精品解析：安徽省淮南市寿县广岩初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A. B. C. D. 5. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ，2 D. ， 8. “淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是（ ）米秒． A. B. C. D. 9. 线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，，，均在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，那么___________． 12. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 13. 同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 14. 如图，矩形中，P为上一点，且，连接，把矩形沿着折叠，点B落到，延长交延长线于Q，已知． （1）若，求； （2）若，求． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求的取值范围． 18. 如图，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； （2）求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中的边上描出一点E，使； （2）在图2中画的中线； （3）在图3中的边上描出一点M，使． 20. 如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 六、 21. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 七、 22. 已知二次函数的图象为抛物线C． （1）求抛物线C的顶点坐标；（用a表示） （2）若，在抛物线C上． ①若，求证：； ②若抛物线C经过点，且，，对于某一个实数p，若的最小值为1，则的最大值为___________． 八、 23. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需熟练掌握顶点坐标的确定方法． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，直接写出给定函数的顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为 故选C． 2. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，定义为角C的对边与斜边的比值． 先利用勾股定理求，再计算． 【详解】解：如下图： ∵ ，，， ∴， ∴， ∴故选B． 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简求值，由已知方程化简得到，然后代入所求表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选D． 4. 如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，当时，求出对应的电流值即可． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， ∴当时，， 故选：A． 5. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：C． 6. 抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 7. 如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ，2 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：D． 8. “淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是（ ）米秒． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点D，在中利用勾股定理求得的长，在中，利用等角对等边求得的长，则即可求得，进而求得速度． 【详解】解：作于点D， ∵在中，， ∴ ∴（米）， 由勾股定理得：（米）， ∵ ∴ ∴（米）． ∴（米）． 则平均速度是米/秒． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 9. 线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，根据对应边成比例求出的长度，再证，利用面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】如图：∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：， 经检验，都是原方程的根， ∵，即，且， ∴， ∴， 当时，， ； 当时，， ； 故选：A． 10. 如图，，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，，，均在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，过分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，进而相加即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过分别作轴的垂线，垂足分别为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， 同理可得， 设，则， 把代入，得， 解得， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据正弦和余弦的定义结合勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，设 ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 12. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为： 13. 同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 14. 如图，矩形中，P为上一点，且，连接，把矩形沿着折叠，点B落到，延长交延长线于Q，已知． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得以及，可证得，即可求解； （2）先证明，可得，同（1）可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵把矩形沿着折叠，点B落到，延长交延长线于Q， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或8， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，能用相似三角形对应边成比例列方程解决问题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可得出答案． 【详解】解： 16. 如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，平方根，解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图． （1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又由公共角，可证得； （2）先求出，，再根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即 ∴或（不符合题意，舍去）． 答：的长为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）不在 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入函数解析式求出的值即可判断求解； （）求出和时的值，再根据反比例函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上； 【小问3详解】 解：当时，；当时，， ∵， ∴在每个象限内，的值随着的增大而增大， ∴当时，的取值范围为． 18. 如图，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理相似三角形的判定和性质，正确掌握解直角三角形是解题的关键． （1）作交于点E，，求出，，易证根据相似三角形的性质，求出，的长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作交于点E， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，即，， ，， 则， 在中，， 则的长为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 在中，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中的边上描出一点E，使； （2）在图2中画的中线； （3）在图3中的边上描出一点M，使． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的知识、中线的判定、矩形的性质、相似三角形等知识． （1）先根据三角函数与边的关系得出，再代入即可找到点E得出答案． （2）根据矩形的性质，先以构造矩形，再连接与的交点即为边中点，连线即可． （3）根据相似三角形对应边成比例构造的相似三角形即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据可得，再根据相似三角形的性质计算即可求解； （2）根据“平行线分线段成比例”可得，求出，再根据正弦即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ，即， ， 则的长为8； 【小问2详解】 ， ， 设，则， ，解得，经检验：是此方程的解， ， ， ，即， ， 则的长为． 六、 21. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 【答案】问题一：； 问题二：教学楼的高度为米． 【解析】 【分析】问题一、根据坡度为，可知，根据入射角等于反射角可得：，从而可以求出从点观测点的仰角为； 问题二、过点作于点，过点作于点，延长交于点，根据问题一可知是等腰直角三角形，根据的正切求出米，利用可证，根据全等三角形的性质可得：米，根据矩形的性质可以求出米，米，再利用的正切求出的长度即可． 【详解】问题一、解：如下图所示，过点作， 则有， 坡度，即， ， ， ， ， 入射角等于反射角， ， ， 从点观测点的仰角为； 问题二、解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 解得：（米）， 点是的中点， ， 又，， 在和中，， ， （米）， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， （米），（米）， 在中，， ， 解得：（米）， 教学楼的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是根据坡度判断是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出边的长度． 七、 22. 已知二次函数的图象为抛物线C． （1）求抛物线C的顶点坐标；（用a表示） （2）若，在抛物线C上． ①若，求证：； ②若抛物线C经过点，且，，对于某一个实数p，若的最小值为1，则的最大值为___________． 【答案】（1） （2） ①∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②2； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解二元一次方程组、解一元一次不等式、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）①由题意可得：，，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②求出抛物线的解析式为；从而可得，，求出，令，则，求出，求出当时对应，此时，求出当，时，、的值，计算即可得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①略． ②∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵，在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∵对于某一个实数，若的最小值为1， ∴当时，， 解得， 此时对应，， 当，时，则，， 解得：或，或， ∴的最大值为； 八、 23. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （2）设，可得，由（1）可得得到，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）设， ∵点为的中点， ∴，， 由（1）得，， 解得或（不符合题意，舍去） 由（1）得， ∴，即，可得， ∵， ∴， ∴的长是； （3）如图，取的中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长是12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $