期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程【5大方向25大考点】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【5大方向25大考点】 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题以数与代数为主，其中包括小数乘除法的基础计算、混合运算及简便运算，用字母表示数或式子，方程的意义，等式的性质以及解方程等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 5大方向25大考点 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 4 【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 5 【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 7 【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质·小数除法与商的变化规律和商不变性质 9 【考点05】小数乘除法与单位换算 11 【考点06】赋予小数乘除法竖式以实际意义 12 【考点07】小数乘除法算式的规律 14 【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 15 【考点09】解决等式中未知数的大小比较问题 16 【预测命题方向二】小数乘除法四则混合运算、简便计算、列式计算 【考点01】小数四则混合运算 18 【考点02】小数乘法简便计算 19 【考点03】小数除法简便计算 23 【考点04】错解问题 24 【考点05】综合·小数四则混合运算和简便计算 25 【考点06】综合·列式计算 28 【预测命题方向三】数的认识·循环小数 【考点01】小数的分类 31 【考点02】循环小数的大小比较 32 【考点03】循环小数与周期问题 33 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 【考点01】含字母式子的书写和化简 34 【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系 35 【考点03】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 37 【考点04】五种新型题型 38 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 【考点01】方程与等式 43 【考点02】等式的性质 44 【考点03】综合·解方程 46 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 命题趋势 1. 期末着重直接考察，比较基础，体现基本计算能力。 2. 有时也结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 小数乘除法基本计算法则（口算+笔算+估算）。 2. 积与因数的大小关系。 （1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （3）一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 3. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数。 （3）一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 4. 小数乘法与积的变化规律和积不变性质。 5. 小数除法与商的变化规律和商不变性质。 考察形式 填空、选择、判断、计算 动态评价 【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 【典型例题】 直接写出得数。 1.5×4＝               9÷4.5＝             13.8×0＝               2.15×9.7≈ 10÷0.04＝             2.5×9＝             6.7＋0.8＝              32.14÷3.95≈ 【答案】6；2；0；20.86 250；22.5；7.5；8.14 【解析】略 【对应练习】 1．直接写得数。 0.7×0.6＝        4×0.13＝          0.15÷0.03＝        0.25×4.78×4＝ 1.26÷3＝         110×0.01＝         0.5×80＝           4÷0.5÷2＝ 【答案】0.42；0.52；5；4.78； 0.42；1.1；40；4 【解析】略 2．直接写得数。 0.3×0.6＝            1.8÷0.03＝         2.5×40＝            0.72÷0.8＝ 1.25×0.8＝         4.5÷0.9＝            0.4×0.05＝        3÷0.125＝ 【答案】0.18；60；100；0.9； 1；5；0.02；24 【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 【典型例题】 用竖式计算。 5.68×3.2＝          5.04÷0.24＝          5.46÷65＝ 【答案】18.176；21；0.084 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果被除数比除数小，商的个位上写“0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 【详解】5.68×3.2＝18.176           5.04÷0.24＝21              5.46÷65＝0.084                            【对应练习】 1．列竖式计算。 6.25×5.6＝            3.996÷3.7＝             52÷24＝ 【答案】35；1.08； 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数字用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】6.25×5.6＝35          3.996÷3.7＝1.08            52÷24＝                 2．列竖式计算，带※的算式要验算。 0.68×2.3＝                                      ※7.52÷4.7＝         5.69×0.74≈（得数保留两位小数）                0.431÷0.18≈（得数保留一位小数） 【答案】1.564；1.6； 4.21；2.4 【分析】（1）先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。 （2）计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。验算用“商×除数＝被除数”。 （3）计算方法同（1），积保留两位小数时，要看小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值。 （4）计算方法同（2），商保留一位小数时，要除到小数点后面第二位，再根据四舍五入取近似值。据此解答。 【详解】0.68×2.3＝1.564                             7.52÷4.7＝1.6                               验算： 5.69×0.74≈4.21                             0.431÷0.18≈2.4                             【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 【典型例题】 在括号里填上“＞”或“＜”。 4.03×0.91( )4.03        1.26÷0.14( )1.26 0.17×5.1( )0.17         0.68÷3.4( )0.68 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积比这个数小； 一个数（0除外）乘大于1的数，积比这个数大； 一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商比这个数大； 一个数（0除外）除以大于1的数，商比这个数小；据此分析。 【详解】0.91＜1，所以4.03×0.91＜4.03； 0.14＜1，所以1.26÷0.14＞1.26； 5.1＞1，所以0.17×5.1＞0.17； 3.4＞1，所以0.68÷3.4＜0.68。 【对应练习】 1．在横线上填“＞”“＜”或“＝”。 8.6×0.9( )8.6           3.2÷1.03( )3.2 3.67×1.13( )3.67       9.6÷6( )9.6÷2×3 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＜ 【分析】8.6×0.9和8.6，根据“一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数”，0.9小于1，据此比较大小； 3.2÷1.03和3.2，根据“一个数（0除外）除以大于1的数，商小于原数”，1.03大于1，据此比较大小； 3.67×1.13和3.67，根据“一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数”，1.13大于1，据此比较大小； 9.6÷6和9.6÷2×3，先分别计算两边结果，再比较大小。 【详解】0.9＜1，8.6×0.9＜8.6； 1.03＞1，3.2÷1.03＜3.2； 1.13＞1，3.67×1.13＞3.67； 9.6÷6＝1.6，9.6÷2×3＝4.8×3＝14.4，所以9.6÷6＜9.6÷2×3 综上所述可得 8.6×0.9＜8.6          3.2÷1.03＜3.2 3.67×1.13＞3.67       9.6÷6＜9.6÷2×3 2．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.4×0.99( )5.4       1.21÷1.1( )1.21 0.8×2( )0.82          7.08×10( )7.08÷0.1 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，结果会小于原数； （2）一个数（0除外）除以一个大于1的数，结果会小于原数； （3）计算左边的算式，结果和0.82比较； （4）计算左右两边，结果相比较得出结论。 【详解】（1）因为0.99＜1，所以5.4×0.99＜5.4； （2）因为1.1＞1，所以1.21÷1.1＜1.21； （3）0.8×2＝1.6，因为1.6＞0.82，所以0.8×2＞0.82； （4）7.08×10＝70.8，7.08÷0.1＝70.8，因为70.8＝70.8，所以7.08×10＝7.08÷0.1。 【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质·小数除法与商的变化规律和商不变性质 【典型例题】 根据4032÷24＝168写出下面各题的得数。 40.32÷24＝( )    403.2÷0.24＝( )       403.2÷2.4＝( ) 【答案】 1.68 1680 168 【分析】商的变化规律：被除数乘几或除以几（0除外），商也跟着乘几或除以几；除数乘几或除以几（0除外），商反而要除以几或乘几，据此分析。 【详解】被除数：4032÷100＝40.32，商：168÷100＝1.68，所以40.32÷24＝1.68； 被除数：4032÷10＝403.2，除数24÷100＝0.24，商：168÷10×100＝16.8×100＝1680，所以403.2÷0.24＝1680； 被除数：4032÷10＝403.2，除数：24÷10＝2.4，商：168÷10×10＝16.8×10＝168 综上：40.32÷24＝1.68    403.2÷0.24＝1680      403.2÷2.4＝168 【对应练习】 1．已知45×32＝1440，那么：4.5×0.32＝( )    0.45×( )＝14.4    1.44÷( )＝0.45 【答案】 1.44 32 3.2 【分析】乘法算式中，一个乘数除以a，另一个乘数除以b（a、b均不为0），则积先除以a再除以b；一个乘数45变为4.5相当于除以10，另一个乘数32变为0.32，相当于除以100，所以积先除以10，再除以100； 由45×32＝1440得1440÷45＝32，除法算式中，被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外），商不变；被除数1440变为14.4相当于除以100，除数45变为0.45相当于除以100，所以商不变； 由45×32＝1440得1440÷45＝32，除法算式中，被除数除以a，除数除以b（a、b均不为0），则商先除以a再乘b；被除数1440变为1.44相当于除以1000，除数45变为0.45相当于除以100，所以商先除以1000，再乘100。 【详解】1440÷10÷100 ＝144÷100 ＝1.44 所以4.5×0.32＝1.44；　　　　　　        由45×32＝1440得1440÷45＝32，将被除数和除数同时除以100得14.4÷0.45＝32，因此0.45×32＝14.4；        由45×32＝1440得1440÷45＝32， 32÷1000×100 ＝0.032×100 ＝3.2 所以1.44÷0.45＝3.2，即1.44÷3.2＝0.45。 综上，4.5×0.32＝1.44，0.45×32＝14.4，1.44÷3.2＝0.45。 2．根据36×52＝1872直接写出下列算式的结果。 520×0.036＝( ) 　        　1.872÷52＝( ) 　        　18720÷3.6＝( ) 【答案】 18.72 0.036 5200 【分析】（1）积的变化规律：在小数乘法中，如果一个乘数不变，另一个乘数的小数点向左或（右）移动几位，则积的小数点也要向相同的方向移动相同的位数；如果两个乘数的小数点都移动，则积先根据第一个乘数的小数点向相同的方向移动相同的位数，再根据第二个乘数的小数点向相同的方向移动相同的位数； （2）商的变化规律：在小数除法中，除数不变，被除数的小数点怎么变化，则商的小数点也要向相同的方向移动相同的位数；被除数不变，除数的小数点移动，则商的小数点要向相反的方向移动相同的位数；如果被除数和除数都变化，则商先根据被除数变化，再根据除数变化，据此解答。 【详解】520×0.036是先把36×52＝1872的一个乘数的小数点向左移动三位，再把另一个乘数的小数点向右移动一位，所以积的小数点先向左移动三位，再向右移动一位，所以520×0.036＝18.72； 根据36×52＝1872可知1872÷52＝36，1.872÷52是把算式1872÷52＝36的被除数的小数点向左移动三位，除数不变，所以商的小数点也要向左移动三位，所以1.872÷52＝0.036； 根据36×52＝1872可知1872÷36＝52，18720÷3.6是把算式1872÷36＝52的被除数的小数点向右移动一位，再把除数的小数点向左移动一位，所以商的小数点要先向右移动一位，再向右移动一位，所以18720÷3.6＝5200。 520×0.036＝18.72；1.872÷52＝0.036；18720÷3.6＝5200。 【考点05】小数乘除法与单位换算 【典型例题】 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷     0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克     36分＝( )时 【答案】 0.8 56 2.05 0.6 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1公顷＝10000平方米，用8000÷10000即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1米＝100厘米，用0.56×100即可；根据1千克＝1000克，用2050÷1000即可；根据1时＝60分，用36÷60即可。 【详解】8000平方米＝8000÷10000公顷＝0.8公顷 0.56米＝0.56×100厘米＝56厘米 2050克＝2050÷1000千克＝2.05千克 36分＝36÷60时＝0.6时 【对应练习】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分      3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2      1.06t＝( )t( )kg 【答案】 90 3.05 21000 1 60 【分析】根据1时＝60分，1km＝1000m，1公顷＝10000m2，1t＝1000kg，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】1.5×60＝90，即1.5时＝90分 3050÷1000＝3.05，即3050m＝3.05km 2.1×10000＝21000，即2.1公顷＝21000m2 1.06＝1＋0.06，0.06×1000＝60，即1.06t＝1t60kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时        ( )千克＝80克        6公顷＝( )平方米 【答案】 0.6 0.08 60000 【分析】1时＝60分，1千克＝1000克；1公顷＝10000平方米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】36分＝36÷60＝0.6时 80克＝80÷1000＝0.08千克 0.08千克＝80克 6公顷＝6×10000＝60000平方米 【考点06】赋予小数乘除法竖式以实际意义 【典型例题】 下边的竖式中，箭头所指的数分别表示( )。 A．48个1，48个0.1 B．48个10，48个1 C．48个10，48个0.1 D．48个1，48个0.01 【答案】A 【分析】第一个箭头指向的“48”：这个“48”对应被除数的个位和十位，是24×2＝48，这里的2在个位上，表示2个1，所以48表示48个1。 第二个箭头指向的“48”：这个“48”对应被除数的十分位，是24×0.2＝4.8，这里的0.2表示2个0.1，所以48实际是4.8，表示48个0.1。 【详解】根据分析：箭头所指的数分别表示48个1，48个0.1。 故答案为：A 【对应练习】 1．货车平均以78千米/时的速度在高速公路上行驶了1.5小时，下面竖式中的390表示( )。 A．5分钟行驶了390千米 B．1.5小时行驶了390千米 C．0.5小时行驶了39千米 D．5分钟行驶了78千米 【答案】C 【分析】观察可知，1.5中的5位于十分位表示5个0.1，即0.5小时，竖式中“78×0.5”表示的是390个0.1，即39个1，由“路程＝速度×时间”可知，“78×0.5”计算的是货车0.5小时行驶的路程，据此解答。 【详解】分析可知，货车平均以78千米/时的速度在高速公路上行驶了1.5小时，78×0.5＝39（千米），竖式中的390表示这辆货车0.5小时行驶了39千米。 故答案为：C 2．做一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么4.5千克面粉最多可以做几个这样的蛋糕？如图是小亮的竖式计算过程。从中可以得出( )。 A．最多可以做14个蛋糕。 B．最多可以做15个蛋糕。 C．方框中“2”表示0.02个蛋糕。 D．方框中“2”表示0.2千克面粉。 【答案】A 【分析】观察题中所给的竖式计算，可知：4.5千克面粉最多可以做14个蛋糕，剩余的面粉不够做一个蛋糕，需舍去；方框中余数“2”对应被除数4.5百分位的位置，4.5是面粉重量，单位是千克，所以表示还剩0.02千克面粉。据此判断每个选项。 【详解】根据分析可知： A．最多可以做14个蛋糕。原说法正确； B．最多可以做15个蛋糕，实际最多只能做14个蛋糕，原说法错误； C．方框中“2”表示0.02个蛋糕，实际方框中“2”表示0.02千克面粉。原说法错误； D．方框中“2”表示0.2千克面粉，实际方框中“2”表示0.02千克面粉。原说法错误。 做一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么4.5千克面粉最多可以做几个这样的蛋糕？从小亮的竖式计算过程中可以得出：最多可以做14个蛋糕。 故答案为：A 【考点07】小数乘除法算式的规律 【典型例题】 找规律填空。          ( ) 。 【答案】11111.88888 【分析】观察算式发现：第一个因数有几个3，得数中就有几个1和几个8，小数点是1和8的分界线，据此填空即可。 【详解】因为3.3333中有五个3， 所以3.3333×3333.6＝11111.88888。 【点睛】本题考查算式的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 【对应练习】 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【答案】 0.4545… 0.7272… 【分析】观察算式可知，除数都是11，被除数依次是1、2、3……，商依次是0.0909…、0.1818…、0.2727…，商的小数部分是两个数字的循环，两位数字之和是9，且小数的第一位数字比除数小1；据此规律往下写出得数。 【详解】1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝0.4545… 8÷11＝0.7272… 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 【典型例题】 已知，那么x×y＝( )，x÷y＝( )。 【答案】 0.15625 【分析】（1）计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉； （2）计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算；据此计算。 【详解】（1）125×8＝1000 ，是一个2024位小数；，是一个2022位小数；2024＋2022＝4046 从1000的右边数出4046位小数点上小数点是 （2）先把的小数点向右移动2022位化为8，的小数点同时向右移动2022位化为1.25， 1.25÷8＝0.15625 【点睛】掌握小数乘除法的计算方法是解答题目的关键。 【对应练习】 【答案】 【分析】从小数乘法计算来考虑，把小数当成整数来乘，最后添上小数点。就可以先算325×36＝11700，因为325前面有25个0，说明有28位小数，36前面有30个0则是32位小数，加起来共60位小数。在积11700上点60位，去除11700的5位，那么它的前面还有55个0. 【详解】由分析可得：＝ 【点睛】此题考查小数乘法，掌握小数乘法的计算方法是解题关键。注意一定要数清楚小数的位数。 【考点09】解决等式中未知数的大小比较问题 【典型例题】 如果甲、乙、丙三个数均为非零自然数，且甲×0.99＝乙÷1＝丙×1.01，甲、乙、丙三个数相比较，最大的是( )。 【答案】甲 【分析】此题可以假定三个算式的结果都为1，根据小数乘、除法的意义及计算方法计算出甲、乙、丙三个数的大小，注意除不尽时保留三位小数，最后再进行比较。 【详解】设三个算式的结果都等于1， 甲×0.99＝1，则甲＝1÷0.99≈1.01 乙÷1＝1，则乙＝1×1＝1 丙×1.01＝1，则丙＝1÷1.01≈0.99 因为0.99＜1＜1.01，所以甲＞乙＞丙，最大的是甲。 【对应练习】 已知a＋0.5＝b－0.5＝c×0.5＝d÷0.5（a、b、c、d 都不为0），a、b、c、d中( )最大。 【答案】c 【分析】令a＋0.5＝b－0.5＝c×0.5＝d÷0.5＝1，然后根据小数加、减、乘、除各部分之间的关系，分别求出a、b、c、d的值，再进行对比即可。 【详解】令a＋0.5＝b－0.5＝c×0.5＝d÷0.5＝1 则a＝1－0.5＝0.5，b＝1＋0.5＝1.5，c＝1÷0.5＝2，d＝1×0.5＝0.5 因为2＞1.5＞0.5，所以c＞b＞a＝d，则a、b、c、d中c最大。 【预测命题方向二】小数乘除法四则混合运算、简便计算、列式计算 命题趋势 1. 期末着重直接考察，体现综合计算能力。 2. 多结合生活实际，凸显实用性和开放性。 方法点拨 1. 小数四则混合运算。 小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 整数乘法乘法运算律推广到小数乘法。 （1）乘法交换律：a×b=b×a （2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c （4）除法运算性质。 a×b÷c=a÷c×b； a÷b÷c=a÷(b×c)； a÷(b÷c)=a÷b×c； （5）除法左分配律。 (a＋b)÷c=a÷c＋b÷c； (a－b)÷c=a÷c－b÷c。 考察形式 计算 动态评价 【考点01】小数四则混合运算 【典型例题】 脱式计算。 5.4×[（1.3＋2.6）÷0.3] 解析： 5.4×[（1.3＋2.6）÷0.3] ＝5.4×[3.9÷0.3] ＝5.4×13 ＝70.2 【对应练习】 脱式计算。 （2.25＋10.5÷1.5）×1.6          4.05÷[4.5×（0.55－0.25）] 【答案】14.8；3 【分析】（1）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的小数除法，再计算括号里面的小数加法，最后计算括号外面的小数乘法； （2）按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的小数减法，再计算中括号里面的小数乘法，最后计算括号外面的小数除法。 【详解】（1）（2.25＋10.5÷1.5）×1.6 ＝（2.25＋7）×1.6 ＝9.25×1.6 ＝14.8 （2）4.05÷[4.5×（0.55－0.25）] ＝4.05÷[4.5×0.3] ＝4.05÷1.35 ＝3 【考点02】小数乘法简便计算 【典型例题1】乘法交换律 简便计算。 0.25×3.7×0.4 解析： =0.25×0.4×3.7 =0.1×3.7 =0.37 【对应练习】 简便计算。 2.5×5.6×0.4 解析： =2.5×0.4×5.6 =1×5.6 =5.6 【典型例题2】乘法结合律 简便计算。 7.92.50.4 解析： 7.9×2.5×0.4 ＝7.9×（2.5×0.4） ＝7.9×1 ＝7.9 【对应练习】 1. 简便计算。 2.33×0.25×4 解析： 2.33×0.25×4 ＝2.33×（0.25×4） ＝2.33×1 ＝2.33 2. 简便计算。 2.4×1.25 解析： 2.4×1.25 ＝（0.3×8）×1.25 ＝0.3×（8×1.25） ＝0.3×10 ＝3 【典型例题3】乘法分配律 简便计算。 0.4×（2.5＋25） 解析： 0.4×（2.5＋25） ＝0.4×2.5＋0.4×25 ＝1＋10 ＝11 【对应练习】 1. 简便计算。 12.5×（8.8＋0.8） 解析： 12.5×（8.8＋0.8） ＝12.5×8.8＋12.5×0.8 ＝12.5×（8＋0.8）＋10 ＝12.5×8＋12.5×0.8＋10 ＝100＋10＋10 ＝120 2. 简便计算。 3.9×3.5＋3.5×6.1 解析： 3.9×3.5＋3.5×6.1 ＝3.5×（3.9＋6.1） ＝3.5×10 3. 简便计算。 4.27×101－4.27 解析： 4. 简便计算。 14.5×102 解析： 14.5×102 ＝14.5×（100＋2） ＝14.5×100＋14.5×2 ＝1450＋29 ＝1479 【典型例题4】运用积不变规律和乘法分配律进行简算 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝715 【对应练习】 简便计算。 3.5×2.7＋35×0.73 解析： 3.5×2.7＋35×0.73 ＝35×0.27＋35×0.73 ＝35×（0.27＋0.73） ＝35×1 ＝35 【考点03】小数除法简便计算 【典型例题】 简便计算。 52.34÷2.5÷4              7.35÷（7.35×0.25） 解析： 52.34÷2.5÷4 ＝52.34÷（2.5×4） ＝52.34÷10 ＝5.234 7.35÷（7.35×0.25） ＝7.35÷7.35÷0.25 ＝1÷0.25 ＝4 【对应练习】 1. 简便计算。 7.45÷0.25÷0.8　　　　　　　　 解析： 7.45÷0.25÷0.8　　   ＝7.45÷（0.25×0.8） ＝7.45÷0.2 ＝37.25 2. 简便计算。 1.84÷0.23＋2.76÷0.23 解析： 1.84÷0.23＋2.76÷0.23 ＝（1.84＋2.76）÷0.23 ＝4.6÷0.23 ＝20 【考点04】错解问题 【典型例题】 小马虎把1.6×（□＋0.5）错算成了1.6×□＋0.5，这样，算得的结果与正确的结果相差( )。 【答案】0.3 【分析】1.6×（□＋0.5）根据乘法分配律展开，再与1.6×□＋0.5作差，据此即可解答。 【详解】1.6×（□＋0.5）－（1.6×□＋0.5） ＝1.6×□＋1.6×0.5－1.6×□－0.5 ＝0.8－0.5 ＝0.3 即算得的结果与正确的结果相差0.3。 【对应练习】 李俊明把50×（△＋2.5）错算成50×△＋2.5，得到的结果与正确结果相差( )。 【答案】122.5 【分析】先根据乘法分配律的特点将50×（△＋2.5）的括号去掉，然后再计算出这个算式与50△＋2.5的差即可，乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此计算并选择。 【详解】50×（△＋2.5）＝50×△＋50×2.5 50×2.5－2.5 ＝125－2.5 ＝122.5 得到的结果与正确结果相差122.5。 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点，是解答此题的关键。 【考点05】综合·小数四则混合运算和简便计算 【典型例题】 下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 【答案】4.4；3 6.52；5.6 【分析】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把2.2×0.8×2.5变成2.2×（0.8×2.5）进行简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，算式变成1.25×2.4，然后把2.4拆分成0.8×3，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成1.25×0.8×3进行简算； （3）先算乘法，再算加法； （4）先根据积不变的规律把56×0.026改写成5.6×0.26，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把5.6×1.26－5.6×0.26变成5.6×（1.26－0.26）进行简算。 【详解】（1）2.2×0.8×2.5 ＝2.2×（0.8×2.5） ＝2.2×2 ＝4.4 （2）1.25×[8.8－（10.7－4.3）] ＝1.25×[8.8－6.4] ＝1.25×2.4 ＝1.25×（0.8×3） ＝1.25×0.8×3 ＝1×3 ＝3 （3）0.48×3.5＋4.84 ＝1.68＋4.84 ＝6.52 （4）5.6×1.26－56×0.026 ＝5.6×1.26－5.6×0.26 ＝5.6×（1.26－0.26） ＝5.6×1 ＝5.6 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.5×0.39×0.8        2.1×1.2÷0.36         7.41×6.57＋7.41×3.43        1.32÷[（1.98－1.5）÷1.2] 【答案】3.9；7；74.1；3.3 【分析】根据乘法交换律交换0.39和0.8的位置，将算式转化成12.5×0.8×0.39，再根据同级运算计算法则，从左往右依次进行计算即可； 根据小数同级运算的计算法则，从左往右依次进行计算即可； 根据乘法分配律逆运算将算式转化成7.41×（6.57＋3.43），进而进行简便计算即可； 根据小数四则运算的计算法则，先乘除、后加减、有括号先算括号里面的，依次进行计算即可。 【详解】12.5×0.39×0.8 ＝12.5×0.8×0.39 ＝10×0.39 ＝3.9 2.1×1.2÷0.36 ＝2.52÷0.36 ＝7 7.41×6.57＋7.41×3.43 ＝7.41×（6.57＋3.43） ＝7.41×10 ＝74.1 1.32÷[（1.98－1.5）÷1.2] ＝1.32÷[0.48÷1.2] ＝1.32÷0.4 ＝3.3 2．递等式计算，能简便的要用简便方法计算。 4.2÷0.6×1.8           （1.65＋0.95）×（15.2－5.2）        50÷1.25÷8 12.5×0.4×2.5×8          3.6×10.1               1.52×3.8＋7.2×1.52－1.52 【答案】12.6；26；5； 100；36.36；15.2 【分析】（1）按照从左往右的顺序依次计算； （2）按照先算小括号里的加法，再算小括号里的减法，最后算乘法的顺序计算； （3）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）把算式写成：50÷（1.25×8），再进一步计算即可； （4）根据乘法交换律a×b×c＝a×c×b和乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式写成（12.5×8）×（0.4×2.5），再进一步计算即可； （5）先把10.1写成10＋0.1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成3.6×10＋3.6×0.1，再进一步计算即可； （6）先把算式写成1.52×3.8＋7.2×1.52－1.52×1，再逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成：1.52×（3.8＋7.2－1），再进一步计算即可。 【详解】4.2÷0.6×1.8 ＝7×1.8 ＝12.6            （1.65＋0.95）×（15.2－5.2）   ＝2.6×（15.2－5.2） ＝2.6×10 ＝26       50÷1.25÷8 ＝50÷（1.25×8） ＝50÷10 ＝5 12.5×0.4×2.5×8 ＝（12.5×8）×（0.4×2.5） ＝100×1 ＝100         3.6×10.1 ＝3.6×（10＋0.1） ＝3.6×10＋3.6×0.1    ＝36＋0.36 ＝36.36           1.52×3.8＋7.2×1.52－1.52 ＝1.52×3.8＋7.2×1.52－1.52×1 ＝1.52×（3.8＋7.2－1） ＝1.52×10 ＝15.2 【考点06】综合·列式计算 【典型例题】 列式计算。 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，先求出0.7除以3.5的商，即0.7÷3.5，再用27加上0.7÷3.5的商，求出和，最后用求出的和乘8即可。 【详解】列式： 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是217.6。 【对应练习】 1．列式计算。 1.6除以3.2的商，加上2.4除以1.2的商的2倍，和是多少？ 【答案】4.5 【分析】根据题目的意思列出算式，小数的四则混合运算和整数的四则混合运算法则一样。四则运算的顺序分为两级。加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第二级运算。 （1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。 （2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。 【详解】1.6÷3.2＋（2.4÷1.2）×2 ＝0.5＋2×2 ＝0.5＋4 ＝4.5 则和是4.5。 2．看图列综合算式计算。 【答案】（20.6－10.2）÷5＝2.08（米） 【分析】用红绳的总长度减去用掉的长度，求出剩下的长度，再把剩下的长度平均分成5份，求1份是多长，用剩下的长度÷5，即可解答。 【详解】（20.6－10.2）÷5 ＝10.4÷5 ＝2.08（米） 1份是2.08米。 【预测命题方向三】数的认识·循环小数 命题趋势 1. 期末着重直接考察，比较基础。 2. 结合多类型问题进行考察，体现综合性。 方法点拨 1. 循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 2. 循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3. 循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636……；1.587587…… 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，循环点最多只点两个。 4. 小数的分类。 。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【考点01】小数的分类 【典型例题】 在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545，中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 【答案】 8.5454、8.4545 3.1415926…、8.5454…、 8.5454…、 【分析】有限小数是指小数部分的位数有限的小数。 无限小数是指小数部分的位数无限的小数。 循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。 【详解】由分析得： 8.5454、8.4545的小数的位数是有限，所以它们是有限小数； 3.1415926…、8.5454…、的小数的位数是无限，所以它们是无限小数； 3.1415926…是一个无限不循环小数，8.5454…是一个无限循环小数，其小数部分不断重复54，是一个无限循环小数，其小数部分不断重复74。 因此在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545，中，有限小数有8.5454、8.4545，无限小数有3.1415926…、8.5454…、，循环小数有8.5454…、。 【对应练习】 在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 【答案】 0.4343、3.2126、0.19 3.88…、0.35656… 3.88…、0.35656… 【分析】小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数；一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 【详解】在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有：0.4343、3.2126、0.19；无限小数有：3.88…、0.35656…；循环小数有：3.88…、0.35656…。 【考点02】循环小数的大小比较 【典型例题】 在、5.211、5.21、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 5.21 【分析】把的循环节展开后是5.2121…；把的循环节展开后是5.2222…；再从个位向十分位、百分位…逐位比较四个小数的大小，据此解答。 【详解】5.2121…、5.211、5.21、5.2222…，四个小数的个位和十分位都相同，根据百分位数字可知5.2222…大于另外三个小数（5.2121…、5.211、5.21），再根据千分位数字可知这三个小数中5.21千分位数字是0，所以5.21最小。 在、5.211、5.21、中，最大的数是，最小的数是5.21。 【对应练习】 在6.565，，6.5，，这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 6.5 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。据此可解答。 【详解】因为＝6.565565⋯，＝6.55⋯，＝6.5656⋯，6.5656⋯＞6.565565⋯＞6.565＞6.55⋯＞6.5，即＞＞6.565＞＞6.5，则这五个数中，最大的数是，最小的数是6.5。 【考点03】循环小数与周期问题 【典型例题】 7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。 【答案】8 【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是58，要求小数点后面第100个数字是几，因为小数点的1、2不在循环节里，所以用除以2，余数是几，就在2个数字的一个循环中数到几，即可得解。 【详解】（100－2）÷2 ＝98÷2 ＝49 所以7.12585858…的小数点后面第100位数字是8。 【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。 【对应练习】 1. 28÷11的商是( )，小数点后面第2020位上的数字是( )。 【答案】 4 【分析】根据小数除法的计算方法，求出28÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；用2020除以循环节的位数，若没有余数，则第2020位上的数就是循环节的最后一个数字，若有余数，余数是几第2020位上的数就从循环节的左边数出几位即可。 【详解】28÷11＝ 2020÷2＝1010 则28÷11的商是，小数点后面第2020位上的数字是4。 【点睛】本题考查小数除法，明确循环小数的表示方法是解题的关键。 2. 6÷7的商是循环小数，那么商的小数点后的第2019位上的数字是几？小数部分前2019位上的所有数字之和是多少？ 【答案】7，9092 【详解】6÷7＝0.5714 2019÷6＝336……3 第2019位上的数字是7 (8＋5＋7＋1＋4＋2)×336＋8＋5＋7＝9092 答：第2019位上的数字是5小时．小数部分前2019位上的所有数字之和是9092。 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 命题趋势 1. 结合生活实际考察，凸显实用性和开放性。 2. 特色命题和创新题型较多，凸显综合素养。 方法点拨 1. 代数式的基本书写格式和简单化简计算。 2. 用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 （1）用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母的取值范围要符合实际情况。 （2）当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】含字母式子的书写和化简 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方； 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是1时，省略乘号后1省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 c×b＝bc      n×5.6＝5.6n      a×a＝a2      1×x＝x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 2. 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【答案】4.5a  4.8x c　1.8a　 6.5y　0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 m×4＝            ＋3＝                 6－2＝ ×b＝             n×n＝                     0.32＝ 【答案】4m；4a；4x； ab；n2；0.09； 【详解】略 2．直接写出得数。                                                   【答案】14.5y；21b；10；0.16 16m；0.4x；2a－2； 【详解】略 【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系 【典型例题】 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a＋b/b＋2a 【分析】（1）将煤的总量x吨除以3次，表示出平均每次运煤多少吨； （2）将2张成人票票价加上1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少元。 【详解】（1）一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤（x÷3）吨。 （2）小丽一家三口共需付（2a＋b）元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要注意数字和字母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 【对应练习】 1. 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【答案】3a＋1.8 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用a乘3再加上1.8即可求解。 【详解】a×3＋1.8＝3a＋1.8 则比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是（3a＋1.8）。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确数量关系是解题的关键。 2. 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是( )，最大的数是( )，三个数的和是( )，平均数是( )。 【答案】 a＋1 a＋2 3a＋3 a＋1 【分析】已知三个连续自然中最小的一个是a，根据连续自然数的特点“两个相邻的自然数相差1”，可得出中间的数及最大的数； 把这三个连续自然数相加，即可求出它们的和；再用和除以3，即是它们的平均数。 【详解】这三个连续自然数分别是a、a＋1、a＋2； 和是：a＋a＋1＋a＋2＝3a＋3 平均数是：（3a＋3）÷3＝ a＋1 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是a＋1，最大的数是a＋2，三个数的和是3a＋3，平均数是a＋1。 【考点03】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 【典型例题】 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【答案】（1）3元 （2）45元 【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，先分别求出李老师和王阿姨买文具盒的花费，再相减，即是李老师比王阿姨多用的钱数。 （2）把＝15代入式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）8－5＝3（元） 答：李老师比王阿姨多用了3元。 （2））当＝15时，3＝3×15＝45（元） 答：当＝15时，李老师比王阿姨多用了45元。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【对应练习】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【答案】（1）（20a＋b）个； （2）410个 【分析】（1）用每排有座位的个数乘排数，求出楼下共有座位的个数，再加上楼上有座位的个数即可。 （2）当a＝15，b＝110时，把数据代入式子计算即可解题。 【详解】（1）a×20＋b＝（20a＋b）个 答：用含有字母的式子表示演播厅的座位数是：（20a＋b）个。 （2）当a＝15，b＝110时，可得： 20×15＋110 ＝300＋110 ＝410（个） 答：当a＝15，b＝110时，演播厅共有410个座位。 【点睛】熟练掌握用字母表示数的意义及化简、求值的方法，是解答此题的关键。 【考点04】五种新型题型 【典型例题1】数形规律问题 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 解析：31     3n＋1 【对应练习】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 解析：2n＋1 【典型例题2】定义新运算 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【答案】16 【分析】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【详解】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【答案】2 【分析】根据所给出的等式，知道等于3与a的积减去4与b的积，用此方法计算的值即可。 【详解】 ＝（3×4－4×2） ＝4 ＝3×6－4×4 ＝18－16 ＝2 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【典型例题3】新材料定义 我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的一种换算关系是a＝2b－10（a表示码数，b表示厘米数），则25厘米长的鞋子用“码”作单位( )码。 【答案】40 【分析】根据“码”和“厘米”之间的换算关系：a＝2b－10，把b＝25厘米代入式子，求得a的值，也就是“码”数。 【详解】当b＝25厘米时 a＝2b－10 ＝2×25－10 ＝50－10 ＝40（码） 25厘米的鞋子用“码”作单位，就是（40）码。 【对应练习】 鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码“或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用＝2－10来表示（表示码数，表示厘米数）。小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长( )厘米。 【答案】 42 23 【分析】根据题意，可知用字母表示码数，表示厘米数，它们之间的关系是＝2－10，进而推出＝（＋10）÷2；然后分别把＝26或＝36代入关系式，计算得解。 【详解】当＝26时 ＝2－10 ＝2×26－10 ＝52－10 ＝42 当＝36时 ＝（＋10）÷2 ＝（36＋10）÷2 ＝46÷2 ＝23 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【典型例题4】程序框图 按图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是( )。 【答案】231 【分析】将x＝3代入，得出结果，再和100比较大小，比100小就继续将数据代入式子计算，比100大就输出结果。 【详解】，6＜100，继续算； ，21＜100，继续算； ，231＞100，输出结果； 则最后输出的结果是231。 【对应练习】 笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用下图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 10 n 2 5 10 17 26 37 101 根据数据，这个运算程序可能是( )。 A．n＝m＋1 B．n＝m×2＋1 C．n＝m×5＋1 D．n＝m×m＋1 【答案】D 【分析】根据图表可知，m的平方加1即是n，据此选择。 【详解】由分析可得： m2＋1 ＝m×m＋1 所以根据数据，这个运算程序可能是n＝m×m＋1。 故答案为：D 【典型例题5】数列与算式规律探究 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【答案】 42 【分析】，，，，…，规律是：相邻两个自然数的乘积，第n个数是，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 这列数的第6个数是： 第n个数是： 故答案为：42；。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 【对应练习】 因为，所以( )。 【答案】4039 【分析】由题可知一个数的平方减去另外一个数的平方，结果等于这两个数的和乘上两个数的差，将a＝2020，b＝2019代入求解即可。 【详解】（2020＋2019）（2020－2019）＝4039×1＝4039 故答案为：4039 【点睛】此题考查总结规律的能力，以及代入求解。 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 命题趋势 1. 期末着重直接考察，体现基础知识和计算能力。 2. 结合图形、代数考察，凸显开放性。 方法点拨 1. 方程和等式。 （1）方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 （2）方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 2. 等式的性质。 （1）等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 3. 解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程可以根据等式的基本性质来解或者四则运算的转化关系来解。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【考点01】方程与等式 【典型例题】 下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【答案】 ①②⑤ ①⑤ 【分析】等式是含有等号的式子，而方程是含有未知数的等式，据此解答。 【详解】①x－30＝26式子中含有等号，所以是等式； ②25×2＝50式子中含有等号，所以是等式； ③6＋m式子中不含等号，所以不是等式； ④5a＜2.5式子中不含等号，所以不是等式； ⑤x÷0.3＝1.2式子中含有等号，所以是等式。 所以等式有①、②、⑤。 在等式①、②、⑤中，①和⑤的式子中含有未知数，所以①和⑤是方程，②的式子中不含未知数，所以②不是方程。 即在这些式子中，等式有①②⑤，方程有①⑤。 【对应练习】 1．在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有( )。 【答案】①⑤ 【分析】根据方程的意义可知，含有未知数的等式叫方程，据此解答。 【详解】①65＋x＝124，含有未知数且是等式，所以65＋x＝124是方程； ②4a－8＞0，含有未知数但不是等式，所以4a－8＞0不是方程； ③10÷2.5＝4，是等式但不含未知数，所以10÷2.5＝4不是方程； ④8x＋x，含有未知数但不是等式，所以8x＋x不是方程； ⑤y÷8＝1.5，含有未知数且是等式，所以y÷8＝1.5是方程。 因此在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有：①⑤。 2．在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 【答案】 ①② ① 【分析】表示左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程，据此可知，方程一定是等式，等式不一定是方程。据此解答。 【详解】在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有①4n＝12，②30－10＝20，是方程的有①4n＝12。 【考点02】等式的性质 【典型例题】 根据等式的性质，在括号里填上恰当的数。 (1)，( )。 (2)，( )。 【答案】(1)12 (2)3 【分析】（1）等式的性质1：将方程左右两边同时加或同一个数，等式仍然成立。据此将题目左右两边同时减去12，等式仍然成立。 （2）等式的性质2：将方程左右两边同时乘同一个数，或除以一个不为0的数，等式仍然成立。据此将题目左右两边同时除以3，等式仍然成立。 【详解】（1），。 （2），。 【对应练习】 1. 如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 【答案】 4 2 【分析】观察左图，2个菠萝＝1个菠萝＋4个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去1个菠萝，可得1个菠萝＝4个苹果；观察右图，4个苹果＋1个梨＝6个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去4个苹果，可得1个梨＝2个苹果，据此分析。 【详解】根据分析，一个菠萝与4个苹果一样重，2个苹果和一个梨一样重。 2. 一辆小汽车的牌照是◯□△△5（一个五位数），已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝25，△＋△＝◯，那么它的牌照号码是( )。 【答案】48225 【分析】由题意可知，△＋△＝◯，○＋○＝□，则△＋△＋△＋△＝□，把○＋□＋□＋5＝25中的○和□都用△表示，化简后利用等式的性质求出△表示的数，进而求出◯和□表示的数，据此解答。 【详解】因为○＋○＝□，△＋△＝◯，所以△＋△＋△＋△＝□。 ○＋□＋□＋5＝25 △＋△＋△＋△＋△＋△＋△＋△＋△＋△＋5＝25 10△＋5＝25 10△＋5－5＝25－5 10△＝20 10△÷10＝20÷10 △＝2 ◯＝△＋△＝2＋2＝4 □＝△＋△＋△＋△＝2＋2＋2＋2＝8 所以，它的牌照号码是48225。 【考点03】综合·解方程 【典型例题】 解方程。 1.8＋0.6＝7.2       4÷3＝9.16      8（－2）＝16 【答案】＝3；＝6.87；＝4 【分析】（1）先把方程化简成2.4＝7.2，然后方程两边同时除以2.4，求出方程的解； （2）方程两边先同时乘3，再同时除以4，求出方程的解； （3）方程两边先同时除以8，再同时加上2，求出方程的解。 【详解】（1）1.8＋0.6＝7.2 解：2.4＝7.2 2.4÷2.4＝7.2÷2.4 ＝3 （2）4÷3＝9.16 解：4÷3×3＝9.16×3 4＝27.48 4÷4＝27.48÷4 ＝6.87 （3）8（－2）＝16 解：8（－2）÷8＝16÷8 －2＝2 －2＋2＝2＋2 ＝4 【对应练习】 1．解方程。 7.6＋2.4x＝19.6        3（5－x）＝14.1       （7y－9）÷0.32＝2.5 【答案】x＝5；x＝0.3；y＝1.4 【分析】根据等式的性质1，方程两边同时减去7.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.4来解方程即可； 先根据等式的性质2，方程两边同时除以3，再根据等式的性质1，方程两边同时加x，最后根据等式的性质1来解方程即可； 先根据等式的性质2，方程两边同时乘0.32，再根据等式的性质1，方程两边同时加9，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以7来解方程即可。 【详解】7.6＋2.4x＝19.6 解：7.6＋2.4x－7.6＝19.6－7.6 2.4x＝12 2.4x÷2.4＝12÷2.4 x＝5 3（5－x）＝14.1 解：3（5－x）÷3＝14.1÷3 5－x＝4.7 5－x＋x＝4.7＋x 4.7＋x＝5 4.7＋x－4.7＝5－4.7 x＝0.3 （7y－9）÷0.32＝2.5 解：（7y－9）÷0.32×0.32＝2.5×0.32 （7y－9）＝0.8 7y－9＋9＝0.8＋9 7y＝9.8 7y÷7＝9.8÷7 y＝1.4 2．解方程。 4x＋1.2x＝26        17－5x＝9.4        （3x－36）÷6＝0.8 【答案】x＝5；x＝1.52；x＝13.6 【分析】（1）4x＋1.2x＝26：方程左边是含有相同未知数的两项相加，将4x和1.2x的系数相加，得到相加后的含x的项，再根据等式的性质2（等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立），用等式右边的数÷相加后的x项，即可求出x的值，据此解答。 （2）17－5x＝9.4：先利用等式的性质1（等式两边同时加同一个数，等式仍然成立），在等式两边同时加上5x，将方程转化为17＝9.4＋5x；再利用等式的性质1，在等式两边同时减去9.4，得到5x对应的数值；最后根据等式的性质2，等式两边同时÷5，求出x的值。 （3）（3x－36）÷6＝0.8：先利用等式的性质2，在等式两边同时乘6，消去左边的除数6，得到3x－36对应的数值；再利用等式的性质1，在等式两边同时加上36，得到3x对应的数值；最后根据等式的性质2，等式两边同时÷3，求出x的值。 【详解】（1）4x＋1.2x＝26 解：（4＋1.2）x＝26 5.2x＝26 5.2x÷5.2＝26÷5.2 x＝5 （2）17－5x＝9.4 解：17－5x＋5x＝9.4＋5x 17＝9.4＋5x 17－9.4＝9.4＋5x－9.4 7.6＝5x 5x＝7.6 5x÷5＝7.6÷5 x＝1.52 （3）（3x－36）÷6＝0.8 解：（3x－36）÷6×6＝0.8×6 3x－36＝4.8 3x－36＋36＝4.8＋36 3x＝40.8 3x÷3＝40.8÷3 x＝13.6 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共24页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末复习专题一：数与代数小数乘除法和解方程 【5大方向25大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧的专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 团专题内容 本专题以数与代数为主，其中包括小数乘除法的基础计算、混合运算及简便 运算，用字母表示数或式子，方程的意义，等式的性质以及解方程等内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★；综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 5大方向25大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 原【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算.…4 只【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算… 5 只【考点03】积与因数的大小关系商与被除数的大小关系… 6 只【考点04)小数乘法与积的变化规律和积不变性质小数除法与商的变化规律和商不变性质…6 冥【考点05)】小数乘除法与单位换算…。 .6 原【考点06】赋子小数乘除法竖式以实际意义 .7 貝【考点07】小数乘除法算式的规律 .8 第2页共24页 画学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 冥【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 .8 只【考点09】解决等式中未知傲的大小比较问题…。 …8 【预测命题方向二】小数乘除法四侧混合运算、简便计算、列式计算 貝【考点01】小数四则混合运算… .10 原【考点02】小数乘法简便计算… ...11 只【考点03】小数除法简便计算… ..13 貝【考点04】错解问题 .14 只【考点0S)】综合小数四则混合运算和简便计算.14 只【考点06)】综合-列式计算 .15 【预测命题方向三】数的认识循环小数 只【考点01】小数的分类… .17 冥【考点2】循环利小数的大小此较… ...17 原【考点03】循环小数与周期问题.… .17 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 原【考点01】含字母式子的书写和化简… .18 只【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系… 19 月【考点03】用含字母的试子表示稍复杂的数量关系…19 月【考点04】五种新型题型…20 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 只【考点01】方程与等式… 22 只【考点02】等式的性质… .23 貝【考点03】综合解方程… .23 第3页共24页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 如命题趋势 1.期末着重直接考察，比较基础，体现基本计算能力。 2.有时也结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.小数乘除法基本计算法则（口算+笔算+估算)。 2.积与因数的大小关系。 (1)一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大： (2)一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小： (3)一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 3.商与被除数的大小关系。 (1)一个数(0除外)除以大于1的数，商小于被除数。 (2)一个数(0除外)除以小于1的数(0除外)，商大于被除数。 (3)一个数(0除外)除以1，商等于被除数。 4.小数乘法与积的变化规律和积不变性质。 5.小数除法与商的变化规律和商不变性质。 目考察形式 填空、选择、判断、计算 蜀动态评价 原【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 吕【典型例题】 直接写出得数。 1.5×4= 9÷4.5= 13.8×0= 2.15×9.7≈ 10-0.04= 2.5×9= 6.7+0.8= 32.14÷3.95≈ 肥【对应练习】 1.直接写得数。 0.7×0.6= 4×0.13= 0.15÷0.03= 0.25×4.78×4= 第4页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.26÷3= 110×0.01= 0.5×80= 4÷0.5÷2= 2.直接写得数。 0.3×0.6= 1.8÷0.03= 2.5×40= 0.72÷0.8= 1.25×0.8= 4.5-0.9= 0.4×0.05= 3÷0.125= 原【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 吕【典型例题】 用竖式计算。 5.68×3.2= 5.04÷0.24= 5.46÷65= 即【对应练习】 1.列竖式计算。 6.25×5.6= 3.996÷3.7= 52÷24= 2.列竖式计算，带※的算式要验算。 0.68×2.3= ※7.52÷4.7= 5.69×0.74≈ (得数保留两位小数) 0.431÷0.18≈ (得数保留一位小数) 第5页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 吕【典型例题】 在括号里填上>”或<”。 4.03×0.91( )4.03 1.26÷0.14( )1.26 0.17×5.1( )0.17 0.68÷3.4( )0.68 即【对应练习】 1.在横线上填“>x<”或=”。 8.6×0.9( )8.6 3.2÷1.03( )3.2 3.67×1.130 )3.67 9.6÷6( )9.6÷2×3 2.在横线里填上>x<或=”。 5.4×0.99( )5.4 1.21÷1.1( )1.21 0.8×2( )0.82 7.08×10( )7.08÷0.1 原【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质小数除法与商的变化规律和商不变性质 吕【典型例题】 根据4032÷24=168写出下面各题的得数。 40.32÷24=( )403.2÷0.24=( 403.2÷2.4=( 肥【对应练习】 1.已知45×32=1440，那么：4.5×0.32=( )0.45×( )=14.41.44-( =0.45 2.根据36×52=1872直接写出下列算式的结果。 520×0.036=( 1.872÷52=( 18720÷3.6=( 冥【考点05】小数乘除法与单位换算 吕【典型例题】 填上合适的数。 8000平方米=( )公顷 0.56米=( )厘米 2050克=( )千克 36分=( )时 第6页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.单位换算。 1.5时=( )分 3050m=( )km 2.1公顷=( )m21.06t=( )( )kg 2.在横线里填上合适的数。 