期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性【6大方向23大考点】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共45页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期未复习专题三：图形与概率•多边形的面积和位置和可能性 【6大方向23大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 团专题内容 本专题以图形与概率为主，其中包括多边形的面积，组合图形的面积，数对 与位置，可能性等内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高。综合性强。题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 6大方向23大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】平行四边形的面积 原【考点01】平行四边形缅积的推导… .4 原【考点2】平行四边形面积计算公式的墓本应用… …5 只【考点03】平行四边形缅积的实际应用… 6 只【考点04】平行四边形典型响题 8 【预测命题方向二】三角形的面积 原【考点01)】三角形缅积的推导… .12 第2页共45页 画学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 原【考点2】三角形缅积计算公式的墓本应用， .14 只【考点03】三角形缅积的实际应用… .15 只【考点04)等底等言的三角形和平行四边形问题， 17 具【考点0S】三角形底和高的变化问题… .18 【预测命题方向三】梯形的面积 原【考点01】梯形面积的推导… .20 只【考点02】梯形面积计算公式的攀本应用… 22 月【考点03】梯形面积的实际应用.23 只【考点04)梯形中的最大图形问题… .25 原【考点05)】梯形中底的变化问题 ..26 【预测命题方向四】组合图形的面积 冥【考点01】格点图中的不规则图形缅积… ..27 原【考点2】求组合图形的面积.… .30 只【考点03】组合图形面积的实际应用.… .32 【预测命题方向五】数对与位置 只【考点01】数对与教室中的位置.… .36 月【考点02】数树与多边形.37 只【考点03】利用数对描述行进路线39 【预测命题方向六】概率与可能性 只【考点01】三种事件.… …42 只【考点2】可能性的大小… .43 冥【考点03】游戏设计的公平性问题… .44 第3页共45页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】平行四边形的面积 如命题趋势 1.结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3.综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势 题型中。 冥方法点拨 1.转化思想推导平行四边形的面积公式。 转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形 等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2.平行四边形的面积计算公式。 已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个 量。 (1)已知底和高，求面积：S=ah: (2)已知底和面积，求高：h=S÷a; (3)已知高和面积，求底：aSh。 目考察形式 填空、选择、计算、应用 蜀动态评价 ★★★ 只【考点01】平行四边形面积的推导 吕【典型例题】 看图思考，完成填空。 高 高 高 底 底 底 如图，把平行四边形沿着( )分成两个部分，通过( )的方法，可以把这两个部 分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变：它的 第4页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 )等于平行四边形的( ),它的( )等于平行四边形的( ),因为， 长方形面积=( ),所以，平行四边形的面积=( ),用字母表示可以写成 S=( ) 【答案】 高 平移 长方形 周长 面积 长 底 宽 高 长×宽 底×高 ah 【分析】如图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转 化成长方形。这两个图形的面积相等，找出原来的平行四边形和转化后的长方形之间的关系， 由长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。 【详解】如图，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过平移的方法，可以把这两个部分拼成 个长方形。它和平行四边形相比，周长变了，面积没变：它的长等于平行四边形的底，它的 宽等于平行四边形的高，因为，长方形面积=长×宽，所以，平行四边形的面积=底×高，用 字母表示可以写成S=ah。 肥【对应练习1】 如图所示，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是( ),宽是( 17dm 20dm 【答案】 20分米/20dm 7分米/7dm 【分析】通过观察图形发现：沿着平行四边形底边上的高把平行四边形剪成一个直角三角形和 一个直角梯形，把直角三角形向右平移后拼在直角梯形的右边，使平行四边形转化成长方形。 长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 【详解】平行四边形的底是20分米，所以长方形的长是20分米。 平行四边形的高是7分米，所以长方形的宽是7分米。 【点睛】运用割补法把平行四边形转化成长方形，体现了转化的数学思想。 原【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 吕【典型例题】 一个平行四边形的底是24cm,它的底是高的3倍， 它的面积是( )cm2。 【答案】192 第5页共45页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。求出平行四边形的高。平行四 边形的面积=底×高。据此解答。 【详解】24÷3×24=192(cm2) 一个平行四边形的底是24cm,它的底是高的3倍，它的面积是192cm2。 【点睛】本题主要考查平行四边形的面积公式。 肥【对应练习】 1.一个平行四边形的面积是48平方厘米，高是8厘米，底是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据平行四边形的面积=底×高，已知面积和高，求底，用面积除以高即可解答。 【详解】48-8=6（厘米） 则底是6厘米。 【点睛】本题考查平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 2.下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。 ,3cm、 4cm 8cm 【答案】6厘米 【分析】观察平行四边形，一条底边长为8厘米，对应的高是3厘米，根据平行四边形的面积 =底×高，代入数据求出这个平行四边形的面积，另一条底边长为4厘米，用平行四边形的面 积除以这条底边长，即可求出对应的高的长度。 【详解】8×3÷4=6（厘米） 即这条底边上对应的高是6厘米。 泉【考点03】平行四边形面积的实际应用 吕【典型例题】 王裁缝做纱巾，做一个纱巾需要一块底45厘米，高32厘米的平行四边形布料。做30个这样 的纱巾，共需布料多少平方厘米？ 【答案】43200平方厘米 【分析】根据公式：平行四边形的面积=底×高，求出做一个纱巾所需布料的面积，然后再乘 第6页共45页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 要做的纱巾数量，就能得到总共需要的布料面积。 【详解】45×32×30=43200（平方厘米） 答：做30个这样的纱巾，共需布料43200平方厘米。 即【对应练习】 1.王奶奶想靠墙用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为24平方米，如下图所示。一共需要篱 笆多少米？ (单位：m) 墙 【答案】21米 【分析】因为围成平行四边形菜地靠墙的一侧不需要篱笆，故将其余的三边相加即可；根据平 行四边形的面积=底×高，求出平行四边形高(3米)对应底的长，再乘2，最后再加上5米即 可解答。 【详解】24÷3×2+5 =8×2+5 =16+5 =21(米) 答：一共需要篱笆21米。 2.有A、B两块梯形草地，中间有一条平行四边形的小路。求这两块草地的面积一共是多少 平方米。 长-4m A B 6 m 路 6m 第7页共45页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解析： (5+4+6)×6-4×6 =15×6-24 =90-24 =66(平方米) 答：A、B两块草地的面积是66平方米。 3.如下图，E、F分别是平行四边形ABCD上、下两边的中点，连接DE、BF,如果平行四边 形EBFD的面积是28d2,求平行四边形ABCD的面积是多少？ E 解析： 通过平移把三角形AED和三角形BCF拼在一起，恰好是平行四边形ABCD的一半，由此可 以得出平行四边形EBFD的面积是平行四边形ABCD面积的一半，所以平行四边形ABCD的 面积是28×2-56(dm)。 原【考点04】平行四边形典型问题 吕【典型例题1】问题一：同底等高的长方形、正方形和平行四边形 下图中长方形的面积是( )平方厘米，可知平行四边形的面积是( )平方厘米。 这是因为：同底等高的长方形和平行四边形的面积( ) 3cm 4cm 【答案】 12 12 相等 【分析】根据长方形的面积=长×宽，用4×3即可求出长方形的面积，根据平行四边形的面积 =底×高，用4×3也可求出平行四边形的面积，因为长方形的长相当于平行四边形的底，长方 形的宽相当于平行四边形的高，则同底等高的长方形和平行四边形的面积相等。 【详解】4×3=12（平方厘米） 长方形的面积是12平方厘米，可知平行四边形的面积是12平方厘米。这是因为：同底等高的 第8页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 长方形和平行四边形的面积相等。 0【对应练习1】 下图中正方形的周长是32cm,平行四边形的面积是( )cm2。 解析： 32÷4=8(cm) 8×8=64(cm2) 吕【典型例题2】问题二：长方形、正方形与平行四边形的拉伸问题 小文把一个边长是6厘米的正方形框架，拉成了一个高是4厘米的平行四边形框架，这个平行 四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 24 24 【分析】正方形框架拉成了平行四边形框架周长不变，可求出平行四边形的周长：6×4=24厘 米；先依据正方形框架拉成了平行四边形框架，底不变，高变为4厘米，根据平行四边形面积 公式，进而得出平行四边形的面积。 【详解】由分析得， 6×4=24(厘米) 6×4=24(平方厘米) 【点睛】此题考查的是平行四边形的特性的应用，掌握正方形框架拉成了平行四边形框架周长 不变，面积变小是解题关键。 肥【对应练习】 一个平行四边形框架（如图），如果把它拉成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘 米，面积是( )平方厘米。 3 6 第9页共45页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 20 24 【分析】根据图意，把一个平行四边形框架拉成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底， 长方形的宽等于平行四边形的另一条边，即长方形的长是6厘米，宽是4厘米；然后根据长方 形的周长=（长+宽）×2，长方形的面积=长×宽，代入数据计算即可。 【详解】周长 (6+4)×2 =10×2 =20(厘米) 面积： 6×4=24(平方厘米) 这个长方形的周长是20厘米，面积是24平方厘米。 【点睛】把平行四边形拉成长方形，找出长方形的长和宽是解题的关键，然后运用长方形的周 长、长方形的面积公式解答。 吕【典型例题3】问题三：平行四边形底和高的变化问题 一个平行四边形的面积是120平方分米，如果它的高扩大到原来的3倍，底不变，它的面积是 ( )平方分米。 解析： 120×3=360(平方分米) 肥【对应练习】 一个平行四边形，底为10分米，高为4分米，如果底不变，高增加2分米，那么面积增加 )平方分米：若高不变，底增加2分米，则面积增加( )平方分米。 解析： 10×(4+2)-10×4 =10×6-40 =60一40 =20(平方分米) (10+2)×4-10×4 =12×4-40 =48-40 第10页共45页品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期未复习专题三：图形与概率•多边形的面积和位置和可能性 【6大方向23大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 团专题内容 本专题以图形与概率为主，其中包括多边形的面积，组合图形的面积，数对 与位置，可能性等内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高。综合性强。题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 6大方向23大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】平行四边形的面积 原【考点01】平行四边形缅积的推导… .4 原【考点2】平行四边形面积计算公式的墓本应用… 5 只【考点03】平行四边形缅积的实际应用… 5 只【考点04】平行四边形典型响题 .6 【预测命题方向二】三角形的面积 原【考点01)】三角形缅积的推导… .8 第2页共24页 画学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 原【考点2】三角形缅积计算公式的墓本应用， .9 只【考点03】三角形缅积的实际应用… 9 只【考点04)等底等言的三角形和平行四边形问题， 10 具【考点0S】三角形底和高的变化问题… ...11 【预测命题方向三】梯形的面积 原【考点01】梯形面积的推导… .12 只【考点02】梯形面积计算公式的攀本应用… 13 月【考点03】梯形面积的实际应用13 只【考点04)梯形中的最大图形问题… 14 貝【考点05】梯形中底的变化问题… .15 【预测命题方向四】组合图形的面积 冥【考点01】格点图中的不规则图形缅积… .16 原【考点2】求组合图形的面积.… ..17 只【考点03】组合图形面积的实际应用… .18 【预测命题方向五】数对与位置 只【考点01】数对与教室中的位置. .20 月【考点02】数对与多边形.20 只【考点03】利用数树描述行进路线….21 【预测命题方向六】概率与可能性 只【考点01】三种事件.… 23 只【考点2】可能性的大小… .23 冥【考点03】游戏设计的公平性问题…。 .24 第3页共24页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】平行四边形的面积 如命题趋势 1.结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3.综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势 题型中。 冥方法点拨 1.转化思想推导平行四边形的面积公式。 转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形 等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2.平行四边形的面积计算公式。 已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个 量。 (1)已知底和高，求面积：S=ah: (2)已知底和面积，求高：h=S÷a; (3)已知高和面积，求底：aSh。 目考察形式 填空、选择、计算、应用 蜀动态评价 ★★★ 只【考点01】平行四边形面积的推导 吕【典型例题】 看图思考，完成填空。 高 高 高 底 底 底 如图，把平行四边形沿着( )分成两个部分，通过( )的方法，可以把这两个部 分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变：它的 第4页共24页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 )等于平行四边形的( ),它的( )等于平行四边形的( ),因为， 长方形面积=( ),所以，平行四边形的面积=( ),用字母表示可以写成 S=( ) 0【对应练习1】 如图所示，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是( ),宽是( ) 17dm 20dm 原【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 吕【典型例题】 一个平行四边形的底是24cm,它的底是高的3倍，它的面积是( )cm2。 肥【对应练习】 1.一个平行四边形的面积是48平方厘米，高是8厘米，底是( )厘米。 2.下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。 3cm、 4cm 8cm 原【考点03】平行四边形面积的实际应用 吕【典型例题】 王裁缝做纱巾，做一个纱巾需要一块底45厘米，高32厘米的平行四边形布料。做30个这样 的纱巾，共需布料多少平方厘米？ 第5页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.王奶奶想靠墙用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为24平方米，如下图所示。一共需要篱 笆多少米？ (单位：m) 墙 2.有A、B两块梯形草地，中间有一条平行四边形的小路。求这两块草地的面积一共是多少 平方米。 长-4m- 小 A B 路 3.如下图，E、F分别是平行四边形ABCD上、下两边的中点，连接DE、BF,如果平行四边 形EBFD的面积是28dm2,求平行四边形ABCD的面积是多少？ A F 原【考点04】平行四边形典型问题 吕【典型例题1】问题一：同底等高的长方形、正方形和平行四边形 下图中长方形的面积是( )平方厘米，可知平行四边形的面积是( )平方厘米。 这是因为：同底等高的长方形和平行四边形的面积( )。 3cm 4cm 第6页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 下图中正方形的周长是32cm,平行四边形的面积是( )cm2。 吕【典型例题2】问题二：长方形、正方形与平行四边形的拉伸问题 小文把一个边长是6厘米的正方形框架，拉成了一个高是4厘米的平行四边形框架，这个平行 四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 即【对应练习】 一个平行四边形框架（如图），如果把它拉成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘 米，面积是( )平方厘米。 3 6 吕【典型例题3】问题三：平行四边形底和高的变化问题 一个平行四边形的面积是120平方分米，如果它的高扩大到原来的3倍，底不变，它的面积是 )平方分米。 即【对应练习】 一个平行四边形，底为10分米，高为4分米，如果底不变，高增加2分米，那么面积增加 )平方分米：若高不变，底增加2分米，则面积增加( )平方分米。 第7页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向二】三角形的面积 如命题趋势 1.结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3.综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势 题型中。 兵方法点拨 1.转化思想推导原理。 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三 角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作 进一步推导。 2.三角形的面积计算公式。 已知三角形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。 (1)已知底和高，求面积：S=ah:2: (2)已知底和面积，求高：h=2S÷a: (3)已知高和面积，求底：a=2Sh。 3.等底等高的三角形和平行四边形。 (1)平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； (2)三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 (3)当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是 三角形的高的一半。 (4)当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三 角形底的一半。 目考察形式 填空、选择、计算、应用 蜀动态评价 ★★★ 只【考点01】三角形面积的推导 吕【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底 和高分别( ),三角形的面积是平行四边形面积的( )。所以三角形的面积= ),用字母表示为S=( 第8页共24页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 高 高 底 底 即【对应练习】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折痕剪开后再拼 成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是、高是h,那么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( ),高是( )。原三角形面积=拼成的平行四边形面 积=( ) 只【考点02】三角形缅积计算公式的基本应用 吕【典型例题】 一个三角形的底是12m,高是9m,它的面积是( )m2。 肥【对应练习】 1.一块三角形菜地的面积是180平方米，量得底边上的高20米，这块地的底边长是( 米。 2.一个直角三角形，直角所对的边的长是10cm,其余两边分别是8cm和6cm。直角所对边上 的高是( )cm。 只【考点03】三角形面积的实际应用 吕【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是14cm,做100面这样的小红旗，要用多 少平方米的纸？ 第9页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.图中的平行四边形被分成两个三角形，它们的面积都是270m2,求平行四边形的周长。 22.5m 18mi 2.实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。下图是 可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用3千克水泥，至少要 准备多少千克水泥？ 12dm 40dm 50dm 具【考点04】等底等高的三角形和平行四边形问题 吕【典型例题】 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平 方厘米。 即【对应练习】 1.一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是5厘米，那么平行四边 形的高是( )厘米：如果平行四边形的高是5厘米，那么三角形的高是( )厘米。 2.下图中平行四边形底边上的中点是P,它的面积是60cm?,则涂色的三角形面积是 )cm2。 第10页共24页 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 【6大方向23大考点】 专题名称 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 专题内容 本专题以图形与概率为主，其中包括多边形的面积，组合图形的面积，数对与位置，可能性等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 6大方向23大考点 【预测命题方向一】平行四边形的面积 【考点01】平行四边形面积的推导 4 【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 5 【考点03】平行四边形面积的实际应用 5 【考点04】平行四边形典型问题 6 【预测命题方向二】三角形的面积 【考点01】三角形面积的推导 8 【考点02】三角形面积计算公式的基本应用 9 【考点03】三角形面积的实际应用 9 【考点04】等底等高的三角形和平行四边形问题 10 【考点05】三角形底和高的变化问题 11 【预测命题方向三】梯形的面积 【考点01】梯形面积的推导 12 【考点02】梯形面积计算公式的基本应用 13 【考点03】梯形面积的实际应用 13 【考点04】梯形中的最大图形问题 14 【考点05】梯形中底的变化问题 15 【预测命题方向四】组合图形的面积 【考点01】格点图中的不规则图形面积 16 【考点02】求组合图形的面积 17 【考点03】组合图形面积的实际应用 18 【预测命题方向五】数对与位置 【考点01】数对与教室中的位置 20 【考点02】数对与多边形 20 【考点03】利用数对描述行进路线 21 【预测命题方向六】概率与可能性 【考点01】三种事件 23 【考点02】可能性的大小 23 【考点03】游戏设计的公平性问题 24 【预测命题方向一】平行四边形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导平行四边形的面积公式。 一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2. 平行四边形的面积计算公式。 已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。 (1)已知底和高，求面积：S=ah； (2)已知底和面积，求高：h=S÷a； (3)已知高和面积，求底：a=S÷h。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】平行四边形面积的推导 【典型例题】 看图思考，完成填空。 如图，把平行四边形沿着( )分成两个部分，通过( )的方法，可以把这两个部分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变；它的( )等于平行四边形的( )，它的( )等于平行四边形的( )，因为，长方形面积( )，所以，平行四边形的面积( )，用字母表示可以写成( )。 【对应练习1】 如图所示，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是( )，宽是( )。 【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个平行四边形的底是24cm，它的底是高的3倍，它的面积是( )cm2。 【对应练习】 1. 一个平行四边形的面积是48平方厘米，高是8厘米，底是( )厘米。 2. 下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。    【考点03】平行四边形面积的实际应用 【典型例题】 王裁缝做纱巾，做一个纱巾需要一块底45厘米，高32厘米的平行四边形布料。做30个这样的纱巾，共需布料多少平方厘米？ 【对应练习】 1. 王奶奶想靠墙用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为24平方米，如下图所示。一共需要篱笆多少米？ 2. 有A、B两块梯形草地，中间有一条平行四边形的小路。求这两块草地的面积一共是多少平方米。 3. 如下图，E、F分别是平行四边形ABCD上、下两边的中点，连接DE、BF，如果平行四边形EBFD的面积是28dm2，求平行四边形ABCD的面积是多少？ 【考点04】平行四边形典型问题 【典型例题1】问题一：同底等高的长方形、正方形和平行四边形 下图中长方形的面积是( )平方厘米，可知平行四边形的面积是( )平方厘米。这是因为：同底等高的长方形和平行四边形的面积( )。 【对应练习1】 下图中正方形的周长是32cm，平行四边形的面积是( )cm2。 【典型例题2】问题二：长方形、正方形与平行四边形的拉伸问题 小文把一个边长是6厘米的正方形框架，拉成了一个高是4厘米的平行四边形框架，这个平行四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习】 一个平行四边形框架（如图），如果把它拉成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【典型例题3】问题三：平行四边形底和高的变化问题 一个平行四边形的面积是120平方分米，如果它的高扩大到原来的3倍，底不变，它的面积是( )平方分米。 【对应练习】 一个平行四边形，底为10分米，高为4分米，如果底不变，高增加2分米，那么面积增加( )平方分米；若高不变，底增加2分米，则面积增加( )平方分米。 【预测命题方向二】三角形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导原理。 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一步推导。 2. 三角形的面积计算公式。 已知三角形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。(1)已知底和高，求面积：S=ah÷2； (2)已知底和面积，求高：h=2S÷a； (3)已知高和面积，求底：a=2S÷h。 3. 等底等高的三角形和平行四边形。 （1）平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； （2）三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 （3）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 （4）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角形底的一半。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】三角形面积的推导 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为S＝( )。 【对应练习】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是a、高是h，那么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝( )。 【考点02】三角形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个三角形的底是12m，高是9m，它的面积是( )m2。 【对应练习】 1. 一块三角形菜地的面积是180平方米，量得底边上的高20米，这块地的底边长是( )米。 2. 一个直角三角形，直角所对的边的长是10cm，其余两边分别是8cm和6cm。直角所对边上的高是( )cm。 【考点03】三角形面积的实际应用 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是14cm，做100面这样的小红旗，要用多少平方米的纸？ 【对应练习】 1. 图中的平行四边形被分成两个三角形，它们的面积都是270m2，求平行四边形的周长。 2. 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 【考点04】等底等高的三角形和平行四边形问题 【典型例题】 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 1. 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是5厘米，那么平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是5厘米，那么三角形的高是( )厘米。 2. 下图中平行四边形底边上的中点是P，它的面积是60cm2，则涂色的三角形面积是( )cm2。 3. 如图是笑笑在两条平行线间画的三个图形，下列说法正确的是( )。 A．长方形的面积最大 B．平行四边形的面积最大 C．三角形的面积最大 D．三个图形的面积一样大 【考点05】三角形底和高的变化问题 【典型例题】 一个三角形的底长是5m，如果底边延长1m，那么面积就增加2m²，请你求出原来三角形的面积是( )平方米。 【对应练习】 一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大( )倍。 【预测命题方向三】梯形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导原理。 梯形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式转化为长方形、平行四边形或三角形，再根据长方形、平行四边形或三角形的面积公式作进一步推导。 2. 梯形的面积计算公式。 梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2，用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 3. 已知梯形的上底、下底、高和面积中的任意三个量，求另一个量，可以利用梯形的面积计算公式推导出求另一个量的公式，将相关数据代入求解；也可以设所求量为x，利用梯形的面积计算公式列方程求解。 4. 梯形中的最大图形问题 （1）在梯形中，截一个最大的三角形，它的底相当于梯形的下底，高相当于梯形的高。 （2）在梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底，高等于梯形的高。 （3）在梯形中，截一个最大的正方形，它的边长等于它的高。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】梯形面积的推导 【典型例题】 下面是同学们写出的四种探究梯形面积的计算方法，正确的有( )。（可填写多个答案） 【对应练习】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。把一个梯形沿着两腰中点的连线剪开，旋转后拼成了一个( )，原图中梯形的面积是( )平方厘米。 【考点02】梯形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个梯形，上底10厘米，下底6厘米，高是5厘米。这个梯形的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 梯形的面积是54平方厘米，上底是12厘米，下底是6厘米，高是( )厘米。 【考点03】梯形面积的实际应用 【典型例题】 一个梯形果园，上底是27米，比下底短6米，高是18米。在这个果园种上梨树，如果每棵梨树的占地面积是4平方米，最多可栽梨树多少棵？ 【对应练习】 1. 将一批电线杆堆放起来，使横截面成梯形，最下层有26根，最上层有15根，每相邻两层之间相差1根，一共堆放了12层。这批电线杆一共有多少根？ 2. 如图，李爷爷靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，篱笆总长38米，这块梯形菜地的面积是多少平方米？ 3. 有一条水渠从一块梯形的田中穿过（如图），这块田的实际耕地面积是多少平方米？ 【考点04】梯形中的最大图形问题 【典型例题】 一张梯形彩纸面积是64平方厘米，上底7厘米，下底9厘米，它的高( )厘米，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 1. 在一个上底为10厘米，下底为15厘米，高为8厘米的梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米，剩余面积是( )平方厘米。 2. 如图所示，梯形的面积是( )，在这个梯形内画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积是( )。 【考点05】梯形中底的变化问题 【典型例题】 一个梯形，上底、下底和高都扩大2倍，面积扩大( )倍。 【对应练习】 一个直角梯形的上底长7厘米，如果把它的下底减少3厘米，它就变成一个正方形，这个梯形的面积是( )。 【预测命题方向四】组合图形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 组合图形面积的计算方法。 运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2. 在格点图中估算面积。（数方格法） 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 3 在格点图中计算面积。（转化法） 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多边形，再根据面积公式进行计算。 考察形式 计算、应用 动态评价 【考点01】格点图中的不规则图形面积 【典型例题】 黄老师在一张方格纸上画了一个“象头”的简笔画，请你估一估，图中“象头”所占的面积大约是( )平方厘米。（图中每个小方格的面积是1平方厘米） A．16 B．28 C．40 D．64 【对应练习】 1．如图，每个小方格的面积表示1cm2，右侧不规则图形的面积约是( )cm2。 A．24 B．48 C．72 2．比较下图方格纸中的两个涂色图形的面积，①号涂色图形的面积( )②号涂色图形的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【考点02】求组合图形的面积 【典型例题】 1．求下面组合图形的面积。 2．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习】 1．计算下面图形的面积。 2．计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【考点03】组合图形面积的实际应用 【典型例题】 某单位计划在下面这块空地上种植草坪，每平方米草坪按6元计算，该单位筹集8万元资金够不够？请计算说明。 【对应练习】 1．有一条宽2米的长方形小路穿过一块梯形田地，如图所示，这块田地的实际种植面积是多少平方米？ 2．李阿姨准备买一套房。销售人员告诉她，这套房子的室内建筑面积是60平方米，李阿姨看房的时候感觉没有那么大面积，于是她找来了房屋平面图进行核对，如下图所示。请你帮李阿姨计算并核对一下，这套房子的室内面积到底是多大？ 【预测命题方向五】数对与位置 命题趋势 1. 期末多结合图形考察，涉及方向和图形变化，以体现综合能力。 2. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【考点01】数对与教室中的位置 【典型例题】 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 【对应练习】 王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【考点02】数对与多边形 【典型例题】 如图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用数对表示为（ ， ），三角形ABC是( )三角形。    【对应练习】 1. 一个四边形的四个顶点所在位置分别可以用（1，3）、（6，3）、（6，5）、（1，5）来表示，这个四边形一定是( )。 2. 如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【考点03】利用数对描述行进路线 【典型例题】 根据下图完成下面各题。 （1）图书馆用数对表示是( )，电影院用数对表示是( )。 （2）笑笑家的位置用数对表示是（5，3），请你在图中标出笑笑家的位置。 （3）周末，淘气想从书店到公园去，写出淘气的行走路线。 【对应练习】 在象棋中，若马的位置在点A处，则称之为“卧槽马”。卧槽马在生活中常用来形容善于韬光养晦，静待时机的人。 （1）若“马”的位置为（5，4），“将”的位置为（4，0），则点A的位置用数对表示是（       ）。 （2）“马走日，象飞田”是下象棋的规则，马下一步的走法可以在其四周的八个点进行选择，故有“八面威风”之说。若图中马从现在的位置到达A点的位置，请用数对表示马所经过的点。 第一种方法：（5，4）→( )→A； 第二种方法：（5，4）→( )→A； 第三种方法：（5，4）→( )→( )→( )→A…… 【预测命题方向六】概率与可能性 命题趋势 1. 多结合生活常识，凸显实用性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 生活中有许多事件的发生是不确定的，但发生的可能性是有大小的。 2. 事件发生的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性越大；反之，可能性就越小。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【考点01】三种事件 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( )摸到黄球。 【考点02】可能性的大小 【典型例题】 袋中有大小相同的10颗玻璃珠，其中有2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色珠子。王亮从中任意摸出1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出( )色珠子的可能性最大。 【对应练习】 如图，盒子里有5个大小完全相同的球，从盒子里任意摸出一个球，有( )种结果，摸到( )球的可能性较小。如果往盒子里再放4个红球，那么任意摸出一个球，摸到( )球的可能性较大。 【考点03】游戏设计的公平性问题 【典型例题】 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【对应练习】 选出点数为1，2，3，4的扑克牌各1张，打乱后反扣在桌面上，小明和小华一起做下面的游戏。 （1）每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸； （2）两张牌的点数和大于5，小明得1分；小于5，小华得1分。 这个游戏规则公平吗？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 【6大方向23大考点】 专题名称 期末复习专题三：图形与概率·多边形的面积和位置和可能性 专题内容 本专题以图形与概率为主，其中包括多边形的面积，组合图形的面积，数对与位置，可能性等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 6大方向23大考点 【预测命题方向一】平行四边形的面积 【考点01】平行四边形面积的推导 4 【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 5 【考点03】平行四边形面积的实际应用 6 【考点04】平行四边形典型问题 8 【预测命题方向二】三角形的面积 【考点01】三角形面积的推导 12 【考点02】三角形面积计算公式的基本应用 14 【考点03】三角形面积的实际应用 15 【考点04】等底等高的三角形和平行四边形问题 17 【考点05】三角形底和高的变化问题 18 【预测命题方向三】梯形的面积 【考点01】梯形面积的推导 20 【考点02】梯形面积计算公式的基本应用 22 【考点03】梯形面积的实际应用 23 【考点04】梯形中的最大图形问题 25 【考点05】梯形中底的变化问题 26 【预测命题方向四】组合图形的面积 【考点01】格点图中的不规则图形面积 27 【考点02】求组合图形的面积 30 【考点03】组合图形面积的实际应用 32 【预测命题方向五】数对与位置 【考点01】数对与教室中的位置 36 【考点02】数对与多边形 37 【考点03】利用数对描述行进路线 39 【预测命题方向六】概率与可能性 【考点01】三种事件 42 【考点02】可能性的大小 43 【考点03】游戏设计的公平性问题 44 【预测命题方向一】平行四边形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导平行四边形的面积公式。 一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2. 平行四边形的面积计算公式。 已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。 (1)已知底和高，求面积：S=ah； (2)已知底和面积，求高：h=S÷a； (3)已知高和面积，求底：a=S÷h。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】平行四边形面积的推导 【典型例题】 看图思考，完成填空。 如图，把平行四边形沿着( )分成两个部分，通过( )的方法，可以把这两个部分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变；它的( )等于平行四边形的( )，它的( )等于平行四边形的( )，因为，长方形面积( )，所以，平行四边形的面积( )，用字母表示可以写成( )。 【答案】 高 平移 长方形 周长 面积 长 底 宽 高 长×宽 底×高 ah 【分析】如图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，找出原来的平行四边形和转化后的长方形之间的关系，由长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。 【详解】如图，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过平移的方法，可以把这两个部分拼成一个长方形。它和平行四边形相比，周长变了，面积没变；它的长等于平行四边形的底，它的宽等于平行四边形的高，因为，长方形面积＝长×宽，所以，平行四边形的面积＝底×高，用字母表示可以写成S＝ah。 【对应练习1】 如图所示，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是( )，宽是( )。 【答案】 20分米/20dm 7分米/7dm 【分析】通过观察图形发现：沿着平行四边形底边上的高把平行四边形剪成一个直角三角形和一个直角梯形，把直角三角形向右平移后拼在直角梯形的右边，使平行四边形转化成长方形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 【详解】平行四边形的底是20分米，所以长方形的长是20分米。 平行四边形的高是7分米，所以长方形的宽是7分米。 【点睛】运用割补法把平行四边形转化成长方形，体现了转化的数学思想。 【考点02】平行四边形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个平行四边形的底是24cm，它的底是高的3倍，它的面积是( )cm2。 【答案】192 【分析】根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。求出平行四边形的高。平行四边形的面积＝底×高。据此解答。 【详解】24÷3×24＝192（cm2） 一个平行四边形的底是24cm，它的底是高的3倍，它的面积是192cm2。 【点睛】本题主要考查平行四边形的面积公式。 【对应练习】 1. 一个平行四边形的面积是48平方厘米，高是8厘米，底是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，已知面积和高，求底，用面积除以高即可解答。 【详解】48÷8＝6（厘米） 则底是6厘米。 【点睛】本题考查平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 2. 下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。    【答案】6厘米 【分析】观察平行四边形，一条底边长为8厘米，对应的高是3厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据求出这个平行四边形的面积，另一条底边长为4厘米，用平行四边形的面积除以这条底边长，即可求出对应的高的长度。 【详解】8×3÷4＝6（厘米） 即这条底边上对应的高是6厘米。 【考点03】平行四边形面积的实际应用 【典型例题】 王裁缝做纱巾，做一个纱巾需要一块底45厘米，高32厘米的平行四边形布料。做30个这样的纱巾，共需布料多少平方厘米？ 【答案】43200平方厘米 【分析】根据公式：平行四边形的面积＝底×高，求出做一个纱巾所需布料的面积，然后再乘要做的纱巾数量，就能得到总共需要的布料面积。 【详解】45×32×30＝43200（平方厘米） 答：做30个这样的纱巾，共需布料43200平方厘米。 【对应练习】 1. 王奶奶想靠墙用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为24平方米，如下图所示。一共需要篱笆多少米？ 【答案】21米 【分析】因为围成平行四边形菜地靠墙的一侧不需要篱笆，故将其余的三边相加即可；根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形高（3米）对应底的长，再乘2，最后再加上5米即可解答。 【详解】24÷3×2＋5 ＝8×2＋5 ＝16＋5 ＝21（米） 答：一共需要篱笆21米。 2. 有A、B两块梯形草地，中间有一条平行四边形的小路。求这两块草地的面积一共是多少平方米。 解析： （5＋4＋6）×6－4×6 ＝15×6－24 ＝90－24 ＝66（平方米） 答：A、B两块草地的面积是66平方米。 3. 如下图，E、F分别是平行四边形ABCD上、下两边的中点，连接DE、BF，如果平行四边形EBFD的面积是28dm2，求平行四边形ABCD的面积是多少？ 解析： 通过平移把三角形AED和三角形BCF拼在一起，恰好是平行四边形ABCD的一半，由此可以得出平行四边形EBFD的面积是平行四边形ABCD面积的一半，所以平行四边形ABCD的面积是28×2=56（dm²）。 【考点04】平行四边形典型问题 【典型例题1】问题一：同底等高的长方形、正方形和平行四边形 下图中长方形的面积是( )平方厘米，可知平行四边形的面积是( )平方厘米。这是因为：同底等高的长方形和平行四边形的面积( )。 【答案】 12 12 相等 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，用4×3即可求出长方形的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，用4×3也可求出平行四边形的面积，因为长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，则同底等高的长方形和平行四边形的面积相等。 【详解】4×3＝12（平方厘米） 长方形的面积是12平方厘米，可知平行四边形的面积是12平方厘米。这是因为：同底等高的长方形和平行四边形的面积相等。 【对应练习1】 下图中正方形的周长是32cm，平行四边形的面积是( )cm2。 解析： 32÷4＝8（cm） 8×8＝64（cm2） 【典型例题2】问题二：长方形、正方形与平行四边形的拉伸问题 小文把一个边长是6厘米的正方形框架，拉成了一个高是4厘米的平行四边形框架，这个平行四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 24 24 【分析】正方形框架拉成了平行四边形框架周长不变，可求出平行四边形的周长：6×4＝24厘米；先依据正方形框架拉成了平行四边形框架，底不变，高变为4厘米，根据平行四边形面积公式，进而得出平行四边形的面积。 【详解】由分析得， 6×4＝24（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 【点睛】此题考查的是平行四边形的特性的应用，掌握正方形框架拉成了平行四边形框架周长不变，面积变小是解题关键。 【对应练习】 一个平行四边形框架（如图），如果把它拉成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 20 24 【分析】根据图意，把一个平行四边形框架拉成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的另一条边，即长方形的长是6厘米，宽是4厘米；然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】周长： （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 面积： 6×4＝24（平方厘米） 这个长方形的周长是20厘米，面积是24平方厘米。 【点睛】把平行四边形拉成长方形，找出长方形的长和宽是解题的关键，然后运用长方形的周长、长方形的面积公式解答。 【典型例题3】问题三：平行四边形底和高的变化问题 一个平行四边形的面积是120平方分米，如果它的高扩大到原来的3倍，底不变，它的面积是( )平方分米。 解析： 120×3＝360（平方分米） 【对应练习】 一个平行四边形，底为10分米，高为4分米，如果底不变，高增加2分米，那么面积增加( )平方分米；若高不变，底增加2分米，则面积增加( )平方分米。 解析： 10×（4＋2）－10×4 ＝10×6－40 ＝60－40 ＝20（平方分米） （10＋2）×4－10×4 ＝12×4－40 ＝48－40 ＝8（平方分米） 【预测命题方向二】三角形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导原理。 三角形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式将三角形转化为长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式作进一步推导。 2. 三角形的面积计算公式。 已知三角形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。(1)已知底和高，求面积：S=ah÷2； (2)已知底和面积，求高：h=2S÷a； (3)已知高和面积，求底：a=2S÷h。 3. 等底等高的三角形和平行四边形。 （1）平行四边形的面积等于它等底等高的三角形的面积的两倍； （2）三角形的面积等于它等底等高的平行四边形的面积的一半。 （3）当平行四边形和三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 （4）当平行四边形和三角形的面积相等，高也相等时，平行四边形的底是三角形底的一半。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】三角形面积的推导 【典型例题】 如图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别( )，三角形的面积是平行四边形面积的( )。所以三角形的面积＝( )，用字母表示为S＝( )。 【答案】 相等 一半 底×高÷2 ah÷2 【分析】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，那么三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高；三角形的面积等于平行四边形面积的一半；由“平行四边形的面积＝底×高”可推出三角形的面积公式。 【详解】用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别相等；三角形的面积是平行四边形面积的一半。所以三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2。 【点睛】本题考查三角形面积公式的推导过程及应用，掌握平行四边形的面积公式，以及两个相同的三角形拼成一个平行四边形，找出三角形的底、高与平行四边形的底、高之间的关系是解题的关键。 【对应练习】 剪一张三角形纸片，画出底上的高，沿高线对折使顶点和垂足重合再展开，沿折痕剪开后再拼成一个平行四边形，如下图。如果原三角形的底是a、高是h，那么操作后会发现： 拼成的平行四边形的底是( )，高是( )。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝( )。 【答案】 a h÷2 ah÷2 【分析】观察图形发现，拼成的平行四边形的底相当于的三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，可知原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝三角形的底×三角形的高÷2。据此解答。 【详解】拼成的平行四边形的底是a，高是h÷2。原三角形面积＝拼成的平行四边形面积＝ah÷2。 【点睛】本题考查了三角形面积公式的推导过程。 【考点02】三角形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个三角形的底是12m，高是9m，它的面积是( )m2。 【答案】54 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此代入数值进行计算即可求出三角形的面积。 【详解】12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（m2） 它的面积是54m2。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键。 【对应练习】 1. 一块三角形菜地的面积是180平方米，量得底边上的高20米，这块地的底边长是( )米。 【答案】18 【分析】已知三角形菜地的面积和高，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，代入数据计算，即可求出这块地的底边长。 【详解】180×2÷20 ＝360÷20 ＝18（米） 这块地的底边长是18米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的灵活运用。 2. 一个直角三角形，直角所对的边的长是10cm，其余两边分别是8cm和6cm。直角所对边上的高是( )cm。 【答案】4.8 【分析】根据：三角形的面积＝底×高÷2，先用8cm和6cm求出三角形的面积，再根据：高＝三角形的面积×2÷底，求10cm为底的高，解答此题即可。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 所以，直角所对边上的高是4.8cm。 【点睛】熟练掌握三角形的面积公式，是解答此题的关键。 【考点03】三角形面积的实际应用 【典型例题】 一面直角三角形小红旗，它的两条直角边的长度都是14cm，做100面这样的小红旗，要用多少平方米的纸？ 【答案】0.98平方米 【分析】直角三角形的面积＝底×高÷2。这面小红旗的两条直角边长度都是14厘米，所以一面小红旗的面积为14×14÷2＝98平方厘米。要做100面这样的小红旗，总面积就是一面小红旗面积乘100，据此解答。 【详解】一面小红旗的面积：14×14÷2＝98（平方厘米）； 100面小红旗的总面积：98×100＝9800（平方厘米）； 因为1平方米＝10000平方厘米，所以9800平方厘米＝0.98平方米； 答：做100面这样的小红旗，要用0.98平方米的纸。 【对应练习】 1. 图中的平行四边形被分成两个三角形，它们的面积都是270m2，求平行四边形的周长。 【答案】108米 【分析】根据三角形的面积计算出三角形的底，两个三角形底的长度是平行四边形两条邻边的长度，平行四边形的周长＝两条邻边的长度之和×2，据此解答。 【详解】270×2÷22.5 ＝540÷22.5 ＝24（米） 270×2÷18 ＝540÷18 ＝30（米） 周长：（24＋30）×2 ＝54×2 ＝108（米） 答：平行四边形的周长是108米。 【点睛】灵活运用三角形的面积计算公式求出平行四边形两条邻边的长度是解答题目的关键。 2. 实施垃圾分类，关系广大人民群众的生活环境，是社会文明水平的一个重要体现。下图是可再生资源回收亭的一面墙，工人师傅要粉刷这面墙。如果每平方米要用3千克水泥，至少要准备多少千克水泥？ 【答案】69千克 【分析】这面墙的上部是一个底是50分米，高是12分米的三角形，下部是一个长是50分米，宽是40分米的长方形。根据三角形的面积＝底×高÷2，用50×12÷2可求出三角形的面积是300平方分米；根据长方形的面积＝长×宽，用50×40可求出长方形的面积是2000平方分米；再用三角形的面积加上长方形的面积求出这面墙的总面积是2300平方分米；2300平方分米＝23平方米，最后用每平方米用的水泥的千克数（3千克）乘这面墙的总面积（23平方米）可求出至少要准备的水泥的千克数。 【详解】50×12÷2＋50×40 ＝600÷2＋2000 ＝300＋2000 ＝2300（平方分米） 2300平方分米＝23平方米 23×3＝69（千克） 答：至少要准备69千克水泥。 【考点04】等底等高的三角形和平行四边形问题 【典型例题】 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，用10×4即可求出和三角形等底等高的平行四边形的面积。 【详解】10×4＝40（平方厘米） 一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是40平方厘米。 【点睛】本题考查了三角形和平行四边形的面积公式的灵活应用。 【对应练习】 1. 一个三角形和平行四边形面积相等，底边相等，如果三角形的高是5厘米，那么平行四边形的高是( )厘米；如果平行四边形的高是5厘米，那么三角形的高是( )厘米。 【答案】2.5、10 【详解】试题分析：根据平行四边形的面积公式S=ah及三角形的面积公式S=ah÷2，推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列式解答即可。 解：平行四边形的面积是：S=ah1 三角形的面积是：S=ah2÷2 所以ah1=ah2÷2 h1=h2÷2 平行四边形的高是：5÷2=2.5（厘米） 三角形的高是：5×2=10（厘米） 答：平行四边形的高是2.5厘米，三角形的高是10厘米。 故答案为2.5、10 点评：本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 2. 下图中平行四边形底边上的中点是P，它的面积是60cm2，则涂色的三角形面积是( )cm2。 解析： 60÷4＝15（平方厘米） 3. 如图是笑笑在两条平行线间画的三个图形，下列说法正确的是( )。 A．长方形的面积最大 B．平行四边形的面积最大 C．三角形的面积最大 D．三个图形的面积一样大 【答案】D 【分析】平行线间的距离处处相等，假设高都是4cm，根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，分别计算出三个图形的面积，即可得出结论。 【详解】假设高都是4cm。 长方形：3×4＝12（cm2） 平行四边形：3×4＝12（cm2） 三角形：6×4÷2＝12（cm2） 三个图形的面积一样大。 故答案为：D 【考点05】三角形底和高的变化问题 【典型例题】 一个三角形的底长是5m，如果底边延长1m，那么面积就增加2m²，请你求出原来三角形的面积是( )平方米。 解析： 原三角形的高∶2×2÷1=4（米） 原三角形的面积∶5×4÷2=10（平方米） 【对应练习】 一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大( )倍。 【答案】8 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高÷2，如果高扩大10倍，底也扩大10倍，根据积的变化规律，可知面积扩大10×10=100倍；据此进行选择。 解：一个三角形的底扩大2倍，高扩大4倍，面积扩大2×4=8倍； 故答案为8． 点评：此题考查积的变化规律的灵活运用：一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）两个因数扩大（或缩小）倍数的乘积倍。 【预测命题方向三】梯形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 转化思想推导原理。 梯形面积的推导方法有很多种，一般来说，主要通过割补拼接的方式转化为长方形、平行四边形或三角形，再根据长方形、平行四边形或三角形的面积公式作进一步推导。 2. 梯形的面积计算公式。 梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2，用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 3. 已知梯形的上底、下底、高和面积中的任意三个量，求另一个量，可以利用梯形的面积计算公式推导出求另一个量的公式，将相关数据代入求解；也可以设所求量为x，利用梯形的面积计算公式列方程求解。 4. 梯形中的最大图形问题 （1）在梯形中，截一个最大的三角形，它的底相当于梯形的下底，高相当于梯形的高。 （2）在梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底，高等于梯形的高。 （3）在梯形中，截一个最大的正方形，它的边长等于它的高。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】梯形面积的推导 【典型例题】 下面是同学们写出的四种探究梯形面积的计算方法，正确的有( )。（可填写多个答案） 【答案】①②③④ 【分析】根据梯形面积公式的推导过程可知，①把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；②把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式；③把一个梯形沿高的一半剪两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；④把一个梯形沿着两腰中点做垂线分割出来的两个三角形，通过旋转拼成一个长方形，根据长方形的面积公式推导出梯形的面积公式；据此解答。 【详解】 两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，梯形的上底＋下底＝平行四边形的底，梯形的高＝平行四边形的高，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝平行四边形的面积÷2，即S＝（a＋b）h÷2，所以①正确。 梯形分割为两个三角形，这个两个三角形的高相等，梯形的面积＝两个三角形之和，即S＝，所以②正确。 梯形分割拼成一个平行四边形，梯形的上底＋下底＝平行四边形的底，梯形的高÷2＝平行四边形的高，梯形的面积＝平行四边形的面积，平行四边形的面积＝底×高，即S＝，所以③正确。 梯形分割拼成长方形，梯形的（上底＋下底）÷2＝长方形的长，梯形的高＝长方形的宽，梯形的面积＝长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，即S＝，所以④正确。 综上可知正确的有：①②③④。 【对应练习】 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。把一个梯形沿着两腰中点的连线剪开，旋转后拼成了一个( )，原图中梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】 平行四边形 25 【分析】从图中可知，把一个梯形沿着两腰中点的连线剪开，旋转后拼成了一个平行四边形，那么平行四边形的面积与梯形的面积相等。平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形高的一半，根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积，也就是原梯形的面积。 【详解】把一个梯形沿着两腰中点的连线剪开，旋转后拼成了一个平行四边形。 平行四边形的高：5÷2＝2.5（厘米） （6＋4）×2.5 ＝10×2.5 ＝25（平方厘米） 原图中梯形的面积是25平方厘米。 【考点02】梯形面积计算公式的基本应用 【典型例题】 一个梯形，上底10厘米，下底6厘米，高是5厘米。这个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】依据梯形的面积S＝（a＋b）×h÷2，进行计算即可得到答案。 【详解】（10＋6）×5÷2 ＝16×5÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 这个梯形的面积是40平方厘米。 【点睛】此题主要考查的是梯形面积公式的应用。 【对应练习】 梯形的面积是54平方厘米，上底是12厘米，下底是6厘米，高是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以梯形的高＝梯形的面积×2÷（上底＋下底），已知梯形的面积是54平方厘米，上底是12厘米，下底是6厘米，把数据代入即可求出梯形的高。 【详解】54×2÷（12＋6） ＝108÷18 ＝6（厘米） 即高是6厘米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用梯形的面积公式求解。 【考点03】梯形面积的实际应用 【典型例题】 一个梯形果园，上底是27米，比下底短6米，高是18米。在这个果园种上梨树，如果每棵梨树的占地面积是4平方米，最多可栽梨树多少棵？ 【答案】135棵 【分析】由题意可知，一个梯形果园，上底是27米，比下底短6米，则下底是（27＋6）米，然后根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，据此求出果园的面积，再用果园的面积除以每棵梨树的占地面积即可求解。 【详解】 ＝60×18÷2÷4 ＝1080÷2÷4 ＝540÷4 ＝135（棵） 答：最多可栽梨树135棵。 【点睛】本题考查梯形的面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习】 1. 将一批电线杆堆放起来，使横截面成梯形，最下层有26根，最上层有15根，每相邻两层之间相差1根，一共堆放了12层。这批电线杆一共有多少根？ 解析： （15＋26）×12÷2 ＝41×12÷2 ＝492÷2 ＝246（根） 答：这批电线杆一共有246根。 2. 如图，李爷爷靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，篱笆总长38米，这块梯形菜地的面积是多少平方米？ 解析： （38－10）×10÷2 ＝28×5 ＝140（平方米） 3. 有一条水渠从一块梯形的田中穿过（如图），这块田的实际耕地面积是多少平方米？ 解析： （40＋70）×40÷2－40×6 ＝110×40÷2－40×6 ＝2200－240 ＝1960（平方米） 答：这块田的实际耕地面积是1960平方米。 【考点04】梯形中的最大图形问题 【典型例题】 一张梯形彩纸面积是64平方厘米，上底7厘米，下底9厘米，它的高( )厘米，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 解析： 64×2÷（7＋9） ＝128÷16 ＝8（厘米） 8×9÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米） 【对应练习】 1. 在一个上底为10厘米，下底为15厘米，高为8厘米的梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米，剩余面积是( )平方厘米。 解析： （10＋15）×8÷2 ＝25×8÷2 ＝100（平方厘米） 平行四边形的面积：10×8＝80（平方厘米） 100－80＝20（平方厘米） 2. 如图所示，梯形的面积是( )，在这个梯形内画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积是( )。 解析： （2＋5）÷2÷2 ＝7×1 ＝7（平方厘米） 2×2＝4（平方厘米） 【考点05】梯形中底的变化问题 【典型例题】 一个梯形，上底、下底和高都扩大2倍，面积扩大( )倍。 解析：4 【对应练习】 一个直角梯形的上底长7厘米，如果把它的下底减少3厘米，它就变成一个正方形，这个梯形的面积是( )。 解析： 7＋3＝10（厘米） （7＋10）×7÷2 ＝17×7÷2 ＝59.5（平方厘米） 【预测命题方向四】组合图形的面积 命题趋势 1. 结合生活实际或多种图形联动考察，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 3. 综合运用探究能力和动手操作能力，体现在图形观察和材料探究等新趋势题型中。 方法点拨 1. 组合图形面积的计算方法。 运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2. 在格点图中估算面积。（数方格法） 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 3 在格点图中计算面积。（转化法） 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多边形，再根据面积公式进行计算。 考察形式 计算、应用 动态评价 【考点01】格点图中的不规则图形面积 【典型例题】 黄老师在一张方格纸上画了一个“象头”的简笔画，请你估一估，图中“象头”所占的面积大约是( )平方厘米。（图中每个小方格的面积是1平方厘米） A．16 B．28 C．40 D．64 【答案】B 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【详解】17个满格，22个不足格 17＋22÷2 ＝17＋11 ＝28（个） 28×1＝28（平方厘米） 黄老师在一张方格纸上画了一个“象头”的简笔画，请你估一估，图中“象头”所占的面积大约是28平方厘米。 故答案为：B 【对应练习】 1．如图，每个小方格的面积表示1cm2，右侧不规则图形的面积约是( )cm2。 A．24 B．48 C．72 【答案】B 【分析】根据题意，“每个小方格的面积表示1cm2”，1×1＝1cm²，所以每个小方格的边长是1cm，将不规则图形看成近似的长方形，则长是8cm（近似于8格的宽度），宽是6cm（近似于6格的宽度），根据长方形面积公式计算即可。 【详解】8×6＝48（cm2） 所以右侧不规则图形的面积约是48cm2。 故答案为：B 2．比较下图方格纸中的两个涂色图形的面积，①号涂色图形的面积( )②号涂色图形的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【答案】C 【分析】设小正方形的边长是1，①号涂色图形的面积等于长是3，宽是2的长方形面积－底是1，高是2的三角形面积－底是1，高是1的三角形面积－底是3，高是1的三角形面积；②号涂色图形的面积＝底是3，高是2的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，由此计算出阴影部分的面积，再进行比较，即可解答。 【详解】设小正方形的边长是1。 ①号涂色的面积： 3×2－3×1÷2－1×2÷2－1×1÷2 ＝6－3÷2－2÷2－1÷2 ＝6－1.5－1－0.5 ＝4.5－1－0.5 ＝3.5－0.5 ＝3 ②号涂色的面积： 3×2÷2 ＝6÷2 ＝3 3＝3，图①的面积＝图②的面积。 比较下图方格纸中的两个涂色图形的面积，①号涂色图形的面积等于②号涂色图形的面积。 故答案为：C 【考点02】求组合图形的面积 【典型例题】 1．求下面组合图形的面积。 【答案】1855cm2 【分析】由图可知：组合图形由左侧的长方形和右侧的三角形拼接而成。长方形的长为50cm，宽为20cm，根据长方形面积＝长×宽，代入数值，求出长方形的面积。三角形的底为45cm，高为38cm，根据三角形面积＝底×高÷2，代入数值，求出三角形的面积。再将两个面积相加，求出组合图形的总面积。 【详解】50×20＝1000（cm2） 45×38÷2 ＝1710÷2 ＝855（cm2） 1000＋855＝1855（cm2） 所以组合图形的面积是1855cm2。 2．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】2990平方厘米 【分析】由图可知，长方形长75厘米、宽50厘米，根据“长方形面积＝长×宽”求出长方形的面积；空白部分梯形的上底是21厘米、下底是55厘米、高是20厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出梯形的面积；最后用长方形的面积减去梯形的面积即可求出阴影部分的面积。据此解答。 【详解】75×50＝3750（平方厘米） （21＋55）×20÷2 ＝76×20÷2 ＝1520÷2 ＝760（平方厘米） 3750－760＝2990（平方厘米） 所以阴影部分的面积是2990平方厘米。 【对应练习】 1．计算下面图形的面积。 【答案】1940dm2 【分析】该图形是由一个梯形、一个长方形和一个三角形组成的，梯形的上底是20dm、下底是40dm、高是20dm，长方形的长是60dm、宽是20dm，三角形的底是20dm、高是14dm，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可解答。 【详解】（20＋40）×20÷2＋60×20＋20×14÷2 ＝60×20÷2＋1200＋280÷2 ＝1200÷2＋1200＋140 ＝600＋1200＋140 ＝1800＋140 ＝1940（dm2） 图形的面积是1940dm2。 2．计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】88平方厘米；14平方厘米 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长。 根据题意分析，左边图形阴影部分是一个梯形，梯形的上底是14厘米，下底＝14－6＝8（厘米），高是8厘米，代入面积公式即可解答； 右边图形阴影部分面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积。 【详解】（14－6＋14）×8÷2 ＝（8＋14）×8÷2 ＝22×8÷2 ＝176÷2 ＝88（平方厘米） 6×6＋4×4 ＝36＋16 ＝52（平方厘米） 6×6÷2＋（6＋4）×4÷2 ＝6×6÷2＋10×4÷2 ＝36÷2＋40÷2 ＝18＋20 ＝38（平方厘米） 52－38＝14（平方厘米） 阴影部分的面积分别为88平方厘米、14平方厘米。 【考点03】组合图形面积的实际应用 【典型例题】 某单位计划在下面这块空地上种植草坪，每平方米草坪按6元计算，该单位筹集8万元资金够不够？请计算说明。 【答案】 够；计算见详解 【分析】由图可知，该空地可以分成三部分，中间是长120米、宽80米的长方形，根据“长方形面积＝长×宽”求出长方形的面积；两边是两个相同的三角形，底是80米、高是40米，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出1个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积和，再与长方形面积相加，即可求出种植草坪的总面积。 每平方米草坪按6元计算，用每平方米草坪的价格乘总面积即可求出总费用，再与筹集的8万元总资金作比较。据此解答。 【详解】80×40÷2×2 ＝3200÷2×2 ＝1600×2 ＝3200（平方米） 120×80＝9600（平方米） 3200＋9600＝12800（平方米） 6×12800＝76800（元） 8万元＝80000元 76800＜80000 答：该单位筹集8万元资金够。 【对应练习】 1．有一条宽2米的长方形小路穿过一块梯形田地，如图所示，这块田地的实际种植面积是多少平方米？ 【答案】858平方米 【分析】梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，长方形面积公式：长×宽。根据图形可知，种植面积是一个上底是36米、下底是46米、高是22米的梯形面积减去长是22米、宽是2米的长方形面积，即种植面积＝，代入数据，即可解答。 【详解】梯形的面积： （平方米） 长方形的面积：（平方米） 种植面积＝梯形的面积－长方形的面积 （平方米） 答：这块田地的实际种植面积是858平方米。 【点睛】本题的核心思路是：整体面积－扣除部分面积＝目标面积，需先明确整体图形和扣除图形的形状，再对应使用面积公式进行计算。 2．李阿姨准备买一套房。销售人员告诉她，这套房子的室内建筑面积是60平方米，李阿姨看房的时候感觉没有那么大面积，于是她找来了房屋平面图进行核对，如下图所示。请你帮李阿姨计算并核对一下，这套房子的室内面积到底是多大？ 【答案】50平方米 【分析】把组合图形分成一个长方形和一个梯形（见点睛）。根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别算出它们的面积，再相加。并和60平方米作比较。 【详解】12－4＝8（米） 5－3＝2（米） 12×3＋（6＋8）×2÷2 ＝12×3＋14×2÷2 ＝36＋14 ＝50（平方米） 50＜60 答：这套房子的室内面积是50平方米。 【点睛】如图，把组合图形分成一个长方形和梯形。 【预测命题方向五】数对与位置 命题趋势 1. 期末多结合图形考察，涉及方向和图形变化，以体现综合能力。 2. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【考点01】数对与教室中的位置 【典型例题】 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 【答案】 （2，3） （2，4） 【分析】用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。 【详解】小明的座位在第2列、第3行的交点处，用数对（2，3）表示。他后面一个同学与小明在同一列，即在第2列、第4行的交点处，所以他后面一个同学的座位用数对表示是（2，4）。 【点睛】用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，不能调换位置。 【对应练习】 王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【答案】（6，7） 【分析】用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，王老师右边相邻的老师与王老师在同一行，列数比王老师的列数多1，据此解答。 【详解】5＋1＝6 分析可知，坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为（6，7）。 【点睛】掌握用数对表示物体位置的方法是解答题目的关键。 【考点02】数对与多边形 【典型例题】 如图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用数对表示为（ ， ），三角形ABC是( )三角形。    【答案】 5 1 3 3 等腰 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示出点B和点C的位置；再根据三角形的分类标准进行判断即可。 【详解】由分析可知： A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（5，1），C点用数对表示为（3，3），三角形ABC是等腰三角形。 【点睛】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 【对应练习】 1. 一个四边形的四个顶点所在位置分别可以用（1，3）、（6，3）、（6，5）、（1，5）来表示，这个四边形一定是( )。 【答案】长方形 【分析】根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后，据此确定四个顶点的位置，再根据四边形的特征解答即可。 【详解】一个四边形的四个顶点所在位置分别可以用A（1，3）、B（6，3）、C（6，5）、D（1，5）来表示，因为A、B在同一行，C、D在同一行，A、D在同一列，B、C在同一列，所以这个四边形一定是长方形。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用，长方形的特征及应用。 2. 如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【答案】(1) （1，2） （2，5） (2)（5，5） 【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答； （2）将三角形ABC向右平移3格，平移后点C在第5列第5行，据此用数对表示平移后点C的位置。 【详解】（1）点A的位置用数对表示是（1，2），点C的位置用数对表示是（2，5）。 （2）把三角形ABC向右平移3格（下图红色部分），平移后点C的位置用数对表示是（5，5）。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置、作平移后的图形的作图方法是解题的关键。 【考点03】利用数对描述行进路线 【典型例题】 根据下图完成下面各题。 （1）图书馆用数对表示是( )，电影院用数对表示是( )。 （2）笑笑家的位置用数对表示是（5，3），请你在图中标出笑笑家的位置。 （3）周末，淘气想从书店到公园去，写出淘气的行走路线。 【答案】（1）（6，7）；（3，2） （2）图见详解过程 （3）淘气从书店向东北走390米到实验小学，然后从实验小学向东走480米到公园。 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对分别表示出图书馆、电影院的位置； （2）同理，根据用数对表示点的位置的方法，即可在图中标出笑笑家的位置； （3）先找出书店的位置，再根据方向标确定路线图的方向，再根据方向和距离描述路线即可。 【详解】（1）图书馆用数对表示是（6，7），电影院用数对表示是（3，2）。 （2）笑笑家的位置。如下图所示： （3）淘气从书店向东北走390米到实验小学，然后从实验小学向东走480米到公园。 【对应练习】 在象棋中，若马的位置在点A处，则称之为“卧槽马”。卧槽马在生活中常用来形容善于韬光养晦，静待时机的人。 （1）若“马”的位置为（5，4），“将”的位置为（4，0），则点A的位置用数对表示是（       ）。 （2）“马走日，象飞田”是下象棋的规则，马下一步的走法可以在其四周的八个点进行选择，故有“八面威风”之说。若图中马从现在的位置到达A点的位置，请用数对表示马所经过的点。 第一种方法：（5，4）→( )→A； 第二种方法：（5，4）→( )→A； 第三种方法：（5，4）→( )→( )→( )→A…… 【答案】（1）（6，1） （2）见详解 【分析】（1）数对的表示方法是（列数，行数）。已知“马”的位置为（5，4），“将”的位置为（4，0），观察图形，点A在第6列，第1行。 （2）“马走日”，即马的移动方式是从当前位置，横向移动2列、纵向移动1行，或者横向移动1列、纵向移动2行，据此分析“马”从（5，4）走到点A（6，1）所经过的点位。 【详解】（1）点A在第6列，第1行。 点A的位置用数对表示是（6，1）。 （2）“马走日”，马的位置是（5，4），点A的位置是（6，1）。 第一种方法：马从（5，4）到（4，2）再到点A（6，1）。 第二种方法：马从（5，4）到（7，3）再到点A（6，1）。 第三种方法：马从（5，4）到（3，3）再到（2，1）然后到（4，2）最后到点A（6，1）。 所以： 第一种方法：（5，4）→（4，2）→A； 第二种方法：（5，4）→（7，3）→A； 第三种方法：（5，4）→（3，3）→（2，1）→（4，2）→A……（答案不唯一） 【预测命题方向六】概率与可能性 命题趋势 1. 多结合生活常识，凸显实用性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 生活中有许多事件的发生是不确定的，但发生的可能性是有大小的。 2. 事件发生的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性越大；反之，可能性就越小。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【考点01】三种事件 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【答案】(1)一定 (2)一定 (3)不可能 【分析】对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述；无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 【详解】（1）月亮一定绕着地球转。 （2）今天星期三，明天一定星期四。 （3）姐的年龄不可能比妹妹小。 【点睛】本题考查事件的确定性和不确定性，应结合生活实际进行判断。 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( )摸到黄球。 【答案】(1)可能 (2)一定 (3) 可能 不可能 【分析】判断事件发生的可能性的几种情况：可能、不可能、一定，结合实际进行填空即可； （1）抛出的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下。 （2）太阳东升西落是自然规律。 （3）箱子里有两种颜色的球，任意摸一个，则这两种颜色的球都有可能摸到，不可能摸到其它颜色的球，依此解答。 【详解】（1）抛硬币时，可能是正面向上。 （2）太阳一定从东方升起。 （3）箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，可能摸到白球，不可能摸到黄球。 【点睛】此题考查的是可能性的大小，应对每种情况具体分析，从而得出结论。 【考点02】可能性的大小 【典型例题】 袋中有大小相同的10颗玻璃珠，其中有2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色珠子。王亮从中任意摸出1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出( )色珠子的可能性最大。 【答案】 红 白 【分析】当总数一定的时候，某种颜色的珠子的数量越多，则摸到的可能性越大，数量越少，则摸到的可能性越小，据此即可填空。 【详解】5＞3＞2 所以摸出红色珠子的可能性最小，摸出白色珠子的可能性最大。 【对应练习】 如图，盒子里有5个大小完全相同的球，从盒子里任意摸出一个球，有( )种结果，摸到( )球的可能性较小。如果往盒子里再放4个红球，那么任意摸出一个球，摸到( )球的可能性较大。 【答案】 2/两 红 红 【分析】盒子里有黄、红两种颜色的球，则从盒子里任意摸出一个球，有2种结果：可能是黄球，也可能是红球； 哪种颜色的球数量少，摸到的可能性就小，红球的数量比黄球少，则摸到红球的可能性较小； 如果往盒子里再放4个红球，红球的个数为6个，数量比黄球的个数多，那么任意摸出一个球，摸到红球的可能性较大。 【详解】通过分析可得：从盒子里任意摸出一个球，有2种结果； 2＜3，则摸到红球的可能性较小； 如果往盒子里再放4个红球，2＋4＝6（个），6＞3，那么任意摸出一个球，摸到红球的可能性较大。 【考点03】游戏设计的公平性问题 【典型例题】 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【答案】不公平；因为红色区域的面积比黑色区域的面积大，即小明获胜的可能性更大；改动见详解 【分析】由题意得，红色区域和黑色区域哪个区域的面积大，谁获胜的可能性就大。由图可知，红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就更大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，那么红色区域的面积和黑色区域的面积得一样大。据此解答。 【详解】 答：这个游戏不公平，因为红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就比小东要大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，转盘的颜色分布应该如上图。（答案不唯一） 【对应练习】 选出点数为1，2，3，4的扑克牌各1张，打乱后反扣在桌面上，小明和小华一起做下面的游戏。 （1）每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸； （2）两张牌的点数和大于5，小明得1分；小于5，小华得1分。 这个游戏规则公平吗？ 【答案】这个游戏规则公平。 【分析】根据可能性的大小判断是否公平。分析两张牌的点数和大于5以及小于5的可能性是否相同。 【详解】两张牌的点数和有5种结果，1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，2＋3＝5，2＋4＝6，3＋4＝7，和大于5的情况有2种，和小于5的情况也有2种，可能性相同，所以公平。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $