1.2等腰三角形第2课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件围绕等腰三角形的判定定理和反证法展开，通过回顾等腰三角形性质提出逆向问题，衔接前后知识，构建从性质到判定的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养推理能力，用反证法训练逆向思维，通过符号语言规范数学表达，结合例题练习发展几何直观，帮助学生提升数学思维与表达能力，教师可高效开展教学引导。

1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 第2课时 学 习 目 标 1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明;(重点) 2.理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，并能简单应用．(难点) 知识回顾 1.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角 (简述为： ). （2）等腰三角形 、 、底边上的高重合(三线合一). 3.等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 . 相等 等边对等角 顶角的平分线 底边上的中线 60° 情境引入 可以发现，有两个角相等的三角形是等腰三角形，如何证明这一结论呢？ 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A B C 如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. A B C 新知探究 探究一：等腰三角形的判定 分析：比如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形． ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∴AB=AC. 在△ABD与△ACD中， ∠ADB=∠ADC， ∠B=∠C， AD=AD， D 证明： 过A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC. 请你写出你的证明过程. 新知探究 等腰三角形的判定定理： 知识归纳 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 符号语言： ∴AB=AC(等角对等边). A C B 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 新知探究 例 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 1.一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 新知探究 A 新知探究 探究二：反证法 你能理解他的推理过程吗? 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? A B C 如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件∠B≠∠C矛盾.因此AB≠AC. 新知探究 反证法： 知识归纳 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法． 注意：反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. 新知探究 例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°， 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 新知探究 1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 用反证法证题的一般步骤: 方法归纳 新知探究 2.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　　) A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° C 如图，已知在中， ，是角平分线，过点作 的垂线与的延长线相交于点.求证： 是等腰三角形. 例1 典例分析 解:∵ 在Rt△ACD中，∠ADC+∠DAC=90∘， 又∵∠BDE=∠ADC， ∴∠BDE+∠DAC=90∘， ∵Rt△ABE中，∠E+∠BAE=90∘， 又∵AD是∠BAC 的平分线， 即∠BAE=∠DAC ， ∴∠E=∠BDE， ∴BE=BD ， ∴△BDE 是等腰三角形. 用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角. 例2 典例分析 已知:在△ABC中，AB=AC. 求证:∠B，∠C必为锐角. 证明:假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角， ∵AB=AC，∴∠B=∠C, 当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾; 当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C>180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾. 综上所述，假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角. ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 巩固练习 1.如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(        )  A．任意三角形     B．等边三角形      C．等腰三角形     D．直角三角形 2.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(       ) A．OA＝OD     B．AB＝CD     C．∠ABO＝∠DCO     D．∠ABC＝∠DCB C C 巩固练习 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(     ) A．2     B．3     C．4     D．5 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE为角平分线，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数是(      ) A．4     B．6     C．7     D．8 5.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设(      ) A．a∥b     B．c∥b     C．a与c相交     D．a与b相交 C D C 巩固练习 6.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”时，第一步是假设___________________________________． 7.如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是____(填序号). 等腰三角形的底角都为直角或钝角 ② 巩固练习 8.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形,那么∠ODP的度数为 . 30°或75°或120° 9.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是 . BD=CA(答案不唯一) 巩固练习 10.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状,并说明理由. 解: (1)证明:在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB, ∴BO=CO,∴△BOC是等腰三角形. (2)△BOC是等腰三角形.理由如下:∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 巩固练习 11.如图，已知：在同一平面内，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.(用反证法证明) 证明：如图．假设a与b相交， 则过点M有两条直线平行于直线c， 这与“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”相矛盾，所以a∥b . 12.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB；  (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 巩固练习 解：(1)∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB.　 巩固练习 (2)CD＝ED，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CD＝BE，由(1)得∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴CD＝ED. 课堂小结 等腰三角形2 等腰三角形的判定定理 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 反证法 先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立. 作业布置 1.必做题：习题1.2第6，7，11题。 2.探究性作业：习题1.2第12题。 感谢聆听!