.如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若AB=10, AC=6,BC=8,则△BDE的周长为 12.如图16，在△ABC 中，AB=AC,DE是AB的垂 直平分线，交AB于点E,交 AC于点D,连接BD,且BD=A E BC. 图16 (1)求∠A的度数； (2)作DF⊥BC,垂足为F,连接EF.求证： BD垂直平分EF. 考点7：等腰三角形 例7如图17，直线 ∥l2,Rt△ABC的直角顶点 B在直线l2上，AC,BC分别 E 交直线I1于点D,E.若∠C =35°，DE=CE,则∠1的 B 图17 度数是 •专题复习 A.30° B.15o C.25 D.20° 解：因为DE=CE,所以∠CDE=∠C= 35°.所以∠CED=180°-∠CDE-∠C=110°. 因为直线L1∥L2,所以∠CBF=∠CED = 110°. 因为∠ABE=90°，所以∠1=∠CBF- ABE=20°. 故选D. ●专项练习 13.已知等腰三角形的一个外角为140°，则 它的底角度数为 A.40° B.70 C.30°或60° D.40°或70° 14.如图18，D为△ABC内一点，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD,延长BD交AC于点E.若∠A =∠ABE,BD=1,BC=3,则AC的长为 ( 9 A.4 B. C.5 D.7 2 B D C E E 图18 图19 15.如图19，在△ABC中，∠A=60°，∠C= 40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为BC 的中点，连接DE. (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)求∠EDC的度数 考点8：等边三角形 例8如图20，△ABC为 等边三角形，D为BC延长线上 的一点，作DE∥AB,交AC的 延长线于点E.若AB=5,DE B 图20 =3,则AE的长为 A.2 B.5 C.8 D.11 解：因为△ABC为等边三角形，所以AC= AB=5,∠A=∠B=60°. 因为DE∥AB,所以∠D=∠B=60°，∠E =∠A=60°.所以∠DCE=180°-∠D-∠E =60°. 所以△CDE为等边三角形.所以CE=DE =3. 所以AE=AC+CE=8. 故选C. 。专项练习 16.如图21，△ABC是等边三角形，AB=6, BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E,使CE =CD,则BE的长为 ( A.7 B.8 C. 17 D.9 2 A 图21 图22 17.如图22，在等边三角形ABC中，点E在 AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落 在BC边上的点D处，且ED⊥BC,则∠EFD的 度数是 A.45° B.50° C.40° D.55o 数理极 18.如图23，点D是 △ABC边AC上的点，且点D 在线段AB的垂直平分线上， ∠ABC=87°，∠C=33°.求 B 证：△ABD是等边三角形 图23 考点9：含30°角的直角三角形 例9 如图24，在△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=75°，D是BC上一点，且∠DAC=60°. 若AC=8,则BD的长为 B dc D 图24 A.6 B.8 C.12 D.16 解：因为∠C=90°，∠DAC=60°，∠BAC= 75°，所以∠ADC=90°-∠DAC=30°，∠B= 90°-∠BAC=15°. 所以∠BAD=∠ADC-∠B=15°=∠B. 所以AD=BD 在Rt△ADC中，AC=8,∠ADC=30°， 所以AD=2AC=16. 所以BD=AD=16. 故选D. ●专项练习 19.如图25，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，BC=6,AD平分∠CAB,则点D到AB的距 离为 ( B 图25 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 考点10：最短路径问题 例10 如图26，在 △ABC中，∠ACB=90°，以 AC为底边在△ABC外作等腰 △ACD,∠ADC的平分线分别 交AB,AC于点E,F,点P是 E 直线DE上的一个动点.若 图26 BC=5,∠CAB=30°，连接PB,则△PBC周长 的最小值为 ( ) A.15 B.17 C.18 D.20 解：连接PA,如图26.根据题意，得DA= DC.因为DE平分∠ADC,所以ED垂直平分AC. 所以PC=PA.所以PC+PB=PA+PB. 当点P与点E重合时，△PBC的周长最小、 因为BC=5,∠ACB=90°，∠CAB=30°， 所以AB =2BC=10. 所以△PBC周长的最小值为：PB+PC+BC PB PA BC AB BC 15. 故选A. ●专项练习 20.唐诗《古从军行》 中“白日登山望烽火，黄 B 昏饮马傍交河”，隐含了 一个有趣的数学问题 一“将军怎样走才能使 图27 总路程最短”.如图27，在平面直角坐标系中，将 军从A(4,0)出发，先到山脉m的任意位置望烽 火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点， 且m与n的夹角为30°，则将军所走的总路程最 短为 ( A.4 B.6 C.8 D.12 (本章检测卷见第19-20版) 数理极 趣味数学 31 走进科学 一闻硬币的味道 感受到.做下次试验 在一只塑料盘子里摆 时，需等待所有硬币冷却 趣闻 放着几枚硬币，请把眼睛闭上，让 纸做的锅 别人取其中的一枚，握在手中几秒 钟，然后再放回盘子里.你睁开眼睛，可 你想过用一只纸杯在明火或炽热的 以立即就知道，他拿的是哪一枚硬币办电炉灶盘上烧开水吗？你可以做一个试 一 法很简单，请把各枚硬币分别贴在嘴唇上！验：用毛衣针穿过一只装满水的纸杯，搭在 巴依的祖先 阿凡提家里穷得揭不开锅，他到巴依老爷！ 金属是优良的热导体，被拿起的硬币会很两个酒瓶中间，在纸杯下点燃一支蜡烛过 【家去借粮食巴依老爷很有钱但是士分名造 快吸收手上的热量.由于塑料不导热，所一会儿，杯中的水就烧开了 一而纸杯却 1他才不愿意白白地将粮食借给阿凡提呢！他要！ 以硬币放回后也不会冷却.由于被拿安然无恙，连一点烤痕都没有 为难为难阿凡提. 巴依老爷问阿凡提：“你知道我的父亲是」 起的硬币所吸收的热量会保持一 水吸收了纸杯上的热量，在100 1千什么的吗？ 定时间，所以比其他的硬币温度度时沸腾水的温度不会再升 阿凡提说：“不知道” 高.这种温度的差别，可以 高，所以也达不到纸杯燃烧所 巴依老爷又问：“你知道我爷爷的职业 被十分敏感的嘴唇 需要的温度 “不知道！”阿凡提回答 “啧啧”巴依老爷说，“阿凡提，你太不关心 滴水藏海 【你邻的家子你青定也不知道我曾祖交的铜 业，那真溃憾！ 的伤口好了没有. “是的，我的确不知道” 母熊说：嗅，那次痛了一阵子， “这样吧，我亲爱的阿凡提我很愿意借 语言的伤害 曾有人讲述过这么伤口愈合后我就忘了，不过你说过的话，我一 |些粮食给你，但你必须根据我给你的条件，猜 出我的祖先们都是干什么的.” 一个故事」 辈子也忘不了” “好吧”阿凡提说 没错，真正伤害人心的不是刀子，而是比 巴依的父亲、祖父和曾祖父曾分别在甲 在茂密的山林里，一位樵夫救了一只小 熊，母熊对樵夫感激不尽有一天，樵夫迷路借 刀子更厉害的东西一语言 1乙，丙三个城中谋生，分别是铁医、鞋匠和商人川 现在知道，其父不在甲城，其祖父不在乙城，在 宿到熊窝，母熊便安排他住宿，还以丰盛的晚 准备 宴款待了他. 看完一场魔术后，有位观众问魔术师：“您 是笑不建铁近在之城的是其文不 第二天一大早，樵夫对母熊说：“你招待得的成功是不是因为您有一对比别人更灵巧更 很好，但我推一不喜欢的地方就促你身上的那敏捷的手？"魔术师摊开双手：“你看我的手空 12:统李不提 空如也.”观众迷惑不解魔术师说：“我现在变 城或丙城：在甲城的不是铁匠，那就是商人或 股臭味” 鞋匠了；在乙城的是鞋匠，那他的祖父不是鞋 母熊心里不乐，但嘴上说：“作为补偿，你 不出珍珠，不过给我3分钟，我就能给你变出 匠，又不是商人，一定是铁匠了，他不在甲城就 用斧头砍我的头吧”樵夫按要求做了， 一颗珍珠”3分钟后，魔术师原来空空的手，瞬 一定在丙城，巴依的父亲一定在乙城做鞋匠，1 若干年后，樵夫又遇到了母熊，问她头上 间就变出了一颗珍珠 而他的曾祖父则一定是商人了. 这位观众幡然醒悟：原来魔术的施展，必 阿凡提说：“巴依老爷，我已经知道了您的 定离不开准备，准备珍珠，就变出珍珠人生亦 父亲是鞋匠，祖父是铁匠，曾祖父是商人， 巴依目瞪口呆，不知道阿凡提是怎么推出来的. 然，也需要准备，准备种子，就收获果实；准备 努力，就收获成功；准备今天，就收获明天. 太阳为什么会有颜色 正午，太阳发出的光强烈刺眼，呈白色；早晨和傍晚，太阳光变得柔 和，呈红色，其原因是什么呢？ 原来，太阳发射的可见光有红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七大色.正午时，太 阳从头顶射入大气层，所以看上去是白色的.早晨和傍晚，太阳倾斜射入大 气层，通过的距离较长，黄、绿、蓝、靛、紫这几种光较容易被大气吸收、反射与折 射，大气层越厚，它们就越难穿过大气层射到地面；红、橙两色光光波比较长，则能够冲 破大气的层层阻挡到达地面所以，早晨和傍晚见到的太阳是橙红或红色的.当然，这只是 就一般情况而言，如果遇到天气变化或大气中所含物质的变化，太阳的颜色也会发生变化 你猜啊 无花果到底有没有花 某天考生物，其中有一题是看鸟的腿猜出鸟 有的植物既开花又结果，如梨、杏、桃等；有的植物只开花不 结果，如碧桃、重瓣梅花等.但是，有没有只结果而不开花的呢？ 的名字某生实在不懂，生气的把卷子一撕准备离 有的人会想到无花果，其实无花果并不是不开花，而是它 开的花很小，人的肉眼不易看清楚.因为无花果的花是开在囊 开考场监考老师很生气，于是问他：“你是哪班 状的总花托里面.只要采一个无花果的果实，把它切开，用显微 的，叫什么名字？”某生把裤腿一掀，说：“你猜啊你 镜仔细观察，就会看到里面有很多小凸起，这些小凸起就 是无花果的花.这种花植物学上叫“隐头花序”无花果 猜啊” 的花，雌、雄分开生长，它隐藏在总花托里，由一种名为 小山蜂的昆虫传粉这种小昆虫，肉眼不易看清，它在 变形 囊状总花托里面钻来钻去，把花粉带到雌花上，使之 受精结果 一天，某初中数学老师在讲方程式变换，在讲 见多识广 台上袖子一挽，大声喝道：“同学们注意！我要变 形了…”数理极 即AD=CF 14.根据题意，得∠D=∠ABP=90°.因为∠DPC =33°，所以∠PCD=90°-∠DPC=57°.因为∠APB= 57°，所以∠APB=∠PCD.因为DB=20米，PB=8米， 所以PD=DB-PB=12米.在△PCD和△APB中，因 ∠PCD=∠APB, 为{CD=PB, 所以△PCD≌△APB(ASA).所以 L∠D=∠ABP, AB=PD=12米 答：楼高AB为12米. 《全等三角形》复习检测卷 题号 1 2 5 6 7 8 9 10 答案 B D 二、11.2.5；12.答案不惟一，如AB=BC: 13.=;14.10;15.1100. 三、16.因为AF=DC,所以AF+FC=DC+FC,即 AC=DF.因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE.在 BC EF, △ABC和△DEF中，因为{∠ACB=∠DFE,所以△ABC AC DF, ≌△DEF(SAS).所以∠E=∠B=84. 17.根据题意，得∠i=∠r.所以∠ABG=∠CBF. .∠FCB=∠GAB=90°. 在△FCB和△GAB中，因为{CB=AB, 所 L∠CBF=∠ABG, 以△FCB≌△GAB(ASA).所以AG=CF=1.5m. 答：灯泡到地面的高度AG为1.5m. 18.(1)20°，60° (2)当DC=4时，△ABD≌△DCE.理由如下： 因为∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B= ∠ADE=4O°，所以∠BAD=∠CDE.在△ABD和△DCE中， ·∠BAD=∠CDE, 因为AB=DC, 所以△ABD≌△DCE(ASA). ∠B=∠C, 19.(1)因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.在 Rt△ADE和Rt△ABC中，因为AD=AB:所以R△ADE LAE AC, 兰Rt△ABC(HL).所以DE=BC (2)连接AF,图略.因为BF=2,CF=1,所以BC= BF+CF=3.所以DE=BC=3.在Rt△AEF和Rt△ACF 中，因为AF=A仁，所以R△AEF△R△ACF(HL.所 LAE AC, 以EF=CF=1.所以DF=DE+EF=4. 20.(1)因为∠BAC=∠FAG,所以∠BAC-∠CAD= ∠FAG-∠CAD,即∠BAF=∠CAG.在△ABF和△ACG中， ,∠BAF=∠CAG, 因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACG(ASA). ∠ABF=∠ACG, (2)因为△ABF≌△ACG,所以AF=AG,BF=CG.因 为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD.因为∠BAD= ∠CAG,所以∠CAD=∠CAG.在△AEF和△AEG中，因为 AF AG, ∠FAE=∠GAE,所以△AEF≌△AEG(SAS).所以EF= AE =AE, EG.所以BE=BF+FE=CG+EG. 21.(1)因为AD是BC边上的高，BE是AC边上的 高，所以∠BEC=∠AEO=∠ODB=90°.所以∠OAE+ ∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°.因为∠BOD= ∠AOE,所以∠OBD=∠OAE.在△AOE和△BCE中，因 ∠OAE=CBE, 为{AE=BE, 所以△AOE≌△BCE(ASA). ∠AEO=∠BEC, (2)存在 因为△AOE≌△BCE,所以∠AOE=∠BCE.所以 180°-∠AOE=180°-∠BCE,即∠BOP=∠ECG. 参考答案 ①当Q在BC上，△BOP≌△FCQ时，OP=CQ,即 t=5-4t,解得t=1; ②当点Q在BC的延长线上，△BOP≌△FCQ时， 5 0P=CQ,即t=4t-5,解得t= 综上所述，t=1或；时，以点B,0,P为顶点的三角 形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等 《轴对称图形与等腰三角形》专项练习 1.图略. 2.B. 3.因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC,∠B= ∠ACB=60°.由轴对称的性质，得∠ACF=∠ACB .AB AC, 60°在△ABD和△ACE中，因为{∠B=∠ACF,所以 BD CE. △ABD≌△ACE(SAS).所以AD=AE. 4.D;5.B;6.A. 7.图略. 8.(1)图略. (2)(-4,3). (3)设点P(m,0),则号×12-mlx1=1.解得m =0或m=4.所以P(0,0)或P(4,0). 9.8:10.35°；11.12. 12.(1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD= BD.所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD 2∠A.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为AB =AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+ ∠ABC+∠C=5∠A=180°，所以∠A=36°. (2)由(1)得，∠ABD=36°，∠ABC=72°.所以 ∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平分∠ABC. 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF,∠DEB = ∠DFB=90°.在Rt△BDE和Rt△BDF中，因为 「BD=BD 所以Rt△BDE≌Rt△BDF(HL).所以BE= LDE DF. BF.所以BD垂直平分EF 13.D:14.C 15.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 ∠DBC=2∠ABC=40°=∠C.所以DB=DC.所以 △BCD为等腰三角形 (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=180° -∠DBC-∠C=1O0°.因为DB=DC,E为BC的中点， 所以∠B0C=方∠BDC=50 16.D:17.A. 18.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形. 19.A;20.A. 《轴对称图形与等腰三角形》复习检测卷 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B B 二、11.4； 12.1.6:13.60°； 14.108°： 15.8. 三、16.(1)图略. (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 ∠EAB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B=70°. 17.过点D作DF⊥BC于点F,图略.所以∠CFD= 90°.因为∠DEB+∠C=180°，∠DEB+∠AED=180°， 所以∠AED=∠C.在△DAE和△DFC中，因为 ∠A=∠CFD=90°， ∠AED=∠C, 所以△DAE≌△DFC(AAS).所 DE DC, 17 以DA=DF.因为DA⊥AB,DF⊥BC,所以BD是∠ABC 的平分线 18.因为△ABD是等边三角形，所以AB=AD, ∠ADB=60°.因为点E是AB的中点，所以DE⊥AB, LADE=∠ADB=30.所以∠DEA=90在△ACB ∠C=∠DEA, 和△DEA中，因为{∠BAC=∠ADE,所以△ACB≌ AB DA, △DEA(AAS).所以AC=DE. 19.(1)因为DH垂直平分BC,所以BD=DC.因为 ∠ABC=45°，所以∠DCB=45°.所以∠ADC=∠ABC +∠DCB=90°.所以∠A+∠ACD=90°.因为BE⊥AC, 所以∠A+∠ABF=90°.所以∠ABF=∠ACD.在 ∠BDF=∠CDA, △BDF和△CDA中，因为 DB DC, 所以 ∠DBF=∠DCA, △BDF≌△CDA(ASA).所以BF=AC (2)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.在 ,∠ABE=∠CBE, △ABE和△CBE中，因为{BE=BE, 所以 ∠AEB=∠CEB=90°， △ABE≌△CBE(ASA).所以AE=CE=7AC=BF 所以BF=2CE. 20.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC= 60°，AB=AC.因为线段AB与线段AD关于直线AP对称， 所以AB=AD,∠BAE=∠EAD.所以AC=AD,∠CAD= ∠BAD-∠BAC=2∠BAE-60°.所以∠ACD=∠D= 7(180°-LCAD)=120°-LBAE.所以LE=LACD -∠EAC=120°-∠BAE-(60°-∠BAE)=60°. (2)过点A作AT⊥DE于点T,图略.所以∠ATE= 90°所以∠EA7=90°-LE=30,所以E7=2AE= 4.因为AC=AD,所以C7=D7=之D=弓所以CE ET-CT= 21.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC= ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC (1)因为BD=CE,所以AC-CE=BC-BD,即AE AB CA, =CD.在△ABE和△CAD中，因为{∠BAE=∠ACD,所 AE CD, 以△ABE≌△CAD(SAS). (2)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为EF∥BC,所以∠CEF=∠ACB =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= ∠EFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=120°= ∠AEF. 在△AEF 和△DCF 中， 因为 AE DC, ∠AEF=∠DCF,所以△AEF≌△DCF(SAS).所以 EF CF. AF=DF,∠AFE=∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+ ∠EFD=∠DFC+∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF 是等边三角形， (3)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD= 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以 CF=CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF= 120°=∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF.在△ABD AB AC, 和△ACF中，因为{∠ABD=∠ACF,所以△ABD兰 BD CF. △ACF(SAS).所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所以 ∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 60°.所以△ADF是等边三角形