36分=( )时 ( )千克=80克 6公顷=( )平方米 原【考点06】赋予)小数乘除法竖式以实际意义 吕【典型例题】 下边的竖式中，箭头所指的数分别表示( ) 2.2 2452.8 48 48 48 0 A.48个1,48个0.1 B.48个10,48个1 C.48个10,48个0.1 D.48个1,48个0.01 即【对应练习】 1.货车平均以78千米/时的速度在高速公路上行驶了1.5小时，下面竖式中的390表示 ) 78 1.5 (390 78 117、0 A.5分钟行驶了390千米 B.1.5小时行驶了390千米 C.0.5小时行驶了39千米 D.5分钟行驶了78千米 2.做一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么4.5千克面粉最多可以做几个这样的蛋糕？如图是小 亮的竖式计算过程。从中可以得出( ) 第7页共24页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 14 0、32450 32 130← 回 A.最多可以做14个蛋糕。 B.最多可以做15个蛋糕。 C.方框中2表示0.02个蛋糕。 D.方框中2”表示0.2千克面粉。 原【考点07】小数乘除法算式的规律 吕【典型例题】 找规律填空。 3×0.6=1.83.3×3.6=11.88 3.33×33.6=111.888 3.3333×3333.6=( ）。 即【对应练习】 找规律，直接写出得数。 1÷11=0.0909.. 2÷11=0.1818.… 3÷11=0.2727. 5÷11=( ) 8÷11=( ) 原【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 吕【典型例题】 己知x=0.00.0125,y=0.0008,那么xxy=( 202i个0 ),xy=( ) 2021个0 即【对应练习】 0.00…0325×0.00036 25个0 30个0 冥【考点09】解决等式中未知数的大小此较问题 吕【典型例惠】 如果甲、乙、丙三个数均为非零自然数，且甲×0.99=乙÷1=丙×1.01，甲、乙、丙三个数相比 第8页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 较，最大的是( ) 肥【对应练习】 已知a+0.5=b-0.5=cx0.5=d-0.5(a、b、c、d都不为0)，a、b、c、d中( )最大。 第9页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向二】小数乘除法四侧混合运算、简便计算、列式计算 如命题趋势 1.期末着重直接考察，体现综合计算能力。 2.多结合生活实际，凸显实用性和开放性。 兵方法点拨 1.小数四则混合运算。 小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，一个算式里， 如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算：如果含有两级运算，要先做 第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中 括号里面的，最后算括号外面的。 2.整数乘法乘法运算律推广到小数乘法。 (l)乘法交换律：a×b=b×a (2)乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) (3)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c (4)除法运算性质。 a×b÷c=a-cxb; a-b÷c=a÷(b×c): a÷(b÷c)=a÷b×c; (5)除法左分配律。 (a+b)÷c=a÷c+b÷c: (a-b)片c=a÷c-b÷c. 目考察形式 计算 過动态评价 ★★★★★ 原【考点01】小数四则混合运算 吕【典型例题】 脱式计算。 5.4×[(1.3+2.6)÷0.3] 第10页共24页品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共49页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末复习专题一：数与代数小数乘除法和解方程 【5大方向25大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧南专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 团专题内容 本专题以数与代数为主，其中包括小数乘除法的基础计算、混合运算及简便 运算，用字母表示数或式子，方程的意义，等式的性质以及解方程等内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★；综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 5大方向25大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 原【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算.…4 只【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算… .5 只【考点03】积与因数的大小关系商与被除数的大小关系… .7 只【考点04)小数乘法与积的变化规律和积不变性质小数除法与商的变化规律和商不变性质…9 冥【考点05)】小数乘除法与单位换算…。 ...11 原【考点06】赋子小数乘除法竖式以实际意义 貝【考点07】小数乘除法算式的规律 ..14 第2页共49页 画学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 冥【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 .15 只【考点09】解决等式中未知傲的大小此较问题… .16 【预测命题方向二】小数乘除法四侧混合运算、简便计算、列式计算 貝【考点01】小数四则混合运算…。 .18 原【考点02】小数乘法简便计算… ....19 只【考点03】小数除法简便计算… .23 貝【考点04】错解问题 …24 只【考点0S)】综合小数四则混合运算和简便计算.25 只【考点06)】综合-列式计算. 28 【预测命题方向三】数的认识循环小数 只【考点01】小数的分类… 31 冥【考点2】循环小数的大小此较… ..32 原【考点03】循环小数与周期问题… .33 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 原【考点01】含字母式子的书写和化简… ....34 只【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系 .35 原【考点03】用含字母的试子表示稍复杂的数量关系…37 月【考点04】五种新型题型…38 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 只【考点01】方程与等式… …43 只【考点2】等式的性质… 044 貝【考点03】综合解方程… ...46 第3页共49页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 如命题趋势 1.期末着重直接考察，比较基础，体现基本计算能力。 2.有时也结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.小数乘除法基本计算法则（口算+笔算+估算)。 2.积与因数的大小关系。 (1)一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大： (2)一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小： (3)一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 3.商与被除数的大小关系。 (1)一个数(0除外)除以大于1的数，商小于被除数。 (2)一个数(0除外)除以小于1的数(0除外)，商大于被除数。 (3)一个数(0除外)除以1，商等于被除数。 4.小数乘法与积的变化规律和积不变性质。 5.小数除法与商的变化规律和商不变性质。 目考察形式 填空、选择、判断、计算 蜀动态评价 原【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 吕【典型例题】 直接写出得数。 1.5×4= 9÷4.5= 13.8×0= 2.15×9.7≈ 10-0.04= 2.5×9= 6.7+0.8= 32.14÷3.95≈ 【答案】6：2：0：20.86 250:22.5;7.5:8.14 【解析】略 第4页共49页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.直接写得数。 0.7×0.6= 4×0.13= 0.15÷0.03= 0.25×4.78×4= 1.26÷3= 110×0.01= 0.5×80= 4÷0.5÷2= 【答案】0.42：0.52：5；4.78： 0.42；1.1;40；4 【解析】略 2.直接写得数。 0.3×0.6= 1.8÷0.03= 2.5×40= 0.72÷0.8= 1.25×0.8= 4.5÷0.9= 0.4×0.05= 3÷0.125= 【答案】0.18：60：100；0.9： 1:5；0.02;24 原【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 吕【典型例题】 用竖式计算。 5.68×3.2= 5.04÷0.24= 546÷65= 【答案】18.176：21；0.084 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从 积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用0”补足： 除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐：如果被 除数比除数小，商的个位上写0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除： 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移 动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 【详解】5.68×3.2=18.176 5.04÷0.24=21 5.46÷65=0.084 第5页共49页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 21 0.084 5.68 0245,04 655.460 3.2 48 520 1136 24 260 1704 24 260 18.176 0 0 即【对应练习】 1.列竖式计算。 6.25×5.6= 3.996÷3.7= 52÷24= 【答案】35：1.08；2.16 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共 有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0 占位。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除 数的数字用完时，在被除数的末尾添0继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数：除数的小数点向右移动几位， 被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整 数的小数除法进行计算。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小 数。 【详解】6.25×5.6=35 3.996÷3.7=1.08 52÷24=2.16 2.166 2452.000 1.08 48 6.25 3.73.9.96 40 5.6 37 24 3750 296 160 3125 296 144 35.000 0 160 144 16 2.列竖式计算，带※的算式要验算。 第6页共49页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0.68×2.3= ※7.52÷4.7= 5.69×0.74≈（得数保留两位小数) 0.431÷0.18≈（得数保留一位小数) 【答案】1.564：1.6： 4.21:2.4 【分析】(1)先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几 位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。 (2)计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右 移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按 照除数是整数的小数除法进行计算。验算用“商×除数=被除数”。 (3)计算方法同(1)，积保留两位小数时，要看小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似 值。 (4)计算方法同(2)，商保留一位小数时，要除到小数点后面第二位，再根据四舍五入取近 似值。据此解答。 【详解】0.68×2.3=1.564 7.52÷4.7=1.6 1.6 0.68 1.6 2.3 4、77、5.2 4.7 204 47 验算：112 282 136 64 282 1.564 7.52 0 5.69×0.74≈4.21 0.431÷0.18≈2.4 2.39 0、180、43.10 5.69 36 0.74 71 2276 54 3983 170 4.2106 162 8 具【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 吕【典型例题】 第7页共49页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 在括号里填上>”或<”。 4.03×0.91( )4.03 1.26÷0.14( )1.26 0.17×5.1( )0.17 0.68÷3.4( )0.68 【答案】 > < 【分析】一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积比这个数小： 个数(0除外)乘大于1的数，积比这个数大： 一个数(0除外)除以小于1的数(0除外)，商比这个数大： 一个数(0除外)除以大于1的数，商比这个数小；据此分析。 【详解】0.91<1，所以4.03×0.91<4.03： 0.14<1,所以1.260.14>1.26： 5.1>1,所以0.17×5.1>0.17： 3.4>1,所以0.68÷3.4<0.68。 即【对应练习】 1.在横线上填“>x<”或=”。 8.6×0.9( )8.6 3.2÷1.03( )3.2 3.67×1.13( )3.67 9.6÷6( )9.6÷2×3 【答案】 > ∠ 【分析】8.6×0.9和8.6，根据一个数(0除外)乘小于1的数，积小于原数”，0.9小于1，据 此比较大小： 3.2÷1.03和3.2，根据“一个数(0除外)除以大于1的数，商小于原数”，1.03大于1，据此比 较大小： 3.67×1.13和3.67，根据“一个数(0除外)乘大于1的数，积大于原数”，1.13大于1，据此比 较大小： 9.6-6和9.6÷2×3，先分别计算两边结果，再比较大小。 【详解】0.9<1,8.6×0.9<8.6； 1.03>1,3.2÷1.03<3.2: 1.13>1,3.67×1.13>3.67: 9.6-6=1.69.6-2×3=4.8×3=14.4,所以9.6÷6<9.6÷2×3 综上所述可得 第8页共49页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 8.6×0.9<8.6 3.2÷1.03<3.2 3.67×1.13>3.67 9.6÷6<9.6÷2×3 2.在横线里填上“>x<”或=。 5.4×0.99( )5.4 1.21÷1.1( )1.21 0.8×2( )0.82 7.08×10( )7.08÷0.1 【答案】 < 【分析】(1)一个数(0除外)乘小于1(0除外)的数，结果会小于原数： (2)一个数(0除外)除以一个大于1的数，结果会小于原数： (3)计算左边的算式，结果和0.82比较： (4)计算左右两边，结果相比较得出结论。 【详解】(1)因为0.99<1，所以5.4×0.99<5.4： (2)因为1.1>1，所以1.21÷1.1<1.21； (3)0.8×2=1.6,因为1.6>0.82，所以0.8×2>0.82： (4)7.08×10=70.8,7.08÷0.1=70.8,因为70.8=70.8，所以7.08×10=7.08÷0.1。 原【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质小数除法与商的变化规律和商不变性质 吕【典型例题】 根据4032÷24=168写出下面各题的得数。 40.32÷24=( )403.2÷0.24=( 403.2÷2.4=( 【答案】 1.68 1680 168 【分析】商的变化规律：被除数乘几或除以几(0除外)，商也跟着乘几或除以几：除数乘几 或除以几(0除外)，商反而要除以几或乘几，据此分析。 【详解】被除数：4032÷100=40.32，商：168÷100=1.68，所以40.32÷24=1.68： 被除数：4032÷10=403.2，除数24÷100=0.24，商：168÷10×100=16.8×100=1680，所以 403.2÷0.24=1680; 被除数：4032÷10=403.2，除数：24÷10=2.4，商：168÷10×10=16.8×10=168 综上：40.32÷24=1.68403.2-0.24=1680403.2÷2.4=168 即【对应练习】 1.已知45×32=1440，那么：4.5×0.32=( )0.45×( )=14.41.44-( 第9页共49页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =0.45 【答案】 1.44 32 3.2 【分析】乘法算式中，一个乘数除以a,另一个乘数除以b(a、b均不为0)，则积先除以a 再除以b；一个乘数45变为4.5相当于除以10，另一个乘数32变为0.32，相当于除以100， 所以积先除以10，再除以100： 由45×32=1440得1440：45=32，除法算式中，被除数和除数同时除以一个相同的数(0除外)， 商不变；被除数1440变为14.4相当于除以100，除数45变为0.45相当于除以100，所以商不 变 由45×32=1440得1440÷45=32，除法算式中，被除数除以a,除数除以b(a、b均不为0)， 则商先除以a再乘b:被除数1440变为1.44相当于除以1000，除数45变为0.45相当于除以 100,所以商先除以1000，再乘100。 【详解】1440-10÷100 =144÷100 =1.44 所以4.5×0.32=1.44： 由45×32=1440得1440÷45=32，将被除数和除数同时除以100得14.4-0.45=32，因此0.45×32 =14.4: 由45×32=1440得1440÷45=32， 32÷1000×100 =0.032×100 =3.2 所以1.44÷0.45=3.2，即1.44÷3.2=0.45。 综上，4.5×0.32=1.44,0.45×32=14.4,1.44÷3.2=0.45。 2.根据36×52=1872直接写出下列算式的结果。 520×0.036=( ) 1.872÷52=( 18720÷3.6=( 【答案】 18.72 0.036 5200 【分析】(1)积的变化规律：在小数乘法中，如果一个乘数不变，另一个乘数的小数点向左 或（右）移动几位，则积的小数点也要向相同的方向移动相同的位数；如果两个乘数的小数点 都移动，则积先根据第一个乘数的小数点向相同的方向移动相同的位数，再根据第二个乘数的 第10页共49页 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【5大方向25大考点】 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题以数与代数为主，其中包括小数乘除法的基础计算、混合运算及简便运算，用字母表示数或式子，方程的意义，等式的性质以及解方程等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 5大方向25大考点 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 4 【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 5 【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 6 【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质·小数除法与商的变化规律和商不变性质 6 【考点05】小数乘除法与单位换算 6 【考点06】赋予小数乘除法竖式以实际意义 7 【考点07】小数乘除法算式的规律 8 【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 8 【考点09】解决等式中未知数的大小比较问题 8 【预测命题方向二】小数乘除法四则混合运算、简便计算、列式计算 【考点01】小数四则混合运算 10 【考点02】小数乘法简便计算 11 【考点03】小数除法简便计算 13 【考点04】错解问题 14 【考点05】综合·小数四则混合运算和简便计算 14 【考点06】综合·列式计算 15 【预测命题方向三】数的认识·循环小数 【考点01】小数的分类 17 【考点02】循环小数的大小比较 17 【考点03】循环小数与周期问题 17 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 【考点01】含字母式子的书写和化简 18 【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系 19 【考点03】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 19 【考点04】五种新型题型 20 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 【考点01】方程与等式 22 【考点02】等式的性质 23 【考点03】综合·解方程 23 【预测命题方向一】小数乘除法基本计算法则、数量关系、运算规律 命题趋势 1. 期末着重直接考察，比较基础，体现基本计算能力。 2. 有时也结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 小数乘除法基本计算法则（口算+笔算+估算）。 2. 积与因数的大小关系。 （1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （3）一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 3. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数。 （3）一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 4. 小数乘法与积的变化规律和积不变性质。 5. 小数除法与商的变化规律和商不变性质。 考察形式 填空、选择、判断、计算 动态评价 【考点01】小数乘除法基本计算其一：口算+估算 【典型例题】 直接写出得数。 1.5×4＝               9÷4.5＝             13.8×0＝               2.15×9.7≈ 10÷0.04＝             2.5×9＝             6.7＋0.8＝              32.14÷3.95≈ 【对应练习】 1．直接写得数。 0.7×0.6＝        4×0.13＝          0.15÷0.03＝        0.25×4.78×4＝ 1.26÷3＝         110×0.01＝         0.5×80＝           4÷0.5÷2＝ 2．直接写得数。 0.3×0.6＝            1.8÷0.03＝         2.5×40＝            0.72÷0.8＝ 1.25×0.8＝         4.5÷0.9＝            0.4×0.05＝        3÷0.125＝ 【考点02】小数乘除法基本计算其二：笔算 【典型例题】 用竖式计算。 5.68×3.2＝           5.04÷0.24＝           5.46÷65＝ 【对应练习】 1．列竖式计算。 6.25×5.6＝             3.996÷3.7＝              52÷24＝ 2．列竖式计算，带※的算式要验算。 0.68×2.3＝                                        ※7.52÷4.7＝         5.69×0.74≈ （得数保留两位小数）                0.431÷0.18≈ （得数保留一位小数） 【考点03】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 【典型例题】 在括号里填上“＞”或“＜”。 4.03×0.91( )4.03        1.26÷0.14( )1.26 0.17×5.1( )0.17         0.68÷3.4( )0.68 【对应练习】 1．在横线上填“＞”“＜”或“＝”。 8.6×0.9( )8.6           3.2÷1.03( )3.2 3.67×1.13( )3.67       9.6÷6( )9.6÷2×3 2．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.4×0.99( )5.4       1.21÷1.1( )1.21 0.8×2( )0.82          7.08×10( )7.08÷0.1 【考点04】小数乘法与积的变化规律和积不变性质·小数除法与商的变化规律和商不变性质 【典型例题】 根据4032÷24＝168写出下面各题的得数。 40.32÷24＝( )    403.2÷0.24＝( )       403.2÷2.4＝( ) 【对应练习】 1．已知45×32＝1440，那么：4.5×0.32＝( )    0.45×( )＝14.4    1.44÷( )＝0.45 2．根据36×52＝1872直接写出下列算式的结果。 520×0.036＝( ) 　        　1.872÷52＝( ) 　        　18720÷3.6＝( ) 【考点05】小数乘除法与单位换算 【典型例题】 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷     0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克     36分＝( )时 【对应练习】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分      3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2      1.06t＝( )t( )kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时        ( )千克＝80克        6公顷＝( )平方米 【考点06】赋予小数乘除法竖式以实际意义 【典型例题】 下边的竖式中，箭头所指的数分别表示( )。 A．48个1，48个0.1 B．48个10，48个1 C．48个10，48个0.1 D．48个1，48个0.01 【对应练习】 1．货车平均以78千米/时的速度在高速公路上行驶了1.5小时，下面竖式中的390表示( )。 A．5分钟行驶了390千米 B．1.5小时行驶了390千米 C．0.5小时行驶了39千米 D．5分钟行驶了78千米 2．做一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么4.5千克面粉最多可以做几个这样的蛋糕？如图是小亮的竖式计算过程。从中可以得出( )。 A．最多可以做14个蛋糕。 B．最多可以做15个蛋糕。 C．方框中“2”表示0.02个蛋糕。 D．方框中“2”表示0.2千克面粉。 【考点07】小数乘除法算式的规律 【典型例题】 找规律填空。          ( ) 。 【对应练习】 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【考点08】解决小数位数较多的乘除法问题 【典型例题】 已知，那么x×y＝( )，x÷y＝( )。 【对应练习】 【考点09】解决等式中未知数的大小比较问题 【典型例题】 如果甲、乙、丙三个数均为非零自然数，且甲×0.99＝乙÷1＝丙×1.01，甲、乙、丙三个数相比较，最大的是( )。 【对应练习】 已知a＋0.5＝b－0.5＝c×0.5＝d÷0.5（a、b、c、d 都不为0），a、b、c、d中( )最大。 【预测命题方向二】小数乘除法四则混合运算、简便计算、列式计算 命题趋势 1. 期末着重直接考察，体现综合计算能力。 2. 多结合生活实际，凸显实用性和开放性。 方法点拨 1. 小数四则混合运算。 小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 整数乘法乘法运算律推广到小数乘法。 （1）乘法交换律：a×b=b×a （2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c （4）除法运算性质。 a×b÷c=a÷c×b； a÷b÷c=a÷(b×c)； a÷(b÷c)=a÷b×c； （5）除法左分配律。 (a＋b)÷c=a÷c＋b÷c； (a－b)÷c=a÷c－b÷c。 考察形式 计算 动态评价 【考点01】小数四则混合运算 【典型例题】 脱式计算。 5.4×[（1.3＋2.6）÷0.3] 【对应练习】 脱式计算。 （2.25＋10.5÷1.5）×1.6          4.05÷[4.5×（0.55－0.25）] 【考点02】小数乘法简便计算 【典型例题1】乘法交换律 简便计算。 0.25×3.7×0.4 【对应练习】 简便计算。 2.5×5.6×0.4 【典型例题2】乘法结合律 简便计算。 7.92.50.4 【对应练习】 1. 简便计算。 2.33×0.25×4 2. 简便计算。 2.4×1.25 【典型例题3】乘法分配律 简便计算。 0.4×（2.5＋25） 【对应练习】 1. 简便计算。 12.5×（8.8＋0.8） 2. 简便计算。 3.9×3.5＋3.5×6.1 3. 简便计算。 4.27×101－4.27 4. 简便计算。 14.5×102 【典型例题4】运用积不变规律和乘法分配律进行简算 简便计算。 【对应练习】 简便计算。 3.5×2.7＋35×0.73 【考点03】小数除法简便计算 【典型例题】 简便计算。 52.34÷2.5÷4              7.35÷（7.35×0.25） 【对应练习】 1. 简便计算。 7.45÷0.25÷0.8　　　　　　　　 2. 简便计算。 1.84÷0.23＋2.76÷0.23 【考点04】错解问题 【典型例题】 小马虎把1.6×（□＋0.5）错算成了1.6×□＋0.5，这样，算得的结果与正确的结果相差( )。 【对应练习】 李俊明把50×（△＋2.5）错算成50×△＋2.5，得到的结果与正确结果相差( )。 【考点05】综合·小数四则混合运算和简便计算 【典型例题】 下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5            1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84         5.6×1.26－56×0.026 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.5×0.39×0.8         2.1×1.2÷0.36         7.41×6.57＋7.41×3.43         1.32÷[（1.98－1.5）÷1.2] 2．递等式计算，能简便的要用简便方法计算。 4.2÷0.6×1.8           （1.65＋0.95）×（15.2－5.2）        50÷1.25÷8 12.5×0.4×2.5×8          3.6×10.1               1.52×3.8＋7.2×1.52－1.52 【考点06】综合·列式计算 【典型例题】 列式计算。 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是多少？ 【对应练习】 1．列式计算。 1.6除以3.2的商，加上2.4除以1.2的商的2倍，和是多少？ 2．看图列综合算式计算。 【预测命题方向三】数的认识·循环小数 命题趋势 1. 期末着重直接考察，比较基础。 2. 结合多类型问题进行考察，体现综合性。 方法点拨 1. 循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 2. 循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3. 循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636……；1.587587…… 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，循环点最多只点两个。 4. 小数的分类。 。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【考点01】小数的分类 【典型例题】 在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545，中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 【对应练习】 在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 【考点02】循环小数的大小比较 【典型例题】 在、5.211、5.21、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【对应练习】 在6.565，，6.5，，这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【考点03】循环小数与周期问题 【典型例题】 7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。 【对应练习】 1. 28÷11的商是( )，小数点后面第2020位上的数字是( )。 2. 6÷7的商是循环小数，那么商的小数点后的第2019位上的数字是几？小数部分前2019位上的所有数字之和是多少？ 【预测命题方向四】用字母表示数或式子 命题趋势 1. 结合生活实际考察，凸显实用性和开放性。 2. 特色命题和创新题型较多，凸显综合素养。 方法点拨 1. 代数式的基本书写格式和简单化简计算。 2. 用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 （1）用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母的取值范围要符合实际情况。 （2）当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】含字母式子的书写和化简 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 2. 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 m×4＝            ＋3＝                 6－2＝ ×b＝             n×n＝                     0.32＝ 2．直接写出得数。                                                   【考点02】用含字母的式子表示数或数量关系 【典型例题】 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习】 1. 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 2. 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是( )，最大的数是( )，三个数的和是( )，平均数是( )。 【考点03】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 【典型例题】 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【对应练习】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【考点04】五种新型题型 【典型例题1】数形规律问题 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 【对应练习】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 【典型例题2】定义新运算 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【对应练习】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【典型例题3】新材料定义 我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的一种换算关系是a＝2b－10（a表示码数，b表示厘米数），则25厘米长的鞋子用“码”作单位( )码。 【对应练习】 鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码“或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用＝2－10来表示（表示码数，表示厘米数）。小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长( )厘米。 【典型例题4】程序框图 按图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是( )。 【对应练习】 笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用下图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 10 n 2 5 10 17 26 37 101 根据数据，这个运算程序可能是( )。 A．n＝m＋1 B．n＝m×2＋1 C．n＝m×5＋1 D．n＝m×m＋1 【典型例题5】数列与算式规律探究 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【对应练习】 因为，所以( )。 【预测命题方向五】方程的意义、等式的性质、解方程 命题趋势 1. 期末着重直接考察，体现基础知识和计算能力。 2. 结合图形、代数考察，凸显开放性。 方法点拨 1. 方程和等式。 （1）方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 （2）方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 2. 等式的性质。 （1）等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 3. 解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程可以根据等式的基本性质来解或者四则运算的转化关系来解。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【考点01】方程与等式 【典型例题】 下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【对应练习】 1．在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有( )。 2．在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 【考点02】等式的性质 【典型例题】 根据等式的性质，在括号里填上恰当的数。 (1)，( )。 (2)，( )。 【对应练习】 1. 如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 2. 一辆小汽车的牌照是◯□△△5（一个五位数），已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝25，△＋△＝◯，那么它的牌照号码是( )。 【考点03】综合·解方程 【典型例题】 解方程。 1.8＋0.6＝7.2        4÷3＝9.16       8（－2）＝16 【对应练习】 1．解方程。 7.6＋2.4x＝19.6         3（5－x）＝14.1        （7y－9）÷0.32＝2.5 2．解方程。 4x＋1.2x＝26        17－5x＝9.4        （3x－36）÷6＝0.8 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $