精品解析：吉林省长春市绿园区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度上学期九年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是上的点，，连接交于点，则与的周长之比为（ ） A B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )米． A. asin40° B. acos40° C. atan40° D. 8. 已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（ ） A. 有最大值，最大值为3 B. 有最大值，最大值为 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 请写出一个使在实数范围内有意义的值：______________． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 11. 如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则__． 12. 二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”、“”或“”） 13. 如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么________． 14. 如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： 16 解方程： （1）； （2）． 17. 长春地铁2号线“和平大街站”有标识为、、、四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口开展志愿服务活动．用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 18. 如图，在中，点D、E分别为、的中点，点F在的延长线上，．求证：． 19. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 20. 图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画高． （2）在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． （3）在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 21. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22. 如图①，在中，，，，为上一动点，连结，作，且使． 【感知】如图①，当点运动到时，则的长为________． 【探究】如图②，设为中点，为中点，连结、，若，求的长． 【拓展】如图③，连接，当恰为中点时，直接写出的长． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连结 （1）线段的长为___________； （2）当时，求线段的长； （3）当点落在内部时，求的取值范围； （4）当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点．点A是该抛物线上一点．点A在y轴右侧，横坐标为m，点B是该抛物线上异于点A的一点（点B不与点M重合）．点B的横坐标为，连接．以为边，点M为对称中心作． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）当点A与抛物线的顶点重合时，直接写出点B的坐标； （3）当的一条边与x轴平行时．求m的值； （4）当的顶点C、D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出k的值． 【详解】解：根据题意，直接把代入，则 ， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 4. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程． 【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（8-2x）（5-2x）=18， 故选：B． 【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程． 5. 如图，在中，是上的点，，连接交于点，则与的周长之比为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 由，可得， 再证明，根据两个相似三角形周长之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∴． 故选：． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可设，，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：A． 7. 如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )米． A. asin40° B. acos40° C. atan40° D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据锐角三角函数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°， ∴tan∠C=tan40°=， ∴AB=atan40°． 故选C 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用及锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 8. 已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（ ） A. 有最大值，最大值为3 B. 有最大值，最大值为 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由M和N关于y轴对称，M在双曲线上，N在直线上，可求出，代入二次函数得，开口向下，有最大值，利用顶点公式求最值 【详解】解：∵、两点关于轴对称，点的坐标为， ∴， ∵M在上， ∴， ∵N在上， ∴， ， ∴二次函数 ∵二次项系数， ∴函数有最大值，最大值， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则__． 【答案】4 【解析】 分析】根据，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案． 【详解】∵， ∴， 又，，， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键． 12. 二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解题中用到 “图象分析法”，解题关键是结合图象特征确定a、c的正负性，进而判断的符号．本题先由二次函数图象开口向下，得；再由图象与y轴交于负半轴，得；最后根据 “同号相乘得正”，判断出． 【详解】解：∵由图可知开口向下， ∴． ∵二次函数图象与y轴的交点为，由图可知，图象与y轴交于负半轴， ∴． ∵，， ∴， 故答案为>． 13. 如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么________． 【答案】120 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：如图所示， 是斜边的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，得到，可判定①；根据点是的中点，是的垂直平分线，得到，由等边对等角得到，根据垂直的定义得到，可判定②；设，则，由勾股定理得到，由题意可证得到，由此得到，可判定③；设，根据含角的直角三角形的性质得到，根据中线平分三角形面积得到，且，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当，时，， 设， 由①可得，是的中位线， ∴，则， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，故③错误； 当时，， 设，则， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 解得，． 17. 长春地铁2号线“和平大街站”有标识为、、、的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口开展志愿服务活动．用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】画图见解析，概率为 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：画图如下 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， （甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）． 18. 如图，在中，点D、E分别为、的中点，点F在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，进而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵点D、E分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 19. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 20. 图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画的高． （2）在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． （3）在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（1）取格点T，连接交于点P即为所求； （2）由网格的特点取的中点E， 的中点F，连接即为所求； （3）取格点，H，连接即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 由网格得， ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了画三角形高，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22. 如图①，在中，，，，为上一动点，连结，作，且使． 【感知】如图①，当点运动到时，则的长为________． 【探究】如图②，设为中点，为中点，连结、，若，求的长． 【拓展】如图③，连接，当恰为中点时，直接写出的长． 【答案】（感知）；（探究）；（拓展） 【解析】 【分析】（感知）利用勾股定理求出，由面解法求出，然后证明即可求解； （探究）利用勾股定理求出，证明求出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解； （拓展）先利用直角三角形斜边中线性质得及角的关系，再通过角的互余、等量代换推得，结合证得，最后借助的相似比算出． 【详解】（感知）解：∵在中，， ∴ ∵、， ∴． ∵， ∴， ∵、、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、​、， ∴，． （探究）解：∵在中，， ∴， ∴， ∵点M为中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，点N为中点， ∴． （拓展）解：∵由(感知)知，点D中点，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，解题中用到转化思想（将线段长度求解转化为全等或相似三角形的判定问题）、数形结合方法（结合图形特征推导边角关系），核心技巧是利用等腰直角三角形的边角特殊性、中点性质构建全等或相似模型，解题关键在于借助全等或相似的性质求解线段长度． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连结 （1）线段的长为___________； （2）当时，求线段的长； （3）当点落在内部时，求的取值范围； （4）当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）点落在内部时，的取值范围为． （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可． （2）由旋转可得：，，证明，可得，进一步可得答案． （3）如图，当落在上时，过作于，由（2）同理可得：，可得，进一步求解即可；当落在上时，如图，过作于，延长交的延长线于，同理：，，，，设，则，证明，，进一步求解即可． （4）如图，当时，过作于，则，可得，进一步求解即可；如图，当时，过作于，设，同理可得：，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，∵为的中点， ∴， 由旋转可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，当落在上时，过作于， 由（2）同理可得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 当落在上时，如图，过作于，延长交的延长线于， 同理：，，，，设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点落在内部时，的取值范围为． 【小问4详解】 解：∵，， ∴， 如图，当时，过作于，则， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，过作于， ∴， ∴设， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，清晰的分类讨论，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点．点A是该抛物线上一点．点A在y轴右侧，横坐标为m，点B是该抛物线上异于点A的一点（点B不与点M重合）．点B的横坐标为，连接．以为边，点M为对称中心作． （1）求该抛物线对应函数解析式； （2）当点A与抛物线的顶点重合时，直接写出点B的坐标； （3）当的一条边与x轴平行时．求m的值； （4）当的顶点C、D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或； （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形、二次函数的性质，解不等式组等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接根据二次函数的性质以及待定系数法即可解答； （2）抛物线顶点为，由于点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时，则，即可求解点坐标； （3）分轴和轴两种情况，分别根据平行线性质和对称点的性质求解即可； （4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列不等式组解得即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点为， ∵点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时， ∴， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标， ∵点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴，，即， ∴，解得， 此时点重合，不合题意； 当轴时，点与点的纵坐标相等， ∵点C是点A关于点的对称点，设点， ∴，解得： ∴，同理可得： ∴，整理得：， 解得或； 【小问4详解】 解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为， ∴， 由（2）可得：，， ∵， ∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限， 当在第二象限时， 有，解得：； 当在第三象限时， 有，解得该不等式无解； ∵的顶点不能重合， ∴ 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $